Polinomio de Kazhdan-Lusztig

En el campo matemático de la teoría de la representación , un polinomio de Kazhdan-Lusztig es miembro de una familia de polinomios integrales introducida por David Kazhdan y George Lusztig  (1979). Están indexados por pares de elementos y , w de un grupo W de Coxeter , que puede ser en particular el grupo Weyl de un grupo de Lie . ${\displaystyle P_{y,w}(q)}$

Motivación e historia.

En la primavera de 1978, Kazhdan y Lusztig estaban estudiando las representaciones de Springer del grupo Weyl de un grupo algebraico en grupos de cohomología -ádica relacionados con clases de conjugación que son unipotentes . Encontraron una nueva construcción de estas representaciones sobre los números complejos (Kazhdan y Lusztig 1980a). La representación tenía dos bases naturales , y la matriz de transición entre estas dos bases viene dada esencialmente por los polinomios de Kazhdan-Lusztig. La construcción real de Kazhdan-Lusztig de sus polinomios es más elemental. Kazhdan y Lusztig utilizaron esto para construir una base canónica en el álgebra de Hecke del grupo Coxeter y sus representaciones. ${\displaystyle \ell }$

En su primer artículo, Kazhdan y Lusztig mencionaron que sus polinomios estaban relacionados con el fracaso de la dualidad local de Poincaré para las variedades de Schubert . En Kazhdan y Lusztig (1980b) reinterpretaron esto en términos de la cohomología de intersección de Mark Goresky y Robert MacPherson , y dieron otra definición de tal base en términos de las dimensiones de ciertos grupos de cohomología de intersección .

Las dos bases para la representación de Springer recordaron a Kazhdan y Lusztig las dos bases para el grupo de Grothendieck de ciertas representaciones de dimensión infinita de álgebras de Lie semisimples, dadas por módulos de Verma y módulos simples . Esta analogía, y el trabajo de Jens Carsten Jantzen y Anthony Joseph que relacionaban ideales primitivos de álgebras envolventes con representaciones de grupos de Weyl, llevaron a las conjeturas de Kazhdan-Lusztig.

Definición

Fije un grupo de Coxeter W con conjunto generador S y escriba la longitud de un elemento w (la longitud más pequeña de una expresión para w como producto de elementos de S ). El álgebra de Hecke de W tiene una base de elementos para sobre el anillo , con la multiplicación definida por ${\displaystyle \ell (w)}$ ${\displaystyle T_{w}}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{y}T_{w}&=T_{yw},&&{\mbox{if }}\ell (yw)=\ell (y)+\ell (w)\\(T_{s}+1)(T_{s}-q)&=0,&&{\mbox{if }}s\in S.\end{aligned}}}$

La segunda relación cuadrática implica que cada generador T _s es invertible en el álgebra de Hecke, con inversa T _s ⁻¹ = q ⁻¹ T _s + q ⁻¹ − 1 . Estas inversas satisfacen la relación ( T _s ⁻¹ + 1)( T _s ⁻¹ − q ⁻¹ ) = 0 (obtenida multiplicando la relación cuadrática de T _s por −T _s ⁻² q ⁻¹ ), y también la trenza relaciones . De esto se deduce que el álgebra de Hecke tiene un automorfismo D que envía q ^1/2 a q ^−1/2 y cada T _s a T _s ⁻¹ . De manera más general, uno tiene ; También se puede considerar que D es una involución. ${\displaystyle D(T_{w})=T_{w^{-1}}^{-1}}$

Los polinomios de Kazhdan-Lusztig P _yw ( q ) están indexados por un par de elementos y , w de W y determinados de forma única por las siguientes propiedades.

• Son 0 a menos que y ≤ w (en el orden de Bruhat de W ), 1 si y = w , y para y < w su grado es como máximo ( ℓ ( w ) − ℓ ( y ) − 1)/2.
• Los elementos

${\displaystyle C'_{w}=q^{-{\frac {\ell (w)}{2}}}\sum _{y\leq w}P_{y,w}T_{y}}$

son invariantes bajo la involución D del álgebra de Hecke. Los elementos forman una base del álgebra de Hecke como módulo, llamado base de Kazhdan-Lusztig. ${\displaystyle C'_{w}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [q^{1/2},q^{-1/2}]}$

Para establecer la existencia de los polinomios de Kazhdan-Lusztig, Kazhdan y Lusztig dieron un procedimiento recursivo simple para calcular los polinomios P _​​yw ( q ) en términos de polinomios más elementales denotados R _yw ( q ). definido por

${\displaystyle T_{y^{-1}}^{-1}=\sum _{x}D(R_{x,y})q^{-\ell (x)}T_{x}.}$

Se pueden calcular utilizando las relaciones de recursividad.

