Formulario modular simulado

Parte compleja-diferenciable de una función de onda de Maass

En matemáticas , una forma modular simulada es la parte holomorfa de una forma de Maass débil armónica , y una función theta simulada es esencialmente una forma modular simulada de peso .1/2⁠ . Los primeros ejemplos de funciones theta simuladas fueron descritos por Srinivasa Ramanujan en su última carta de 1920 a GH Hardy y en su cuaderno perdido . Sander Zwegers descubrió que agregarles ciertas funciones no holomorfas las convierte en formas armónicas débiles de Maass. ^{[1] [2]}

Historia

"Supóngase que existe una función en forma euleriana y supóngase que todos o una infinidad de puntos son singularidades exponenciales, y supóngase también que en estos puntos la forma asintótica se cierra tan claramente como en los casos de (A) y (B). La pregunta es: ¿la función es la suma de dos funciones, una de las cuales es una función θ ordinaria y la otra una función (trivial) que es O(1) en todos los puntos e ^{2 m π i / n} ? ... Cuando no es así, llamo a la función una función θ simulada".

Definición original de Ramanujan de una función theta simulada ^[3]

La carta de Ramanujan del 12 de enero de 1920 a Hardy ^[3] enumeraba 17 ejemplos de funciones que él llamaba funciones theta simuladas, y su cuaderno perdido ^[4] contenía varios ejemplos más. (Ramanujan utilizó el término "función theta" para lo que hoy se llamaría una forma modular). Ramanujan señaló que tienen una expansión asintótica en las cúspides, similar a la de las formas modulares de peso .1/2⁠ , posiblemente con polos en las cúspides, pero no se pueden expresar en términos de funciones theta "ordinarias" . Llamó a las funciones con propiedades similares "funciones theta simuladas". Zwegers descubrió más tarde la conexión de la función theta simulada con las formas débiles de Maass.

Ramanujan asoció un orden a sus funciones theta simuladas, que no estaba claramente definido. Antes del trabajo de Zwegers, los órdenes de las funciones theta simuladas conocidas incluían

3, 5, 6, 7, 8, 10.

La noción de orden de Ramanujan resultó posteriormente corresponder al conductor del carácter Nebentypus del peso .1/2⁠ formas armónicas de Maass que admiten las funciones theta simuladas de Ramanujan como sus proyecciones holomórficas.

En las décadas siguientes, Watson, Andrews, Selberg, Hickerson, Choi, McIntosh y otros estudiaron las funciones theta simuladas de Ramanujan, quienes demostraron las afirmaciones de Ramanujan sobre ellas y encontraron varios ejemplos e identidades más. (La mayoría de las identidades y ejemplos "nuevos" ya eran conocidos por Ramanujan y reaparecieron en su cuaderno perdido). En 1936, Watson descubrió que bajo la acción de elementos del grupo modular , las funciones theta simuladas de orden 3 casi se transforman como formas modulares de peso .1/2⁠ (multiplicado por potencias adecuadas de q ), excepto que hay "términos de error" en las ecuaciones funcionales, generalmente dadas como integrales explícitas. ^[5] Sin embargo, durante muchos años no hubo una buena definición de una función theta simulada. Esto cambió en 2001 cuando Zwegers descubrió la relación con las formas modulares no holomorfas, las sumas de Lerch y las series theta indefinidas. Zwegers demostró, utilizando el trabajo previo de Watson y Andrews, que las funciones theta simuladas de órdenes 3, 5 y 7 se pueden escribir como la suma de una forma de Maass débil de peso ⁠1/2⁠ y una función que está limitada a lo largo de geodésicas que terminan en cúspides. ^[2] La forma débil de Maass tiene valor propio ⁠3/16⁠ bajo el Laplaciano hiperbólico (el mismo valor que las formas modulares holomorfas de peso )1/2⁠ ); sin embargo, aumenta exponencialmente rápido cerca de las cúspides, por lo que no satisface la condición de crecimiento habitual para las formas de onda de Maass . Zwegers demostró este resultado de tres maneras diferentes, relacionando las funciones theta simuladas con las funciones theta de Hecke de redes indefinidas de dimensión 2, y con las sumas de Appell-Lerch, y con las formas meromórficas de Jacobi.

