Semigrupo con involución

En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un semigrupo con involución o un semigrupo * es un semigrupo dotado de un antiautomorfismo involutivo , que, en términos generales, lo acerca a un grupo porque esta involución, considerada como operador unario , exhibe ciertos Propiedades fundamentales de la operación de tomar la inversa en un grupo:

• Unicidad
• Doble aplicación "anulándose sola".
• La misma ley de interacción con la operación binaria que en el caso de la inversa de grupo.

Por tanto, no sorprende que cualquier grupo sea un semigrupo con involución. Sin embargo, existen importantes ejemplos naturales de semigrupos con involución que no son grupos.

Un ejemplo de álgebra lineal es el monoide multiplicativo de matrices cuadradas reales de orden  n (llamado monoide lineal completo ). La función que envía una matriz a su transpuesta es una involución porque la transpuesta está bien definida para cualquier matriz y obedece a la ley ( AB ) ^T = B ^T A ^T , que tiene la misma forma de interacción con la multiplicación que la de tomar inversas en la grupo lineal general (que es un subgrupo del monoide lineal completo). Sin embargo, para una matriz arbitraria, AAT ^no es igual al elemento identidad (es decir, la matriz diagonal ). Otro ejemplo, procedente de la teoría del lenguaje formal , es el semigrupo libre generado por un conjunto no vacío (un alfabeto ), con la concatenación de cadenas como operación binaria y la involución como mapa que invierte el orden lineal de las letras en una cadena. Un tercer ejemplo, de la teoría básica de conjuntos , es el conjunto de todas las relaciones binarias entre un conjunto y él mismo, siendo la involución la relación inversa y la multiplicación dada por la composición habitual de relaciones .

Los semigrupos con involución aparecieron nombrados explícitamente en un artículo de 1953 de Viktor Wagner (en ruso) como resultado de su intento de unir la teoría de los semigrupos con la de los semimontones . ^[1]

Definicion formal

Sea S un semigrupo con su operación binaria escrita multiplicativamente. Una involución en S es una operación unaria * en S (o una transformación * : S → S , x ↦ x *) que satisface las siguientes condiciones:

1. Para todo x en S , ( x *)* = x .
2. Para todo x , y en S tenemos ( xy )* = y * x *.

El semigrupo S con involución * se llama semigrupo con involución.

Los semigrupos que satisfacen sólo el primero de estos axiomas pertenecen a la clase más amplia de semigrupos U.

En algunas aplicaciones, el segundo de estos axiomas ha sido denominado antidistributivo . ^[2] Respecto a la filosofía natural de este axioma, HSM Coxeter señaló que "queda claro cuando pensamos en [x] e [y] como las operaciones de ponerse los calcetines y los zapatos, respectivamente". ^[3]

Ejemplos

1. Si S es un semigrupo conmutativo entonces el mapa de identidad de S es una involución.
2. Si S es un grupo , entonces el mapa de inversión * : S → S definido por x * = x ⁻¹ es una involución. Además, en un grupo abeliano tanto este mapa como el del ejemplo anterior son involuciones que satisfacen los axiomas de semigrupo con involución. ^[4]
3. Si S es un semigrupo inverso , entonces el mapa de inversión es una involución que deja invariantes a los idempotentes . Como se señaló en el ejemplo anterior, la aplicación de inversión no es necesariamente la única aplicación con esta propiedad en un semigrupo inverso. Es muy posible que haya otras involuciones que dejen invariantes a todos los idempotentes; por ejemplo, el mapa de identidad en un semigrupo conmutativo regular, por lo tanto inverso, en particular, un grupo abeliano. Un semigrupo regular es un semigrupo inverso si y sólo si admite una involución bajo la cual cada idempotente es un invariante. ^[5]
4. Detrás de cada álgebra C* hay un semigrupo *. Un ejemplo importante es el álgebra M _n ( C ) de matrices n por n sobre C , con la transpuesta conjugada como involución.
5. Si X es un conjunto, el conjunto de todas las relaciones binarias en X es un semigrupo * con el * dado por la relación inversa y la multiplicación dada por la composición habitual de relaciones . Este es un ejemplo de un semigrupo * que no es un semigrupo regular.
6. Si X es un conjunto, entonces el conjunto de todas las secuencias finitas (o cadenas ) de miembros de X forma un monoide libre bajo la operación de concatenación de secuencias, con inversión de secuencia como involución.
7. Una banda rectangular en un producto cartesiano de un conjunto A consigo mismo, es decir, con elementos de A × A , con el producto del semigrupo definido como ( a , b )( c , d ) = ( a , d ), siendo la involución la inversión de orden de los elementos de un par ( a , b )* = ( b , a ). Este semigrupo también es un semigrupo regular , como lo son todas las bandas. ^[6]

Conceptos y propiedades básicos.

