En matemáticas , en particular teoría de campos , los elementos conjugados o conjugados algebraicos de un elemento algebraico α , sobre una extensión de campo L / K , son las raíces del polinomio mínimo p K , α ( x ) de α sobre K. Los elementos conjugados se denominan comúnmente conjugados en contextos donde esto no es ambiguo. Normalmente , el propio α está incluido en el conjunto de conjugados de α .
Equivalentemente, los conjugados de α son las imágenes de α bajo los automorfismos de campo de L que dejan fijos los elementos de K . La equivalencia de las dos definiciones es uno de los puntos de partida de la teoría de Galois .
El concepto generaliza la conjugación compleja , ya que los conjugados algebraicos de un número complejo son el número mismo y su conjugado complejo .
Las raíces cúbicas del número uno son:
Las dos últimas raíces son elementos conjugados en Q [ i √ 3 ] con polinomio mínimo
Si K se da dentro de un campo algebraicamente cerrado C , entonces los conjugados se pueden tomar dentro de C. Si no se especifica tal C , se pueden tomar los conjugados en algún campo L relativamente pequeño . La elección más pequeña posible para L es tomar un campo dividido sobre K de p K , α , que contenga α . Si L es cualquier extensión normal de K que contiene α , entonces, por definición, ya contiene dicho campo de división.
Dada entonces una extensión normal L de K , con grupo de automorfismo Aut( L / K ) = G , y que contiene α , cualquier elemento g ( α ) para g en G será un conjugado de α , ya que el automorfismo g envía raíces de p a raíces de p . Por el contrario, cualquier conjugado β de α tiene esta forma: en otras palabras, G actúa transitivamente sobre los conjugados. Esto se deduce ya que K ( α ) es K -isomorfo a K ( β ) por irreducibilidad del polinomio mínimo, y cualquier isomorfismo de los campos F y F ' que asigna el polinomio p a p ' puede extenderse a un isomorfismo de los campos de división de p sobre F y p ' sobre F ' , respectivamente.
En resumen, los elementos conjugados de α se encuentran, en cualquier extensión normal L de K que contenga K ( α ), como el conjunto de elementos g ( α ) para g en Aut( L / K ). El número de repeticiones en esa lista de cada elemento es el grado separable [ L : K ( α )] sep .
Un teorema de Kronecker establece que si α es un entero algebraico distinto de cero tal que α y todos sus conjugados en los números complejos tienen un valor absoluto como máximo 1, entonces α es una raíz de la unidad . Hay formas cuantitativas de esto, que establecen límites más precisos (según el grado) en el valor absoluto más grande de un conjugado que implican que un entero algebraico es una raíz de la unidad.
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{casos}1\\[3pt]-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}} {2}}i\\[5pt]-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\end{casos}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34018166f8f66f57a4aeb0dfa7036ca51d35e671)