El resultado fundamental de Zwegers muestra que las funciones theta simuladas son las "partes holomorfas" de las formas modulares analíticas reales del peso .1/2⁠ . Esto permite extender muchos resultados sobre formas modulares a funciones theta simuladas. En particular, al igual que las formas modulares, las funciones theta simuladas se encuentran todas en ciertos espacios explícitos de dimensión finita, lo que reduce las pruebas largas y difíciles de muchas identidades entre ellas al álgebra lineal de rutina. Por primera vez se hizo posible producir un número infinito de ejemplos de funciones theta simuladas; antes de este trabajo solo se conocían unos 50 ejemplos (la mayoría de los cuales fueron encontrados por primera vez por Ramanujan). Como aplicaciones adicionales de las ideas de Zwegers, Kathrin Bringmann y Ken Ono demostraron que ciertas series q que surgen de las series hipergeométricas básicas de Rogers-Fine están relacionadas con partes holomorfas del peso ⁠3/2⁠ formas débiles armónicas de Maass ^[6] y demostraron que la serie asintótica para coeficientes de la función theta simulada de orden 3 f ( q ) estudiada por George Andrews ^[7] y Leila Dragonette ^[8] converge a los coeficientes. ^[9] En particular, las funciones theta simuladas tienen expansiones asintóticas en las cúspides del grupo modular , actuando en el semiplano superior , que se asemejan a las de las formas modulares de peso ⁠1/2⁠ con postes en las cúspides.

Definición

Una forma modular simulada se definirá como la "parte holomorfa" de una forma de Maass débil armónica .

Fijemos un peso k , normalmente con 2 k integral. Fijemos un subgrupo Γ de SL ₂ ( Z ) (o del grupo metapléctico si k es semiintegral) y un carácter ρ de Γ. Una forma modular f para este carácter y este grupo Γ se transforma bajo elementos de Γ por

${\displaystyle f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\rho {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$

Una forma débil de Maass del peso k es una función continua en el semiplano superior que se transforma como una forma modular del peso k y es una función propia del operador laplaciano del peso k , y se denomina armónica si su valor propio es (1 − k/2⁠ ) ​​⁠a/2⁠ . ^[10] Este es el valor propio de las formas modulares de peso k holomórfico , por lo que todos estos son ejemplos de formas de Maass débiles armónicas. (Una forma de Maass es una forma de Maass débil que decrece rápidamente en los puntos más altos). Por lo tanto, una forma de Maass débil armónica es aniquilada por el operador diferencial.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}y^{k}{\frac {\partial }{\partial {\overline {\tau }}}}}$

Si F es cualquier forma armónica débil de Maass, entonces la función g está dada por

${\displaystyle g=y^{k}{\frac {\partial {\overline {F}}}{\partial \tau }}=\sum _{n}b_{n}q^{n}}$

es holomorfa y se transforma como una forma modular del peso k , aunque puede no ser holomorfa en las cúspides. Si podemos encontrar cualquier otra función g ^* con la misma imagen g , entonces F  −  g ^* será holomorfa. Una función de este tipo se da invirtiendo el operador diferencial por integración; por ejemplo, podemos definir

${\displaystyle g^{*}(\tau )=\left({\frac {i}{2}}\right)^{k-1}\int _{-{\overline {\tau }}}^{i\infty }(z+\tau )^{-k}{\overline {g(-{\overline {z}})}}\,dz=\sum _{n}n^{k-1}{\overline {b_{n}}}\beta _{k}(4ny)q^{-n+1}}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle \beta _{k}(t)=\int _{t}^{\infty }u^{-k}e^{-\pi u}\,du}$

es esencialmente la función gamma incompleta . La integral converge siempre que g tiene un cero en la cúspide i ∞, y la función gamma incompleta puede extenderse por continuación analítica, por lo que esta fórmula puede usarse para definir la parte holomorfa g ^* de F incluso en el caso en que g es meromórfica en i ∞, aunque esto requiere cierto cuidado si k es 1 o no es integral o si n  = 0. La inversa del operador diferencial está lejos de ser única ya que podemos agregar cualquier función homomórfica a g ^* sin afectar su imagen, y como resultado la función g ^* no necesita ser invariante bajo el grupo Γ. La función h = F  −  g ^* se llama la parte holomorfa de F .

