En matemáticas, el inverso aditivo de un número a (a veces llamado el opuesto de a ) [1] es el número que, cuando se suma a a , da como resultado cero . La operación de llevar un número a su inverso aditivo se conoce como cambio de signo [2] o negación . [3] Para un número real , invierte su signo : el inverso aditivo (número opuesto) de un número positivo es negativo, y el inverso aditivo de un número negativo es positivo. El cero es el inverso aditivo de sí mismo.
El inverso aditivo de a se denota por menos unario : − a (ver también § Relación con la resta a continuación). [4] Por ejemplo, el inverso aditivo de 7 es −7, porque 7 + (−7) = 0 , y el inverso aditivo de −0,3 es 0,3, porque −0,3 + 0,3 = 0 .
De manera similar, el inverso aditivo de a − b es −( a − b ) que se puede simplificar a b − a . El inverso aditivo de 2 x − 3 es 3 − 2 x , porque 2 x − 3 + 3 − 2 x = 0 . [5]
El inverso aditivo se define como su elemento inverso bajo la operación binaria de suma (ver también § Definición formal a continuación), lo que permite una amplia generalización a objetos matemáticos distintos de los números. Como ocurre con cualquier operación inversa, la inversa aditiva doble no tiene ningún efecto neto : −(− x ) = x .
Para un número (y más generalmente en cualquier anillo ), el inverso aditivo se puede calcular multiplicando por −1 ; es decir, − norte = −1 × norte . Ejemplos de anillos de números son los números enteros , los números racionales , los números reales y los números complejos .
El inverso aditivo está estrechamente relacionado con la resta , que puede verse como una suma del opuesto:
Por el contrario, el inverso aditivo se puede considerar como una resta de cero:
Por lo tanto, la notación del signo menos unario puede verse como una abreviatura de la resta (con el símbolo "0" omitido), aunque en una tipografía correcta , no debería haber espacio después del "-" unario.
Además de las identidades enumeradas anteriormente, la negación tiene las siguientes propiedades algebraicas:
La notación + suele reservarse para operaciones binarias conmutativas (operaciones donde x + y = y + x para todo x , y ). Si tal operación admite un elemento identidad o (tal que x + o ( = o + x ) = x para todo x ), entonces este elemento es único ( o ′ = o ′ + o = o ). Para una x dada , si existe x ′ tal que x + x ′ ( = x ′ + x ) = o , entonces x ′ se llama inverso aditivo de x .
Si + es asociativo , es decir, ( x + y ) + z = x + ( y + z ) para todo x , y , z , entonces un inverso aditivo es único. Para ver esto, sean x ′ y x″ inversos aditivos de x ; entonces
Por ejemplo, dado que la suma de números reales es asociativa, cada número real tiene un inverso aditivo único.
Todos los ejemplos siguientes son de hecho grupos abelianos :
Los números naturales , los números cardinales y los números ordinales no tienen inversos aditivos dentro de sus respectivos conjuntos . Así, se puede decir, por ejemplo, que los números naturales tienen inversos aditivos, pero como estos inversos aditivos no son en sí mismos números naturales, el conjunto de números naturales no es cerrado al tomar inversos aditivos.
...para tomar el inverso aditivo del miembro, cambiamos el signo del número.