función aritmética

Función cuyo dominio son los números enteros positivos

En teoría de números , una función aritmética , aritmética o de teoría de números ^{[1] [2]} es generalmente cualquier función f ( n ) cuyo dominio son los números enteros positivos y cuyo rango es un subconjunto de los números complejos . ^{[3] [4] [5]} Hardy y Wright incluyen en su definición el requisito de que una función aritmética "exprese alguna propiedad aritmética de n ". ^[6] Existe una clase más amplia de funciones de teoría de números que no se ajustan a esta definición, por ejemplo, las funciones de conteo de primos . Este artículo proporciona enlaces a funciones de ambas clases.

Un ejemplo de función aritmética es la función divisor cuyo valor en un entero positivo n es igual al número de divisores de n .

Las funciones aritméticas suelen ser extremadamente irregulares (ver tabla), pero algunas de ellas tienen expansiones en serie en términos de la suma de Ramanujan .

Funciones multiplicativas y aditivas

Una función aritmética a es

• completamente aditivo si a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) para todos losnúmeros naturales myn ;
• completamente multiplicativo si a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) para todos losnúmeros naturales myn ;

Dos números enteros m y n se llaman coprimos si su máximo común divisor es 1, es decir, si no existe ningún número primo que los divida a ambos.

Entonces una función aritmética a es

• aditivo si a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) para todos los números naturalescoprimos myn ;
• multiplicativo si a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) para todos los números naturalescoprimos myn .

Notación

En este artículo, significa que la suma o producto está sobre todos los números primos : ${\textstyle \sum _{p}f(p)}$ ${\textstyle \prod _{p}f(p)}$

$${\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }$$

$${\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .}$$

las potencias primask = 0 ${\textstyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}$ ${\textstyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}$

$${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots .}$$

Las notaciones y significan que la suma o producto está sobre todos los divisores positivos de n , incluidos 1 y n . Por ejemplo, si n = 12 , entonces ${\textstyle \sum _{d\mid n}f(d)}$ ${\textstyle \prod _{d\mid n}f(d)}$

$${\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).}$$

Las notaciones se pueden combinar: y significan que la suma o producto está sobre todos los divisores primos de n . Por ejemplo, si n = 18, entonces ${\textstyle \sum _{p\mid n}f(p)}$ ${\textstyle \prod _{p\mid n}f(p)}$

$${\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),}$$

a nn ${\textstyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$ ${\textstyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$

$${\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).}$$

Ω( n ), ω ( n ), ν p ( n ) – descomposición de potencias primarias

El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier entero positivo n puede representarse únicamente como un producto de potencias de números primos: donde p ₁ < p ₂ < ... < p _k son primos y a _j son números enteros positivos. (1 viene dado por el producto vacío). ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$

A menudo es conveniente escribir esto como un producto infinito de todos los números primos, donde todos menos un número finito tienen un exponente cero. Defina la valoración p -ádica ν _p ( n ) como el exponente de la potencia más alta del primo p que divide a n . Es decir, si p es uno de los p _i entonces ν _p ( n ) = a _i , en caso contrario es cero. Entonces

$${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}$$

En términos de lo anterior, las funciones omega primas ω y Ω están definidas por

ω ( norte ) = k ,

Ω( norte ) = un ₁ + un ₂ + ... + un _k .

Para evitar repeticiones, siempre que sea posible, las fórmulas para las funciones enumeradas en este artículo se dan en términos de n y los correspondientes p _i , a _i , ω y Ω.

Funciones multiplicativas

σ k ( n ), τ( n ), d ( n ) – sumas de divisores

σ _k ( n ) es la suma de las k -ésimas potencias de los divisores positivos de n , incluidos 1 y n , donde k es un número complejo.

σ ₁ ( n ) , la suma de los divisores (positivos) de n , generalmente se denota por σ( n ) .