Un elemento x de un semigrupo con involución a veces se llama hermitiano (por analogía con una matriz hermitiana ) cuando la involución lo deja invariante, es decir, x * = x . Los elementos de la forma xx * o x * x son siempre hermitianos, al igual que todos los poderes de un elemento hermitiano. Como se señaló en la sección de ejemplos, un semigrupo S es un semigrupo inverso si y sólo si S es un semigrupo regular y admite una involución tal que todo idempotente es hermitiano. ^[7]

Ciertos conceptos básicos pueden definirse en *-semigrupos de manera paralela a las nociones que surgen de un elemento regular en un semigrupo . Una isometría parcial es un elemento s tal que ss * s = s ; el conjunto de isometrías parciales de un semigrupo S suele abreviarse PI( S ). ^[8] Una proyección es un elemento idempotente e que también es hermitiano, lo que significa que ee = e y e * = e . Cada proyección es una isometría parcial, y para cada isometría parcial s , s * s y ss * son proyecciones. Si e y f son proyecciones, entonces e = ef si y sólo si e = fe . ^[9]

Las isometrías parciales se pueden ordenar parcialmente por s ≤ t , definido como válido siempre que s = ss * t y ss * = ss * tt *. ^[9] De manera equivalente, s ≤ t si y solo si s = et y e = ett * para alguna proyección e . ^[9] En un semigrupo *, PI( S ) es un grupoide ordenado con el producto parcial dado por s ⋅ t = st si s * s = tt *. ^[10]

Ejemplos

En términos de ejemplos de estas nociones, en el semigrupo * de relaciones binarias en un conjunto, las isometrías parciales son las relaciones que son difuncionales . Las proyecciones en este semigrupo * son las relaciones de equivalencia parcial . ^[11]

Las isometrías parciales en un álgebra C* son exactamente las definidas en esta sección. En el caso de M _n ( C ) se puede decir más. Si E y F son proyecciones, entonces E ≤ F si y sólo si im E ⊆ im F . Para dos proyecciones cualesquiera, si E ∩ F = V , entonces la proyección única J con imagen V y kernel el complemento ortogonal de V es el encuentro de E y F . Dado que las proyecciones forman una semired , las isometrías parciales en M _n ( C ) forman un semigrupo inverso con el producto . ^[12] ${\displaystyle A(A^{*}A\wedge BB^{*})B}$

Otro ejemplo sencillo de estas nociones aparece en la siguiente sección.

Nociones de regularidad

Hay dos nociones de regularidad relacionadas, pero no idénticas, en los semigrupos *. Fueron introducidos casi simultáneamente por Nordahl y Scheiblich (1978) y Drazin (1979), respectivamente. ^[13]

Semigrupos * regulares (Nordahl y Scheiblich)

Como se mencionó en los ejemplos anteriores, los semigrupos inversos son una subclase de *-semigrupos. También es un conocimiento de libro de texto que un semigrupo inverso puede caracterizarse como un semigrupo regular en el que dos idempotentes cualesquiera conmutan. En 1963, Boris M. Schein demostró que los dos axiomas siguientes proporcionan una caracterización análoga de los semigrupos inversos como una subvariedad de *-semigrupos:

• x = xx * x
• ( xx *)( x * x ) = ( x * x )( xx *)

La primera de ellas parece la definición de un elemento regular, pero en realidad está en términos de involución. Asimismo, el segundo axioma parece describir la conmutación de dos idempotentes. Se sabe, sin embargo, que los semigrupos regulares no forman una variedad porque su clase no contiene objetos libres (resultado establecido por DB McAlister en 1968). Esta línea de razonamiento motivó a Nordahl y Scheiblich a comenzar en 1977 el estudio de los (variedades de) *-semigrupos que satisfacen sólo el primero de estos dos axiomas; debido a la similitud en la forma con la propiedad que define los semigrupos regulares, llamaron a esta variedad semigrupos * regulares.

Es un cálculo simple establecer que un semigrupo regular * también es un semigrupo regular porque x * resulta ser un inverso de x . La banda rectangular del ejemplo 7 es un semigrupo * regular que no es un semigrupo inverso. ^[6] También es fácil verificar que en un semigrupo * regular el producto de dos proyecciones cualesquiera es un idempotente. ^[14] En el ejemplo de banda rectangular antes mencionado, las proyecciones son elementos de la forma ( x , x ) y [como todos los elementos de una banda] son ​​idempotentes. Sin embargo, dos proyecciones diferentes en esta banda no necesitan conmutar, ni su producto es necesariamente una proyección ya que ( a , a )( b , b ) = ( a , b ).