Una forma modular simulada se define como la parte holomorfa h de alguna forma de Maass débil armónica F. Por lo tanto, existe un isomorfismo desde el espacio de formas modulares simuladas h a un subespacio de las formas de Maass débiles armónicas.

La forma modular simulada h es holomorfa pero no del todo modular, mientras que h  +  g ^* es modular pero no del todo holomorfa. El espacio de formas modulares simuladas de peso k contiene el espacio de formas casi modulares ("formas modulares que pueden ser meromórficas en las cúspides") de peso k como un subespacio. El cociente es (antilinealmente) isomorfo al espacio de formas modulares holomorfas de peso 2 −  k . La forma modular de peso-(2 −  k ) g correspondiente a una forma modular simulada h se llama su sombra . Es bastante común que diferentes funciones theta simuladas tengan la misma sombra. Por ejemplo, las 10 funciones theta simuladas de orden 5 encontradas por Ramanujan se dividen en dos grupos de 5, donde todas las funciones en cada grupo tienen la misma sombra (hasta la multiplicación por una constante).

Don Zagier ^[11] define una función theta simulada como una potencia racional de q  = e ^{2 π i 𝜏} veces una forma modular simulada de peso .1/2⁠ cuya sombra es una serie theta de la forma

${\displaystyle \sum _{n\in Z}\varepsilon (n)nq^{\kappa n^{2}}}$

para una función racional positiva κ y una función periódica impar ε . (Cualquier serie theta de este tipo es una forma modular de peso ⁠3/2⁠ ). El poder racional de q es un accidente histórico.

La mayoría de las formas modulares simuladas y las formas Maass débiles tienen un crecimiento rápido en las cúspides. Es común imponer la condición de que crezcan como máximo exponencialmente rápido en las cúspides (lo que para las formas modulares simuladas significa que son "meromórficas" en las cúspides). El espacio de las formas modulares simuladas (de peso y grupo determinados) cuyo crecimiento está limitado por alguna función exponencial fija en las cúspides es de dimensión finita.

Sumas de Appell-Lerch

Las sumas de Appell-Lerch, una generalización de las series de Lambert , fueron estudiadas por primera vez por Paul Émile Appell ^[12] y Mathias Lerch ^[13] . Watson estudió las funciones theta simuladas de orden 3 expresándolas en términos de sumas de Appell-Lerch, y Zwegers las utilizó para demostrar que las funciones theta simuladas son esencialmente formas modulares simuladas.

La serie Appell-Lerch es

${\displaystyle \mu (u,v;\tau )={\frac {a^{\frac {1}{2}}}{\theta (v;\tau )}}\sum _{n\in Z}{\frac {(-b)^{n}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{1-aq^{n}}}}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle q=e^{2\pi i\tau },\quad a=e^{2\pi iu},\quad b=e^{2\pi iv}}$

y

${\displaystyle \theta (v,\tau )=\sum _{n\in Z}(-1)^{n}b^{n+{\frac {1}{2}}}q^{{\frac {1}{2}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.}$

La serie modificada

${\displaystyle {\hat {\mu }}(u,v;\tau )=\mu (u,v;\tau )-{\frac {1}{2}}R(u-v;\tau )}$

dónde

${\displaystyle R(z;\tau )=\sum _{\nu \in Z+{\frac {1}{2}}}(-1)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\left({\rm {sign}}(\nu )-E\left[\left(\nu +{\frac {\Im (z)}{y}}\right){\sqrt {2y}}\right]\right)e^{-2\pi i\nu z}q^{-{\frac {1}{2}}\nu ^{2}}}$