Dado que un número positivo elevado a cero es uno, σ ₀ ( n ) es, por tanto, el número de divisores (positivos) de n ; normalmente se denota por d ( n ) o τ( n ) (para el alemán Teiler = divisores).

$${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$$

Establecer k = 0 en el segundo producto da

$${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$$

φ( n ) – Función totiente de Euler

φ( n ) , la función totiente de Euler, es el número de enteros positivos no mayores que n que son coprimos de n .

$${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$$

J k ( n ) – Función de paciente de Jordan

J _k ( n ) , la función totiente de Jordan, es el número de k -tuplas de enteros positivos, todos menores o iguales que n , que forman una tupla coprime ( k + 1) junto con n . Es una generalización del totiente de Euler, φ( n ) = J ₁ ( n ) .

$${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$$

μ( n ) – Función de Möbius

μ( n ) , la función de Möbius, es importante debido a la fórmula de inversión de Möbius . Consulte la convolución de Dirichlet a continuación.

$${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$$

Esto implica que μ(1) = 1. (Porque Ω(1) = ω(1) = 0.)

τ ( n ) - Función tau de Ramanujan

τ( n ) , la función tau de Ramanujan, se define por suidentidad de función generadora :

$${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$$

Aunque es difícil decir exactamente qué "propiedad aritmética de n " "expresa", ^[7] ( τ ( n ) es (2π) ⁻¹² veces el n -ésimo coeficiente de Fourier en la expansión q de la función discriminante modular ) ^[8] se incluye entre las funciones aritméticas porque es multiplicativa y ocurre en identidades que involucran ciertas funciones σ _k ( n ) y r _k ( n ) (porque estas también son coeficientes en la expansión de formas modulares ).

c q ( n ) - suma de Ramanujan

c _q ( n ) , la suma de Ramanujan, es la suma de lasn-ésimas potencias de lasq-ésimasraíces primitivas de la unidad:

$${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$$

Aunque se define como una suma de números complejos (irracionales para la mayoría de los valores de q ), es un número entero. Para un valor fijo de n es multiplicativo en q :

Si q y r son coprimos , entonces ${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

ψ ( n ) - Función psi de Dedekind

La función psi de Dedekind , utilizada en la teoría de funciones modulares , está definida por la fórmula

$${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}$$

Funciones completamente multiplicativas

λ( n ) – Función de Liouville

λ ( n ) , la función de Liouville, está definida por

$${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$$

χ ( n ) – caracteres

Todos los caracteres de Dirichlet χ ( n ) son completamente multiplicativos. Dos caracteres tienen notaciones especiales:

El carácter principal (mod n ) se denota por χ ₀ ( a ) (o χ ₁ ( a )). Se define como

$${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$$

El carácter cuadrático (mod n ) se denota mediante el símbolo de Jacobi para n impar (no está definido para n par ):

$${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$$

En esta fórmula está el símbolo de Legendre , definido para todos los números enteros a y todos los primos impares p por ${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$

$${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}$$

Siguiendo la convención normal para el producto vacío, ${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

Funciones aditivas

ω ( n ) - divisores primos distintos

ω( n ) , definido anteriormente como el número de números primos distintos que dividen a n , es aditivo (ver Función omega prima ).

Funciones completamente aditivas

Ω( n ) – divisores primos

Ω( n ) , definido anteriormente como el número de factores primos de n contados con multiplicidades, es completamente aditivo (ver Función omega prima ).

ν p ( n ) – valoración p -ádica de un número entero n

Para un primo fijo p , ν _p ( n ) , definido anteriormente como el exponente de la mayor potencia de p que divide n , es completamente aditivo.

Derivada logarítmica

${\displaystyle \operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}$, donde está la derivada aritmética. ${\displaystyle D(n)}$

Ni multiplicativo ni aditivo

π ( x ), Π ( x ), θ ( x ), ψ ( x ) – funciones de conteo de primos

Estas importantes funciones (que no son funciones aritméticas) se definen para argumentos reales no negativos y se utilizan en los diversos enunciados y demostraciones del teorema de los números primos . Son funciones de suma (consulte la sección principal justo debajo) de funciones aritméticas que no son multiplicativas ni aditivas.

π ( x ) , la función de conteo de primos, es el número de primos que no excedex. Es la función sumatoria de lafunción característicade los números primos.

$${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$$

Una función relacionada cuenta potencias primas con peso 1 para los primos, 1/2 para sus cuadrados, 1/3 para los cubos, ... Es la función sumatoria de la función aritmética que toma el valor 1/ k en los números enteros que son los k. -ésima potencia de algún número primo y el valor 0 en otros números enteros.

$${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}$$

θ ( x ) y ψ ( x ), las funciones de Chebyshev, se definen como sumas de los logaritmos naturales de los números primos que no excedenx.

$${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}$$

$${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}$$

La función de Chebyshev ψ ( x ) es la función de suma de la función de von Mangoldt justo debajo.