Los semigrupos que satisfacen sólo x ** = x = xx * x (pero no necesariamente la antidistributividad de * sobre multiplicación) también se han estudiado bajo el nombre de I-semigrupos .

Sistemas P

M. Yamada (1982) abordó el problema de caracterizar cuándo un semigrupo regular es un semigrupo * regular (en el sentido de Nordahl y Scheiblich). Definió un sistema P F(S) como un subconjunto de los idempotentes de S, denotado como de costumbre por E(S). Usando la notación habitual V( a ) para las inversas de a , F(S) debe satisfacer los siguientes axiomas:

1. Para cualquier a en S, existe un único a° en V( a ) tal que aa ° y a ° a están en F(S)
2. Para cualquier a en S y b en F(S), a°ba está en F(S), donde ° es la operación bien definida del axioma anterior
3. Para cualquier a , b en F(S), ab está en E(S); nota: no necesariamente en F(S)

Un semigrupo regular S es un semigrupo *-regular, según lo definido por Nordahl y Scheiblich, si y sólo si tiene un sistema p F(S). En este caso F(S) es el conjunto de proyecciones de S respecto de la operación ° definida por F(S). En un semigrupo inverso, toda la semired de idempotentes es un sistema p. Además, si un semigrupo regular S tiene un sistema p multiplicativamente cerrado (es decir, un subsemigrupo), entonces S es un semigrupo inverso. Por tanto, un sistema p puede considerarse como una generalización de la semired de idempotentes de un semigrupo inverso.

*-semigrupos regulares (Drazin)

Un semigrupo S con una involución * se llama *-semigrupo regular (en el sentido de Drazin) si para cada x en S , x * es H -equivalente a algún inverso de x , donde H es la relación de Green H. Esta propiedad definitoria se puede formular de varias formas equivalentes. Otra es decir que cada clase L contiene una proyección. Una definición axiomática es la condición de que para cada x en S exista un elemento x ′ tal que x ′ xx ′ = x ′ , xx ′ x = x , ( xx ′)* = xx ′ , ( x ′ x )* = x'x .​​ Michael P. Drazin demostró por primera vez que dado x , el elemento x ′ que satisface estos axiomas es único. Se llama inversa de Moore-Penrose de x . Esto concuerda con la definición clásica de la inversa de Moore-Penrose de una matriz cuadrada.

Una motivación para estudiar estos semigrupos es que permiten generalizar las propiedades del inverso de Moore-Penrose desde y hacia conjuntos más generales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

En el semigrupo multiplicativo M _n ( C ) de matrices cuadradas de orden n , la aplicación que asigna una matriz A a su conjugado hermitiano A * es una involución. El semigrupo M _n ( C ) es un semigrupo *-regular con esta involución. La inversa de Moore-Penrose de A en este semigrupo *-regular es la inversa clásica de Moore-Penrose de A.

Semigrupo libre con involución

Como ocurre con todas las variedades, la categoría de semigrupos con involución admite objetos libres . La construcción de un semigrupo libre (o monoide) con involución se basa en la de un semigrupo libre (y respectivamente en la de un monoide libre). Además, la construcción de un grupo libre se puede derivar fácilmente refinando la construcción de un monoide libre con involución. ^[15]

Los generadores de un semigrupo libre con involución son los elementos de la unión de dos conjuntos disjuntos ( equinumeros ) en correspondencia biyectiva : . (Aquí la notación enfatiza que la unión es en realidad una unión disjunta ). En el caso de que los dos conjuntos sean finitos, su unión Y a veces se denomina alfabeto con involución ^[16] o alfabeto simétrico . ^[17] Sea una biyección; se extiende naturalmente a una biyección esencialmente tomando la unión disjunta de (como un conjunto) con su inversa , o en notación por partes : ^[18] ${\displaystyle Y=X\sqcup X^{\dagger }}$ ${\displaystyle \sqcup \,}$ ${\displaystyle \theta :X\rightarrow X^{\dagger }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {}\dagger :Y\to Y}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle y^{\dagger }={\begin{cases}\theta (y)&{\text{if }}y\in X\\\theta ^{-1}(y)&{\text{if }}y\in X^{\dagger }\end{cases}}}$

Ahora construya como semigrupo libre de la forma habitual con la operación binaria (semigrupo) al ser concatenación : ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y\,}$ ${\displaystyle Y^{+}\,}$

${\displaystyle w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}}$para algunas letras ${\displaystyle w_{i}\in Y.}$

