En geometría y teoría matemática de grupos , una red unimodular es una red integral del determinante 1 o −1. Para una red en un espacio euclidiano de n dimensiones , esto equivale a requerir que el volumen de cualquier dominio fundamental de la red sea 1.
La red E 8 y la red Leech son dos ejemplos famosos.
Los tres ejemplos más importantes de celosías unimodulares son:
Una red integral es unimodular si y sólo si su red dual es integral. Las redes unimodulares son iguales a sus redes duales y, por esta razón, las redes unimodulares también se conocen como autoduales.
Dado un par ( m , n ) de enteros no negativos, existe una red unimodular par de firma ( m , n ) si y solo si m − n es divisible por 8, pero siempre existe una red unimodular impar de firma ( m , n ) . En particular, incluso las redes definidas unimodulares sólo existen en dimensiones divisibles por 8. Las construcciones II m,n y I m,n dan ejemplos de todas las firmas admisibles , respectivamente.
La función theta de una red definida positiva unimodular es una forma modular cuyo peso es la mitad del rango. Si el retículo es par, la forma tiene nivel 1, y si el retículo es impar, la forma tiene estructura Γ 0 (4) (es decir, es una forma modular de nivel 4). Debido a la dimensión limitada en espacios de formas modulares, la norma mínima de un vector distinto de cero de una red unimodular par no es mayor que ⎣ n /24⎦ + 1. Una red unimodular par que logra este límite se llama extrema. Se conocen celosías extremas, incluso unimodulares, en dimensiones relevantes hasta 80, [1] y se ha demostrado su inexistencia para dimensiones superiores a 163,264. [2]
Para redes indefinidas, la clasificación es fácil de describir. Escriba R m , n para el espacio vectorial dimensional m + n R m + n con el producto interno de ( a 1 , ..., a m + n ) y ( b 1 , ..., b m + n ) dado por
En R m , n hay una red unimodular indefinida impar hasta el isomorfismo , denotada por
que está dado por todos los vectores ( a 1 ,..., am + n ) en R m , n con todos los a i enteros.
No hay redes indefinidas ni siquiera unimodulares a menos que
en cuyo caso hay un ejemplo único hasta el isomorfismo, denotado por
Esto está dado por todos los vectores ( a 1 ,..., am + n ) en R m , n tales que todos los a i son números enteros o todos son números enteros más 1/2, y su suma es par. La red II 8,0 es la misma que la red E 8 .
Las redes unimodulares definidas positivas se han clasificado hasta la dimensión 25. Hay un ejemplo único In ,0 en cada dimensión n menor que 8, y dos ejemplos ( I 8,0 y II 8,0 ) en la dimensión 8. El número de las celosías aumentan moderadamente hasta la dimensión 25 (donde hay 665), pero más allá de la dimensión 25, la fórmula de masa de Smith-Minkowski-Siegel implica que el número aumenta muy rápidamente con la dimensión; por ejemplo, hay más de 80.000.000.000.000.000 en la dimensión 32.
En cierto sentido, las redes unimodulares hasta la dimensión 9 están controladas por E 8 , y hasta la dimensión 25 están controladas por la red Leech, y esto explica su comportamiento inusualmente bueno en estas dimensiones. Por ejemplo, el diagrama de Dynkin de los vectores norma-2 de redes unimodulares en dimensiones de hasta 25 se puede identificar naturalmente con una configuración de vectores en la red Leech. El enorme aumento de números más allá de las 25 dimensiones podría atribuirse al hecho de que estas redes ya no están controladas por la red Leech.
Incluso las redes unimodulares definidas positivas existen sólo en dimensiones divisibles por 8. Hay una en la dimensión 8 (la red E 8 ), dos en la dimensión 16 ( E 8 2 y II 16,0 ) y 24 en la dimensión 24, llamada Niemeier. celosías (ejemplos: la celosía Leech , II 24,0 , II 16,0 + II 8,0 , II 8,0 3 ). Más allá de las 24 dimensiones el número aumenta muy rápidamente; en 32 dimensiones hay más de mil millones de ellos.
Las redes unimodulares sin raíces (vectores de norma 1 o 2) se han clasificado hasta la dimensión 28. No hay ninguna de dimensión menor que 23 (¡aparte de la red cero!). Hay uno en la dimensión 23 (llamado enrejado Leech corto ), dos en la dimensión 24 (el enrejado Leech y el enrejado Leech impar ), y Bacher y Venkov (2001) demostraron que hay 0, 1, 3, 38 en las dimensiones 25. , 26, 27, 28, respectivamente. Más allá de esto, el número aumenta muy rápidamente; hay al menos 8000 en la dimensión 29. En dimensiones suficientemente altas, la mayoría de las redes unimodulares no tienen raíces.
El único ejemplo distinto de cero de redes unimodulares definidas positivas sin raíces en una dimensión menor que 32 es la red Leech en la dimensión 24. En la dimensión 32 hay más de diez millones de ejemplos, y por encima de la dimensión 32 el número aumenta muy rápidamente.
La siguiente tabla de (King 2003) proporciona los números (o límites inferiores) de redes unimodulares pares o impares en varias dimensiones, y muestra el crecimiento muy rápido que comienza poco después de la dimensión 24.
Más allá de las 32 dimensiones, las cifras aumentan aún más rápidamente.
El segundo grupo de cohomología de una 4-variedad topológica orientada, cerrada , simplemente conectada es una red unimodular. Michael Freedman demostró que esta red casi determina la variedad : hay una variedad única para cada red unimodular par, y exactamente dos para cada red unimodular impar. En particular, si tomamos la red como 0, esto implica la conjetura de Poincaré para variedades topológicas de 4 dimensiones. El teorema de Donaldson establece que si la variedad es suave y la red es positiva definida, entonces debe ser una suma de copias de Z , por lo que la mayoría de estas variedades no tienen una estructura suave . Un ejemplo de ello es el colector .