Λ( n ) – función de von Mangoldt

Λ( n ) , la función de von Mangoldt, es 0 a menos que el argumento n sea una potencia prima pk ^, en cuyo caso es el logaritmo natural del primo p :

$${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}$$

p ( n ) – función de partición

p ( n ) , la función de partición, es el número de formas de representarncomo una suma de números enteros positivos, donde dos representaciones con los mismos sumandos en diferente orden no se cuentan como diferentes:

$${\displaystyle p(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}\right|.}$$

λ( n ) – Función de Carmichael

λ ( n ) , la función de Carmichael, es el número positivo más pequeño tal que   para todosseacoprimo den. De manera equivalente, es elmínimo común múltiplode los órdenes de los elementos delgrupo multiplicativo de números enteros módulo n . ${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$

Para potencias de números primos impares y para 2 y 4, λ ( n ) es igual a la función totiente de Euler de n ; para potencias de 2 mayores que 4 es igual a la mitad de la función totiente de Euler de n :

$${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}$$

y para nn

$${\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$$

h ( n ) – Número de clase

h ( n ) , la función de número de clase, es el orden delgrupo de clases idealde una extensión algebraica de los racionales condiscriminante n. La notación es ambigua, ya que en general existen muchas extensiones con el mismo discriminante. Consultecampo cuadráticoycampo ciclotómicopara ver ejemplos clásicos.

r k ( n ) – Suma de k cuadrados

r _k ( n ) es el número de formas en quenpuede representarse como la suma dekcuadrados, donde las representaciones que difieren sólo en el orden de los sumandos o en los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferentes.

$${\displaystyle r_{k}(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\right\}\right|}$$

D ( n ) – Derivada aritmética

Usando la notación de Heaviside para la derivada, la derivada aritmética D ( n ) es una función tal que

• ${\displaystyle D(n)=1}$si n primo, y
• ${\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}$(la regla del producto )

Funciones de suma

Dada una función aritmética a ( n ), su función de suma A ( x ) está definida por

$${\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}$$

AmAintervalos abiertos mxmdiscontinuidad de saltoam

Dado que estas funciones suelen estar representadas por series e integrales, para lograr la convergencia puntual es habitual definir el valor en las discontinuidades como el promedio de los valores a la izquierda y a la derecha:

$${\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}$$

Los valores individuales de funciones aritméticas pueden fluctuar enormemente, como en la mayoría de los ejemplos anteriores. Las funciones de suma "suavizan" estas fluctuaciones. En algunos casos, es posible encontrar un comportamiento asintótico para la función de suma para x grande .

Un ejemplo clásico de este fenómeno ^[9] viene dado por la función sumatoria del divisor , la función sumatoria de d ( n ), el número de divisores de n :

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2}$$

$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}}=1.}$$

Un orden promedio de una función aritmética es alguna función más simple o mejor comprendida que tiene la misma función de suma asintóticamente y, por tanto, toma los mismos valores "en promedio". Decimos que g es un orden promedio de f si

$${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$$

cuando x tiende a infinito. El ejemplo anterior muestra que d ( n ) tiene el registro de orden promedio ( n ). ^[10]

convolución de Dirichlet

Dada una función aritmética a ( n ), sea F _a ( s ), para s complejo , la función definida por la serie de Dirichlet correspondiente (donde converge ): ^[11]

$${\displaystyle F_{a}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}$$

F _asfunción generadoraanannζsfunción zeta de Riemann

La función generadora de la función de Möbius es la inversa de la función zeta:

$${\displaystyle \zeta (s)\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1,\;\;\Re s>1.}$$

Considere dos funciones aritméticas a y b y sus respectivas funciones generadoras F _a ( s ) y F _b ( s ). El producto F _a ( s ) F _b ( s ) se puede calcular de la siguiente manera:

$${\displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a(m)}{m^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).}$$

Es un ejercicio sencillo demostrar que si c ( n ) se define por

$${\displaystyle c(n):=\sum _{ij=n}a(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac {n}{i}}\right),}$$

$${\displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).}$$

Esta función c se llama convolución de Dirichlet de a y b , y se denota por . ${\displaystyle a*b}$

Un caso particularmente importante es la convolución con la función constante a ( n ) = 1 para todo n , correspondiente a multiplicar la función generadora por la función zeta:

$${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$$

Multiplicando por la inversa de la función zeta se obtiene la fórmula de inversión de Möbius :

$${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}$$

Si f es multiplicativa, entonces g también lo es . Si f es completamente multiplicativa, entonces g es multiplicativa, pero puede ser completamente multiplicativa o no.