y y = Im(𝜏) y

${\displaystyle E(z)=2\int _{0}^{z}e^{-\pi u^{2}}\,du}$

satisface las siguientes propiedades de transformación

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mu }}(u+1,v;\tau )&=a^{-1}bq^{-{\frac {1}{2}}}{\hat {\mu }}(u+\tau ,v;\tau )\\&{}=-{\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\e^{{\frac {2}{8}}\pi i}{\hat {\mu }}(u,v;\tau +1)&={\hat {\mu }}(u,v;\tau )\\&{}=-\left({\frac {\tau }{i}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}e^{{\frac {\pi i}{\tau }}(u-v)^{2}}{\hat {\mu }}\left({\frac {u}{\tau }},{\frac {v}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }}\right).\end{aligned}}}$

En otras palabras, la serie de Appell-Lerch modificada se transforma como una forma modular con respecto a 𝜏. Dado que las funciones theta simuladas se pueden expresar en términos de la serie de Appell-Lerch, esto significa que las funciones theta simuladas se transforman como formas modulares si se les agrega una determinada serie no analítica.

Serie theta indefinida

George Andrews ^[14] demostró que varias de las funciones theta simuladas de quinto orden de Ramanujan son iguales a cocientes .Θ(𝜏)/θ (𝜏)⁠ donde θ (𝜏) es una forma modular de peso ⁠1/2⁠ y Θ(𝜏) es una función theta de una forma cuadrática binaria indefinida , y Dean Hickerson ^[15] demostró resultados similares para funciones theta simuladas de séptimo orden. Zwegers mostró cómo completar las funciones theta indefinidas para producir formas modulares analíticas reales, y utilizó esto para dar otra prueba de la relación entre las funciones theta simuladas y las formas de onda débiles de Maass.

Formas meromórficas de Jacobi

George Andrews ^[16] observó que algunas de las funciones theta simuladas de quinto orden de Ramanujan podían expresarse en términos de cocientes de las funciones theta de Jacobi. Zwegers utilizó esta idea para expresar las funciones theta simuladas como coeficientes de Fourier de formas meromórficas de Jacobi.

Aplicaciones

• Ruth Lawrence y Don Zagier relacionaron funciones theta simuladas con invariantes cuánticos de 3-variedades. ^[17]
• AM Semikhatov, A. Taormina e I. Yu Tipunin relacionaron las funciones theta simuladas con las superálgebras de Lie de dimensión infinita y la teoría de campos conforme bidimensional . ^[18]
• J. Troost demostró que las terminaciones modulares de formas modulares simuladas surgen como géneros elípticos de teorías de campos conformes con espectro continuo. ^[19]
• Las funciones theta simuladas aparecen en la teoría de la luz de luna umbral .
• Atish Dabholkar , Sameer Murthy y Don Zagier demostraron que las formas modulares simuladas están relacionadas con las degeneraciones de los agujeros negros cuánticos en las teorías de cuerdas N = 4. ^[20]

Ejemplos

• Cualquier forma modular de peso k (posiblemente sólo meromórfica en las cúspides) es una forma modular simulada de peso k con sombra 0.
• La serie cuasimodular de Eisenstein

${\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n>0}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

de peso 2 y nivel 1 es una forma modular simulada de peso 2, con sombra constante. Esto significa que

${\displaystyle \displaystyle E_{2}(\tau )-{\frac {3}{\pi y}}}$

se transforma como una forma modular de peso 2 (donde 𝜏 = x  +  iy ).

• La función estudiada por Don Zagier ^{[21] [22]} con coeficientes de Fourier que son números de clase de Hurwitz H ( N ) de campos cuadráticos imaginarios es una forma modular simulada de peso ⁠3/2⁠ , nivel 4 y sombra Σ  q ^{n 2} . La forma de onda débil de Maass correspondiente es 

${\displaystyle F(\tau )=\sum _{N}H(N)q^{n}+y^{-1/2}\sum _{n\in Z}\beta (4\pi n^{2}y)q^{-n^{2}}}$

dónde

${\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{16\pi }}\int _{1}^{\infty }u^{-3/2}e^{-xu}du}$

y y  = Im(𝜏), q  = e ^{2 π i 𝜏} .

