Forma modular de Hilbert

Formas modulares especiales

En matemáticas , una forma modular de Hilbert es una generalización de las formas modulares a funciones de dos o más variables. Es una función analítica (compleja) sobre el producto m -fold de semiplanos superiores que satisface un cierto tipo de ecuación funcional . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Definición

Sea F un cuerpo de números totalmente reales de grado m sobre el cuerpo racional. Sean las incrustaciones reales de F . A través de ellas tenemos una función ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}}$

${\displaystyle GL_{2}(F)\to GL_{2}(\mathbb {R} )^{m}.}$

Sea el anillo de números enteros de F . El grupo se denomina grupo modular de Hilbert completo . Para cada elemento , existe una acción de grupo de definida por ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ ${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$ ${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{m})\in {\mathcal {H}}^{m}}$ ${\displaystyle GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$ ${\displaystyle \gamma \cdot z=(\sigma _{1}(\gamma )z_{1},\ldots ,\sigma _{m}(\gamma )z_{m})}$

Para

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL_{2}(\mathbb {R} ),}$

definir:

${\displaystyle j(g,z)=\det(g)^{-1/2}(cz+d)}$

Una forma modular de Hilbert del peso es una función analítica tal que para cada ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{m})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ ${\displaystyle \gamma \in GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})}$

${\displaystyle f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).}$

A diferencia del caso de la forma modular, no se necesita ninguna condición adicional para las cúspides debido al principio de Koecher . ^{[ dudoso – discutir ]}

Historia

Estas formas modulares, para cuerpos cuadráticos reales , fueron tratadas por primera vez en la Habilitationssschrift de la Universidad de Göttingen de 1901 de Otto Blumenthal . Allí menciona que David Hilbert las había considerado inicialmente en un trabajo de 1893-4, que permaneció inédito. El trabajo de Blumenthal se publicó en 1903. Por esta razón, las formas modulares de Hilbert a menudo se denominan ahora formas modulares de Hilbert-Blumenthal .

La teoría permaneció latente durante algunas décadas; Erich Hecke apeló a ella en sus primeros trabajos, pero el mayor interés en las formas modulares de Hilbert aguardó el desarrollo de la teoría de variedades complejas .

Véase también

• Forma modular de Siegel
• Superficie modular de Hilbert

Referencias

• Jan H. Bruinier: Formas modulares de Hilbert y sus aplicaciones.
• Paul B. Garrett: Formas modulares de Hilbert holomórficas . Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN  0-534-10344-8
• Eberhard Freitag : Formas modulares de Hilbert . Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5