Relaciones entre las funciones

Hay muchísimas fórmulas que conectan funciones aritméticas entre sí y con funciones de análisis, especialmente potencias, raíces y funciones exponenciales y logarítmicas. La página de identidades de suma divisoria contiene muchos ejemplos más generalizados y relacionados de identidades que involucran funciones aritméticas.

Aquí están algunos ejemplos:

convoluciones de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}$     donde λ es la función de Liouville. ^[12]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}$      ^[13]

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$       inversión de moebius

${\displaystyle \sum _{d\mid n}J_{k}(d)=n^{k}.}$      ^[14]

${\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$       inversión de moebius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$      ^[15]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}$      ^{[16] [17]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}$      ^[18]

${\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}$       inversión de moebius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}$      

${\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}$       inversión de moebius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}$       inversión de moebius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}}$     donde λ es la función de Liouville .

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}$      ^[19]

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}$       inversión de moebius

sumas de cuadrados

Para todos     ( teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange ). ${\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),}$ ^[20]

donde el símbolo de Kronecker tiene los valores

${\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}}$

Hay una fórmula para r ₃ en la sección sobre números de clase a continuación.

$${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}$$

ν = ν ₂ ( norte )^{[21] [22] [23]}

$${\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},}$$

^[24] ${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}$

Defina la función σ _k ^* ( n ) como ^[25]

$${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

Es decir, si n es impar, σ _k ^* ( n ) es la suma de las k ésimas potencias de los divisores de n , es decir, σ _k ( n ), y si n es par es la suma de las k ésimas. potencias de los divisores pares de n menos la suma de las k -ésimas potencias de los divisores impares de n .

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}$    ^{[24] [26]}

Adopte la convención de que τ ( x ) = 0 de Ramanujan si x no es un número entero.

${\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}$    ^[27]

Convoluciones de suma divisoria

Aquí "convolución" no significa "convolución de Dirichlet", sino que se refiere a la fórmula para los coeficientes del producto de dos series de potencias :

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}$

La secuencia se llama convolución o producto de Cauchy de las secuencias a _n y b _n . Estas fórmulas pueden demostrarse analíticamente (ver serie de Eisenstein ) o mediante métodos elementales. ^[28] ${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$

${\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.}$    ^[29]

${\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.}$    ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}$    ^{[30] [31]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}}$    ^{[29] [32]}

${\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}$     donde τ ( n ) es la función de Ramanujan.     ^{[33] [34]}

Dado que σ _k ( n ) (para el número natural k ) y τ ( n ) son números enteros, las fórmulas anteriores se pueden utilizar para probar congruencias ^[35] para las funciones. Consulte la función tau de Ramanujan para ver algunos ejemplos.

Extienda el dominio de la función de partición estableciendo p (0) = 1.

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}$    ^[36]   Esta recurrencia se puede utilizar para calcular p ( n ).

Número de clase relacionado

Peter Gustav Lejeune Dirichlet descubrió fórmulas que relacionan el número de clase h de campos numéricos cuadráticos con el símbolo de Jacobi. ^[37]

Un número entero D se llama discriminante fundamental si es el discriminante de un campo numérico cuadrático. Esto es equivalente a D ≠ 1 y a) D no tiene cuadrados y D ≡ 1 (mod 4) o b) D ≡ 0 (mod 4), D /4 no tiene cuadrados y D /4 ≡ 2 o 3 (mod 4 ). ^[38]

Amplíe el símbolo de Jacobi para aceptar números pares en el "denominador" definiendo el símbolo de Kronecker :

$${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}$$

Entonces, si D < −4 es un discriminante fundamental ^{[39] [40]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

También hay una fórmula que relaciona r ₃ y h . Nuevamente, sea D un discriminante fundamental, D < −4. Entonces ^[41]

$${\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}$$

Relacionado con el recuento principal

Sea   el enésimo número armónico . Entonces ${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}$   es verdadera para todo número natural n si y sólo si la hipótesis de Riemann es verdadera.     ^[42]

La hipótesis de Riemann también es equivalente a la afirmación de que, para todo n > 5040,

$${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$$

constante de Euler-Mascheroniel teorema de Robin

${\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$    ^[43]

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$    ^[44]

${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}$    ^[45]

${\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].}$    ^[46]

La identidad de Menon.