Las funciones theta simuladas son formas modulares simuladas de peso .1/2⁠ cuya sombra es una función theta unaria, multiplicada por una potencia racional de q (por razones históricas). Antes de que el trabajo de Zwegers condujera a un método general para construirlas, la mayoría de los ejemplos se daban como funciones hipergeométricas básicas , pero esto es en gran medida un accidente histórico, y la mayoría de las funciones theta simuladas no tienen una expresión simple conocida en términos de tales funciones.

Las funciones theta simuladas "triviales" son las formas modulares (holomórficas) del peso .1/2⁠ , que fueron clasificadas por Serre y Stark, ^[23] quienes demostraron que todas ellas podían escribirse en términos de funciones theta de redes unidimensionales.

Los siguientes ejemplos utilizan los símbolos q-Pochhammer ( a ; q ) _n que se definen como:

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}).}$

Orden 2

McIntosh estudió algunas funciones theta simuladas de orden 2. ^[24]

${\displaystyle A(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n+1}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(secuencia A006304 en la OEIS )

${\displaystyle B(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$ (secuencia A153140 en la OEIS )

${\displaystyle \mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}^{2}}}}$ (secuencia A006306 en la OEIS )

Ramanujan encontró la función μ en su cuaderno perdido.

Estas están relacionadas con las funciones enumeradas en la sección sobre funciones de orden 8 por

${\displaystyle U_{0}(q)-2U_{1}(q)=\mu (q)}$

${\displaystyle V_{0}(q)-V_{0}(-q)=4qB(q^{2})}$

${\displaystyle V_{1}(q)+V_{1}(-q)=2A(q^{2})}$

Orden 3

Ramanujan mencionó cuatro funciones theta simuladas de orden 3 en su carta a Hardy, y enumeró otras tres en su cuaderno perdido, que fueron redescubiertas por GN Watson . ^[5] Este último demostró las relaciones entre ellas establecidas por Ramanujan y también encontró sus transformaciones bajo elementos del grupo modular expresándolas como sumas de Appell-Lerch. Dragonette ^[8] describió la expansión asintótica de sus coeficientes. Zwegers ^[1] las relacionó con formas armónicas débiles de Maass. Véase también la monografía de Nathan Fine. ^[25]

Las siete funciones theta simuladas de orden 3 dadas por Ramanujan son

${\displaystyle f(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q;q)_{n}^{2}}}={\frac {2}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{n}}}}$, (secuencia A000025 en la OEIS ).

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1+q^{2n}}}}$(secuencia A053250 en la OEIS ).

${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n>0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q^{2})_{n}}}={\frac {q}{\prod _{n>0}(1-q^{4n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}q^{6n(n+1)}}{1-q^{4n+1}}}}$ (secuencia A053251 en la OEIS ).

${\displaystyle \chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{\prod _{1\leq i\leq n}(1-q^{i}+q^{2i})}}={\frac {1}{2\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\in \mathbf {Z} }{\frac {(-1)^{n}(1+q^{n})q^{n(3n+1)/2}}{1-q^{n}+q^{2n}}}}$ (secuencia A053252 en la OEIS ).

${\displaystyle \omega (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{(q;q^{2})_{n+1}^{2}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1+q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}}}$ (secuencia A053253 en la OEIS ).

${\displaystyle \nu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)/2}{\frac {1-q^{2n+1}}{1+q^{2n+1}}}}}$ (secuencia A053254 en la OEIS ).

${\displaystyle \rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n(n+1)}}{\prod _{0\leq i\leq n}(1+q^{2i+1}+q^{4i+2})}}={\frac {1}{\prod _{n>0}(1-q^{2n})}}\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}q^{3n(n+1)}{\frac {1-q^{4n+2}}{1+q^{2n+1}+q^{4n+2}}}}}$ (secuencia A053255 en la OEIS ).