La biyección on se extiende luego como una biyección definida como la inversión de una cadena de elementos que constan de más de una letra: ^{[16] [18]} ${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{\dagger }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}}$ ${\displaystyle Y^{+}\,}$

${\displaystyle w^{\dagger }=w_{k}^{\dagger }w_{k-1}^{\dagger }\cdots w_{2}^{\dagger }w_{1}^{\dagger }.}$

Este mapa es una involución en el semigrupo . Así, el semigrupo con el mapa es un semigrupo con involución, llamado semigrupo libre con involución en X . ^[19] (La irrelevancia de la identidad concreta de y de la biyección en esta elección de terminología se explica a continuación en términos de la propiedad universal de la construcción.) Tenga en cuenta que, a diferencia del Ejemplo 6, la involución de cada letra es un elemento distinto en un alfabeto con involución y, en consecuencia, la misma observación se extiende a un semigrupo libre con involución. ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ ${\displaystyle {}^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle X^{\dagger }}$ ${\displaystyle \theta }$

Si en la construcción anterior en lugar de usamos el monoide libre , que es simplemente el semigrupo libre extendido con la palabra vacía (que es el elemento de identidad del monoide ), y extendemos adecuadamente la involución con , obtenemos un monoide libre con involución . ^[18] ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}}$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$ ${\displaystyle Y^{*}\,}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon }$

The construction above is actually the only way to extend a given map ${\displaystyle \theta \,}$ from ${\displaystyle X\,}$ to ${\displaystyle X^{\dagger }\,}$, to an involution on ${\displaystyle Y^{+}\,}$ (and likewise on ${\displaystyle Y^{*}\,}$). The qualifier "free" for these constructions is justified in the usual sense that they are universal constructions. In the case of the free semigroup with involution, given an arbitrary semigroup with involution ${\displaystyle S\,}$ and a map ${\displaystyle \Phi :X\rightarrow S}$, then a semigroup homomorphism ${\displaystyle {\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S}$ exists such that ${\displaystyle \Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}}$, where ${\displaystyle \iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ is the inclusion map and composition of functions is taken in diagram order.^[19] The construction of ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ as a semigroup with involution is unique up to isomorphism. An analogous argument holds for the free monoid with involution in terms of monoid homomorphisms and the uniqueness up to isomorphism of the construction of ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{*}}$ as a monoid with involution.

The construction of a free group is not very far off from that of a free monoid with involution. The additional ingredient needed is to define a notion of reduced word and a rewriting rule for producing such words simply by deleting any adjacent pairs of letter of the form ${\displaystyle xx^{\dagger }}$ or ${\displaystyle x^{\dagger }x}$. It can be shown than the order of rewriting (deleting) such pairs does not matter, i.e. any order of deletions produces the same result.^[15] (Otherwise put, these rules define a confluent rewriting system.) Equivalently, a free group is constructed from a free monoid with involution by taking the quotient of the latter by the congruence ${\displaystyle \{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}}$, which is sometimes called the Dyck congruence—in a certain sense it generalizes Dyck language to multiple kinds of "parentheses" However simplification in the Dyck congruence takes place regardless of order. For example, if ")" is the inverse of "(", then ${\displaystyle ()=)(=\varepsilon }$; the one-sided congruence that appears in the Dyck language proper ${\displaystyle \{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}}$, which instantiates only to ${\displaystyle ()=\varepsilon }$ is (perhaps confusingly) called the Shamir congruence. The quotient of a free monoid with involution by the Shamir congruence is not a group, but a monoid ; nevertheless it has been called the free half group by its first discoverer—Eli Shamir—although more recently it has been called the involutive monoid generated by X.^[17][20] (This latter choice of terminology conflicts however with the use of "involutive" to denote any semigroup with involution—a practice also encountered in the literature.^[21][22])

Baer *-semigroups

A Baer *-semigroup is a *-semigroup with (two-sided) zero in which the right annihilator of every element coincides with the right ideal of some projection; this property is expressed formally as: for all x ∈ S there exists a projection e such that

{ y ∈ S | xy = 0 } = eS.^[22]

The projection e is in fact uniquely determined by x.^[22]

More recently, Baer *-semigroups have been also called Foulis semigroups, after David James Foulis who studied them in depth.^[23][24]

Examples and applications

The set of all binary relations on a set (from example 5) is a Baer *-semigroup.^[25]

Los semigrupos de Baer * también se encuentran en la mecánica cuántica , ^[22] en particular como semigrupos multiplicativos de los anillos de Baer * .