En 1965, P Kesava Menon demostró ^[47]

$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}$$

Esto ha sido generalizado por varios matemáticos. Por ejemplo,

• B. Sury ^[48]
  $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$$
• N. Rao ^[49]
  $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$$
  donde a ₁ , a ₂ , ..., a _s son números enteros, mcd( a ₁ , a ₂ , ..., a _s , n ) = 1.
• László Fejes Tóth ^[50]
  $${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$$
  donde m ₁ y m ₂ son impares, m = lcm( m ₁ , m ₂ ).

De hecho, si f es cualquier función aritmética ^{[51] [52]}

$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}$$

${\displaystyle *}$

Misceláneas

Sean m y n distintos, impares y positivos. Entonces el símbolo de Jacobi satisface la ley de reciprocidad cuadrática :

$${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}$$

Sea D ( n ) la derivada aritmética. Entonces la derivada logarítmica

$${\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}.}$$

Derivada aritmética

Sea λ ( n ) la función de Liouville. Entonces

${\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),}$     y

${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).}$    

Sea λ ( n ) la función de Carmichael. Entonces

${\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).}$     Más,

${\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}}$

Consulte Grupo multiplicativo de números enteros módulo n y raíz primitiva módulo n .  

${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.}$    ^{[53] [54]}

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.}$    ^[55]

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}}$    ^[56]     Tenga en cuenta que   ^[57] ${\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}$    

${\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).}$

${\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.}$    ^[58]   Compare esto con 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).}$    ^[59]

${\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).}$    ^[60]

${\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}$     donde τ ( n ) es la función de Ramanujan.     ^[61]

Primeros 100 valores de algunas funciones aritméticas.

Notas

1. Largo (1972, pág.151)
2. Pettofrezzo y Byrkit (1970, pág.58)
3. Niven y Zuckerman, 4.2.
4. Nagell, I.9.
5. Bateman y Diamante, 2.1.
6. Hardy y Wright, introducción. al cap. XVI
7. Hardy, Ramanujan , § 10.2
8. Apostol, Funciones modulares... , § 1.15, cap. 4, y cap. 6
9. Hardy y Wright, §§ 18.1–18.2
10. Gérald Tenenbaum (1995). Introducción a la teoría de números analítica y probabilística . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. vol. 46. ​​Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 36–55. ISBN 0-521-41261-7.
11. Hardy y Wright, § 17.6, muestran cómo la teoría de las funciones generadoras puede construirse de una manera puramente formal sin prestar atención a la convergencia.
12. Hardy y Wright, Thm. 263
13. Hardy y Wright, Thm. 63
14. ver referencias en la función de atención al paciente de Jordan
15. Holden y col. en enlaces externos La fórmula es la de Gegenbauer
16. Hardy y Wright, Thm. 288–290
17. Dineva en enlaces externos, prop. 4
18. Hardy y Wright, Thm. 264
19. Hardy y Wright, Thm. 296
20. Hardy y Wright, Thm. 278
21. Hardy y Wright, Thm. 386
22. Hardy, Ramanujan , ecuaciones 9.1.2, 9.1.3
23. Koblitz, ej. III.5.2
24. Hardy y Wright, § 20.13
25. Hardy, Ramanujan , § 9.7
26. Hardy, Ramanujan , § 9.13
27. Hardy, Ramanujan , § 9.17
28. Williams, cap. 13; Huard, et al. (enlaces externos).
29. Ramanujan, Sobre ciertas funciones aritméticas , Tabla IV; Artículos , pág. 146
30. Koblitz, ej. III.2.8
31. Koblitz, ej. III.2.3
32. Koblitz, ej. III.2.2
33. Koblitz, ej. III.2.4
34. Apostol, Funciones Modulares... , Ej. 6.10
35. Apostol, Funciones modulares... , cap. 6 Ej. 10
36. GH Hardy, S. Ramannujan, Fórmulas asintóticas en análisis combinatorio , § 1.3; en Ramannujan, artículos p. 279
37. Landau, pág. 168, acredita a Gauss y a Dirichlet
38. Cohen, definidor. 5.1.2
39. Cohen, Corr. 5.3.13
40. consulte Edwards, § 9.5 ejercicios para fórmulas más complicadas.
41. Cohen, Proposición 5.3.10
42. Ver función divisor .
43. Hardy y Wright, ecuación. 22.1.2
44. Ver funciones de conteo de primos .
45. Hardy y Wright, ecuación. 22.1.1
46. Hardy y Wright, ecuación. 22.1.3
47. László Tóth, Identidad de Menon y sumas aritméticas... , eq. 1
48. Tóth, ecuación. 5
49. Tóth, ecuación. 3
50. Tóth, ecuación. 35
51. Tóth, ecuación. 2
52. Tóth afirma que Menon demostró esto para la f multiplicativa en 1965 y V. Sita Ramaiah para la f general .
53. Hardy Ramanujan , ecuación. 3.10.3
54. Hardy y Wright, § 22.13
55. Hardy y Wright, Thm. 329
56. Hardy y Wright, Thms. 271, 272
57. Hardy y Wright, ecuación. 16.3.1
58. Ramanujan, Algunas fórmulas en la teoría analítica de números , eq. (C); Artículos pág. 133. Una nota a pie de página dice que Hardy le dijo a Ramanujan que también aparece en un artículo de Liouville de 1857.
59. Ramanujan, Algunas fórmulas en la teoría analítica de números , eq. (F); Artículos pág. 134
60. Apostol, Funciones modulares... , cap. 6 eq. 4
61. Apostol, Funciones modulares... , cap. 6 eq. 3