Las primeras cuatro forman un grupo con la misma sombra (hasta una constante), y lo mismo hacen las tres últimas. Más precisamente, las funciones satisfacen las siguientes relaciones (encontradas por Ramanujan y demostradas por Watson):

${\displaystyle {\begin{aligned}2\phi (-q)-f(q)&=f(q)+4\psi (-q)=\theta _{4}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{r}\right)^{-1}\\4\chi (q)-f(q)&=3\theta _{4}^{2}(0,q^{3})\prod _{r>0}\left(1-q^{r}\right)^{-1}\\2\rho (q)+\omega (q)&=3\left({\frac {1}{2}}q^{-{\frac {3}{8}}}\theta _{2}(0,q^{\frac {3}{2}})\right)^{2}\prod _{r>0}\left(1-q^{2r}\right)^{-1}\\\nu (\pm q)\pm q\omega \left(q^{2}\right)&={\frac {1}{2}}q^{-{\frac {1}{4}}}\theta _{2}(0,q)\prod _{r>0}\left(1+q^{2r}\right)\\f\left(q^{8}\right)\pm 2q\omega (\pm q)\pm 2q^{3}\omega \left(-q^{4}\right)&=\theta _{3}(0,\pm q)\theta _{3}^{2}\left(0,q^{2}\right)\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\\f(q^{8})+q\omega (q)-q\omega (-q)&=\theta _{3}(0,q^{4})\theta _{3}^{2}(0,q^{2})\prod _{r>0}\left(1-q^{4r}\right)^{-2}\end{aligned}}}$

Orden 5

Ramanujan escribió diez funciones theta simuladas de orden 5 en su carta de 1920 a Hardy, y estableció algunas relaciones entre ellas que fueron probadas por Watson. ^[26] En su cuaderno perdido, estableció algunas identidades adicionales que relacionaban estas funciones, equivalentes a las conjeturas theta simuladas , ^[27] que fueron probadas por Hickerson. ^[28] Andrews ^[14] encontró representaciones de muchas de estas funciones como el cociente de una serie theta indefinida por formas modulares de peso .1/2⁠ .

${\displaystyle f_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(-q;q)_{n}}}}$(secuencia A053256 en la OEIS )

${\displaystyle f_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}+n}}{(-q;q)_{n}}}}$(secuencia A053257 en la OEIS )

${\displaystyle \phi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}}$(secuencia A053258 en la OEIS )

${\displaystyle \phi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}}$(secuencia A053259 en la OEIS )

${\displaystyle \psi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}}$(secuencia A053260 en la OEIS )

${\displaystyle \psi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}}$(secuencia A053261 en la OEIS )

${\displaystyle \chi _{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n}}}=2F_{0}(q)-\phi _{0}(-q)}$(secuencia A053262 en la OEIS )

${\displaystyle \chi _{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}=2F_{1}(q)+q^{-1}\phi _{1}(-q)}$(secuencia A053263 en la OEIS )

${\displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}}{(q;q^{2})_{n}}}}$(secuencia A053264 en la OEIS )

${\displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(secuencia A053265 en la OEIS )

${\displaystyle \Psi _{0}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q)(1-q^{4})(1-q^{6})(1-q^{9})...(1-q^{5n-1})(1-q^{5n+1})}}}$(secuencia A053266 en la OEIS )

${\displaystyle \Psi _{1}(q)=-1+\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{5n^{2}}}{(1-q^{2})(1-q^{3})(1-q^{7})(1-q^{8})...(1-q^{5n-2})(1-q^{5n+2})}}}$(secuencia A053267 en la OEIS )

Orden 6

Ramanujan ^[4] escribió siete funciones theta simuladas de orden 6 en su cuaderno perdido, y enunció 11 identidades entre ellas, que fueron probadas por Andrews y Hickerson. ^[29] Dos de las identidades de Ramanujan relacionan φ y ψ en varios argumentos, cuatro de ellas expresan φ y ψ en términos de la serie de Appell–Lerch, y las últimas cinco identidades expresan las cinco funciones theta simuladas de sexto orden restantes en términos de φ y ψ . Berndt y Chan ^[30] descubrieron dos funciones más de sexto orden.

