factor automorfo

En matemáticas , un factor automórfico es un cierto tipo de función analítica , definida sobre subgrupos de SL(2,R) , que aparece en la teoría de formas modulares . El caso general, para grupos generales, se revisa en el artículo ' factor de automorfia '.

Definición

Un factor automórfico de peso k es una función

$${\displaystyle \nu :\Gamma \times \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$$

semiplano superiorplano complejogrupo fucsiano ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

$${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$$

abcdadbc

Un factor automórfico debe satisfacer:

1. Para un fijo , la función es una función holomorfa de . ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle \nu (\gamma ,z)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$
2. Para todos y uno tiene ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$
   $${\displaystyle \vert \nu (\gamma ,z)\vert =\vert cz+d\vert ^{k}}$$
   para un número real fijo k .
3. Para todos y uno tiene ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \gamma ,\delta \in \Gamma }$
   $${\displaystyle \nu (\gamma \delta ,z)=\nu (\gamma ,\delta z)\nu (\delta ,z)}$$
   Aquí está la transformada lineal fraccionaria de by . ${\displaystyle \delta z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \delta }$
4. Si , entonces para todos y , uno tiene ${\displaystyle -I\in \Gamma }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$
   $${\displaystyle \nu (-\gamma ,z)=\nu (\gamma ,z)}$$
   Aquí, I denota la matriz identidad .

Propiedades

Cada factor automórfico se puede escribir como

${\displaystyle \nu (\gamma ,z)=\upsilon (\gamma )(cz+d)^{k}}$

con

${\displaystyle \vert \upsilon (\gamma )\vert =1}$

La función se llama sistema multiplicador . Claramente, ${\displaystyle \upsilon :\Gamma \to S^{1}}$

${\displaystyle \upsilon (I)=1}$,

mientras, si , entonces ${\displaystyle -I\in \Gamma }$

${\displaystyle \upsilon (-I)=e^{-i\pi k}}$

que es igual cuando k es un número entero. ${\displaystyle (-1)^{k}}$

Referencias

• Robert Rankin , Formas y funciones modulares , (1977) Cambridge University Press ISBN  0-521-21212-X . (El capítulo 3 está enteramente dedicado a los factores automórficos del grupo modular).