Referencias

• Tom M. Apostol (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos universitarios de matemáticas de Springer , ISBN 0-387-90163-9
• Apostol, Tom M. (1989), Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (segunda edición) , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-97127-0
• Bateman, Paul T .; Diamond, Harold G. (2004), Teoría analítica de números, introducción , World Scientific , ISBN 978-981-238-938-1
• Cohen, Henri (1993), Un curso de teoría algebraica computacional de números , Berlín: Springer , ISBN 3-540-55640-0
• Edwards, Harold (1977). El último teorema de Fermat . Nueva York: Springer . ISBN 0-387-90230-9.
• Hardy, GH (1999), Ramanujan: Doce conferencias sobre temas sugeridos por su vida y obra , Providence RI: AMS / Chelsea, hdl :10115/1436, ISBN 978-0-8218-2023-0
• Hardy, GH ; Wright, EM (1979) [1938]. Introducción a la teoría de los números (5ª ed.). Oxford: Prensa de Clarendon. ISBN 0-19-853171-0. Señor  0568909. Zbl  0423.10001.
• Jameson, GJO (2003), El teorema de los números primos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-89110-8
• Koblitz, Neal (1984), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-97966-2
• Landau, Edmund (1966), Teoría elemental de números , Nueva York: Chelsea
• William J. LeVeque (1996), Fundamentos de la teoría de números , Publicaciones Courier Dover, ISBN 0-486-68906-9
• Long, Calvin T. (1972), Introducción elemental a la teoría de números (2ª ed.), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77-171950
• Elliott Mendelson (1987), Introducción a la lógica matemática , CRC Press, ISBN 0-412-80830-7
• Nagell, Trygve (1964), Introducción a la teoría de números (segunda edición) , Chelsea, ISBN 978-0-8218-2833-5
• Niven, Iván M .; Zuckerman, Herbert S. (1972), Introducción a la teoría de números (tercera edición) , John Wiley & Sons , ISBN 0-471-64154-5
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elementos de la teoría de números , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77-81766
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Otras lecturas

• Schwarz, Wolfgang; Spilker, Jürgen (1994), Funciones aritméticas. Una introducción a las propiedades elementales y analíticas de las funciones aritméticas y a algunas de sus propiedades casi periódicas , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 184, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 0-521-42725-8, Zbl  0807.11001

enlaces externos

• "Función aritmética", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Otra generalización más de la función totiente de Euler
• Huard, Ou, Spearman y Williams. Evaluación elemental de ciertas sumas de convolución que involucran funciones divisorias
• Dineva, Rosica, Euler Totient, Möbius y las funciones divisoras Archivado el 16 de enero de 2021 en Wayback Machine.
• László Tóth, Identidad de Menon y sumas aritméticas que representan funciones de varias variables