Las funciones theta simuladas de orden 6 son:

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n}}}}$(secuencia A053268 en la OEIS )

${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{2n+1}}}}$(secuencia A053269 en la OEIS )

${\displaystyle \rho (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(secuencia A053270 en la OEIS )

${\displaystyle \sigma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}(-q;q)_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(secuencia A053271 en la OEIS )

${\displaystyle \lambda (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n}(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n}}}}$(secuencia A053272 en la OEIS )

${\displaystyle 2\mu (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n+1}(1+q^{n})(q;q^{2})_{n}}{(-q;q)_{n+1}}}}$(secuencia A053273 en la OEIS )

${\displaystyle \gamma (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(q;q)_{n}}{(q^{3};q^{3})_{n}}}}$(secuencia A053274 en la OEIS )

${\displaystyle \phi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-1}}{(q;q^{2})_{n}}}}$(secuencia A153251 en la OEIS )

${\displaystyle \psi _{-}(q)=\sum _{n\geq 1}{\frac {q^{n}(-q;q)_{2n-2}}{(q;q^{2})_{n}}}}$(secuencia A153252 en la OEIS )

Orden 7

Ramanujan dio tres funciones theta simuladas de orden 7 en su carta de 1920 a Hardy. Fueron estudiadas por Selberg ^[31] , quien encontró una expansión asintótica para sus coeficientes, y por Andrews ^[14] . Hickerson ^[15] encontró representaciones de muchas de estas funciones como cocientes de series theta indefinidas mediante formas modulares de peso .1/2⁠ . Zwegers ^{[1] [2]} describió sus propiedades de transformación modular.

• ${\displaystyle \displaystyle F_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n+1};q)_{n}}}}$(secuencia A053275 en la OEIS )
• ${\displaystyle \displaystyle F_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q^{n};q)_{n}}}}$(secuencia A053276 en la OEIS )
• ${\displaystyle \displaystyle F_{2}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}}{(q^{n+1};q)_{n+1}}}}$(secuencia A053277 en la OEIS )

Estas tres funciones theta simuladas tienen sombras diferentes, por lo que, a diferencia del caso de las funciones de orden 3 y orden 5 de Ramanujan, no existen relaciones lineales entre ellas y las formas modulares ordinarias. Las formas de Maass débiles correspondientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{1}(\tau )&=q^{-1/168}F_{1}(q)+R_{7,1}(\tau )\\[4pt]M_{2}(\tau )&=-q^{-25/168}F_{2}(q)+R_{7,2}(\tau )\\[4pt]M_{3}(\tau )&=q^{47/168}F_{3}(q)+R_{7,3}(\tau )\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle R_{p,j}(\tau )=\!\!\!\!\sum _{n\equiv j{\bmod {p}}}{\binom {12}{n}}\operatorname {sgn}(n)\beta \left({\frac {n^{2}y}{6p}}\right)q^{-n^{2}/24p}}$

y

${\displaystyle \beta (x)=\int _{x}^{\infty }u^{-1/2}e^{-\pi u}\,du}$

es más o menos la función de error complementaria. Bajo el grupo metapléctico, estas tres funciones se transforman según una determinada representación tridimensional del grupo metapléctico de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{j}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {\frac {\tau }{7i}}}\,\sum _{k=1}^{3}2\sin \left({\frac {6\pi jk}{7}}\right)M_{k}(\tau )\\[6pt]M_{1}(\tau +1)&=e^{-2\pi i/168}M_{1}(\tau ),\\[6pt]M_{2}(\tau +1)&=e^{-2\times 25\pi i/168}M_{2}(\tau ),\\[6pt]M_{3}(\tau +1)&=e^{-2\times 121\pi i/168}M_{3}(\tau ).\end{aligned}}}$

En otras palabras, son los componentes de una forma de peso de Maass débil armónica con valor vectorial de nivel 1  .1/2⁠ .