Si H es un espacio de Hilbert , entonces el semigrupo multiplicativo de todos los operadores acotados en H es un semigrupo de Baer *. En este caso, la involución asigna un operador a su adjunto . ^[25]

Baer *-semigroup permite la coordinación de celosías ortomodulares . ^[23]

Ver también

• Categoría de daga (también conocida como categoría con involución): generaliza la noción
• *-álgebra
• Clases especiales de semigrupos.

Notas

1. Christopher Hollings (2014). Matemáticas al otro lado del Telón de Acero: una historia de la teoría algebraica de semigrupos . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 265.ISBN​ 978-1-4704-1493-1.
2. Chris Brink; Wolfram Kahl; Günther Schmidt (1997). Métodos relacionales en informática . Saltador. pag. 4.ISBN​ 978-3-211-82971-4.
3. HSM Coxeter, Introducción a la geometría , p. 33
4. C. van den Berg; JPR Christensen; P. Ressel (2012). Análisis armónico de semigrupos: teoría de funciones positivas definidas y relacionadas . Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 87–88. ISBN 978-1-4612-1128-0.
5. Munn, Lema 1
6. Nordahl y Scheiblich
7. Easdown, David y WD Munn. "Sobre semigrupos con involución". Boletín de la Sociedad Australiana de Matemáticas 48.01 (1993): 93–100.
8. Lawson, pág. 116
9. Lawson, pag. 117
10. Lawson, pág. 118
11. Lawson p.122 y p.35
12. Lawson página 120
13. Crvenkovic y Dolinka
14. Nordahl y Scheiblich, Teorema 2.5
15. Lawson pág. 51
16. Andrzej Ehrenfeucht; T. Harju; Grzegorz Rozenberg (1999). La teoría de las 2 estructuras: un marco para la descomposición y transformación de gráficos . Científico mundial. págs. 13-14. ISBN 978-981-02-4042-4.
17. Jacques Sakarovitch. Elementos de la teoría de los autómatas . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 305–306.
18. Stephen Lipscomb (1996). Semigrupos inversos simétricos . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 86.ISBN​ 978-0-8218-0627-2.
19. Lawson pág. 172
20. Ion Petre; Arto Salomaa (2009). "Sistemas algebraicos y autómatas pushdown". En Manfred Droste; Werner Kuich; Heiko Vogler (eds.). Manual de autómatas ponderados . Saltador. pag. 271.ISBN​ 978-3-642-01492-5.
21. Karl-Hermann Neeb (2000). Holomorfia y convexidad en la teoría de la mentira . Walter de Gruyter. pag. 21.ISBN​ 978-3-11-015669-0.
22. Enrico G. Beltrametti; Gianni Cassinelli (2010) [1981]. La lógica de la mecánica cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 178.ISBN​ 978-0-521-16849-6.
23. TS Blyth (2006). Celosías y estructuras algebraicas ordenadas . Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 101-102. ISBN 978-1-84628-127-3.
24. Harding, John. "Dagas, núcleos, Baer * -semigrupos y ortomodularidad". Revista de Lógica Filosófica . 6 de abril de 2013. doi :10.1007/s10992-013-9275-5
25. Foulis, DJ Inversos relativos en semigrupos de Baer *. Matemáticas de Michigan. J. 10 (1963), núm. 1, 65–84. doi :10.1307/mmj/1028998825.

Referencias

• Mark V. Lawson (1998). "Semigrupos inversos: la teoría de las simetrías parciales". ISBN científico mundial 981-02-3316-7 
• DJ Foulis (1958). Semigrupos de involución , tesis doctoral, Universidad de Tulane, Nueva Orleans, LA. Publicaciones de DJ Foulis (consultado el 5 de mayo de 2009)
• WD Munn, Special Involutions , en AH Clifford, KH Hofmann, MW Mislove, Teoría de semigrupos y sus aplicaciones: actas de la conferencia de 1994 que conmemora el trabajo de Alfred H. Clifford , Cambridge University Press, 1996, ISBN 0521576695 . Este es un artículo de encuesta reciente sobre semigrupo con involución (especial) 
• Drazin, MP, Semigrupos regulares con involución , Proc. Síntoma. sobre semigrupos regulares (DeKalb, 1979), 29–46
• Nordahl, TE y HE Scheiblich, Semigrupos regulares *, Foro de semigrupos , 16 (1978), 369–377.
• Miyuki Yamada, Sistemas P en semigrupos regulares , Semigroup Forum , 24 (1), diciembre de 1982, págs.
• S. Crvenkovic e Igor Dolinka, "Variedades de semigrupos de involución y semirings de involución: un estudio", Boletín de la Sociedad de Matemáticos de Banja Luka vol. 9 (2002), 7–47.
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