Orden 8

Gordon y McIntosh ^[32] encontraron ocho funciones theta simuladas de orden 8. Encontraron cinco relaciones lineales que las involucraban, expresaron cuatro de las funciones como sumas de Appell-Lerch y describieron sus transformaciones bajo el grupo modular. Las dos funciones V ₁ y U ₀ fueron encontradas anteriormente por Ramanujan ^[33] en su cuaderno perdido.

${\displaystyle S_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}}$ (secuencia A153148 en la OEIS )

${\displaystyle S_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+2)}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}}}$ (secuencia A153149 en la OEIS )

${\displaystyle T_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}}$ (secuencia A153155 en la OEIS )

${\displaystyle T_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)}(-q^{2};q^{2})_{n}}{(-q;q^{2})_{n+1}}}}$(secuencia A153156 en la OEIS )

${\displaystyle U_{0}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{4};q^{4})_{n}}}}$ (secuencia A153172 en la OEIS )

${\displaystyle U_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(-q^{2};q^{4})_{n+1}}}}$(secuencia A153174 en la OEIS )

${\displaystyle V_{0}(q)=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n}}}=-1+2\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}}(-q^{2};q^{4})_{n}}{(q;q^{2})_{2n+1}}}}$ (secuencia A153176 en la OEIS )

${\displaystyle V_{1}(q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)^{2}}(-q;q^{2})_{n}}{(q;q^{2})_{n+1}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{2n^{2}+2n+1}(-q^{4};q^{4})_{n}}{(q;q^{2})_{2n+2}}}}$ (secuencia A153178 en la OEIS )

Orden 10

Ramanujan ^[34] enumeró cuatro funciones theta simuladas de orden 10 en su cuaderno perdido y estableció algunas relaciones entre ellas, que fueron demostradas por Choi. ^{[35] [36] [37] [38]}

• ${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n(n+1)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(secuencia A053281 en la OEIS )
• ${\displaystyle \psi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{(n+1)(n+2)/2}}{(q;q^{2})_{n+1}}}}$(secuencia A053282 en la OEIS )
• ${\displaystyle \mathrm {X} (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{n^{2}}}{(-q;q)_{2n}}}}$(secuencia A053283 en la OEIS )
• ${\displaystyle \chi (q)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}q^{(n+1)^{2}}}{(-q;q)_{2n+1}}}}$(secuencia A053284 en la OEIS )

Notas

1. Zwegers 2001.
2. Zwegers 2002.
3. Ramanujan 2000, Apéndice II.
4. Ramanujan 1988.
5. Watson 1936.
6. Bringmann, Folsom y Ono 2009.
7. Andrews 1966.
8. Dragonette 1952.
9. Bringmann y Ono 2006.
10. Bruinier y Funke 2004.
11. Zagier 2007.
12. Apelación 1884.
13. Lerch 1892.
14. Andrews 1986.
15. Hickerson 1988b.
16. Andrews 1988.
17. Lawrence y Zagier 1999.
18. Semikhatov, Taormina y Tipunin 2005.
19. Troost 2010.
20. Dabholkar, Murthy y Zagier 2012.
21. Zagier 1975.
22. Hirzebruch y Zagier 1976, 2.2.
23. Serre y Stark 1977.
24. McIntosh 2007.
25. Bien 1988.
26. Watson 1937.
27. Andrews y Garvan 1989.
28. Hickerson 1988a.
29. Andrews y Hickerson 1991.
30. Berndt y Chan 2007.
31. Selberg 1938.
32. Gordon y McIntosh 2000.
33. Ramanujan 1988, pág. 8, ecuación 1; pág. 29, ecuación 6.
34. Ramanujan 1988, pág. 9.
35. Choi 1999.
36. Choi 2000.
37. Choi 2002.
38. Choi 2007.

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Lectura adicional

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Enlaces externos

• Conferencia internacional: funciones theta simuladas y aplicaciones 2009
• Artículos sobre funciones theta simuladas de George Andrews
• Artículos sobre funciones theta simuladas de Kathrin Bringmann
• Artículos sobre funciones theta simuladas de Ken Ono
• Documentos sobre funciones theta simuladas de Sander Zwegers
• Weisstein, Eric W. , "Función theta simulada", MathWorld