${\displaystyle R_{x,y}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x\not \leq y\\1,&{\mbox{if }}x=y\\R_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx<x{\mbox{ and }}sy<y\\R_{xs,ys},&{\mbox{if }}xs<x{\mbox{ and }}ys<y\\(q-1)R_{sx,y}+qR_{sx,sy},&{\mbox{if }}sx>x{\mbox{ and }}sy<y\end{cases}}}$

Los polinomios de Kazhdan-Lusztig se pueden calcular de forma recursiva utilizando la relación

${\displaystyle q^{{\frac {1}{2}}(\ell (w)-\ell (x))}D(P_{x,w})-q^{{\frac {1}{2}}(\ell (x)-\ell (w))}P_{x,w}=\sum _{x<y\leq w}(-1)^{\ell (x)+\ell (y)}q^{{\frac {1}{2}}(-\ell (x)+2\ell (y)-\ell (w))}D(R_{x,y})P_{y,w}}$

utilizando el hecho de que los dos términos de la izquierda son polinomios en q ^1/2 y q ^−1/2 sin términos constantes . Estas fórmulas son difíciles de usar a mano para rangos superiores a 3, pero están bien adaptadas para computadoras, y el único límite para calcular polinomios de Kazhdan-Lusztig con ellas es que para rangos grandes el número de dichos polinomios excede la capacidad de almacenamiento de las computadoras. .

Ejemplos

• Si y ≤ w entonces P _{y , w} tiene el término constante 1.
• Si y ≤ w y ℓ ( w ) − ℓ ( y ) ∈ {0, 1, 2} entonces P _{y , w} = 1.
• Si w = w ₀ es el elemento más largo de un grupo finito de Coxeter, entonces P _{y , w} = 1 para todo y .
• Si W es el grupo de Coxeter A ₁ o A ₂ (o más generalmente cualquier grupo de Coxeter de rango como máximo 2), entonces P _{y , w} es 1 si y ≤ w y 0 en caso contrario.
• Si W es el grupo Coxeter A ₃ con conjunto generador S = { a , b , c } con a y c conmutando entonces P _{b , bacb} = 1 + q y P _{ac , acbca} = 1 + q , dando ejemplos de no constantes polinomios.
• Los valores simples de los polinomios de Kazhdan-Lusztig para grupos de rango bajo no son típicos de grupos de rango superior. Por ejemplo, para la forma dividida de E _8, el polinomio de Lusztig-Vogan más complicado (una variación de los polinomios de Kazhdan-Lusztig: ver más abajo) es

${\displaystyle {\begin{aligned}152q^{22}&+3,472q^{21}+38,791q^{20}+293,021q^{19}+1,370,892q^{18}+4,067,059q^{17}+7,964,012q^{16}\\&+11,159,003q^{15}+11,808,808q^{14}+9,859,915q^{13}+6,778,956q^{12}+3,964,369q^{11}+2,015,441q^{10}\\&+906,567q^{9}+363,611q^{8}+129,820q^{7}+41,239q^{6}+11,426q^{5}+2,677q^{4}+492q^{3}+61q^{2}+3q\end{aligned}}}$

• Polo (1999) demostró que cualquier polinomio con término constante 1 y coeficientes enteros no negativos es el polinomio de Kazhdan-Lusztig para algún par de elementos de algún grupo simétrico.

Conjeturas de Kazhdan-Lusztig

Los polinomios de Kazhdan-Lusztig surgen como coeficientes de transición entre su base canónica y la base natural del álgebra de Hecke. El artículo de Inventiones también presentó dos conjeturas equivalentes, conocidas ahora como conjeturas de Kazhdan-Lusztig, que relacionaban los valores de sus polinomios en 1 con representaciones de grupos de Lie complejos semisimples y álgebras de Lie , abordando un problema de larga data en la teoría de la representación.

Sea W un grupo de Weyl finito . Para cada w ∈ W denotamos por M _w ser el módulo de Verma de mayor peso − w ( ρ ) − ρ donde ρ es la mitad de la suma de raíces positivas (o vector de Weyl ), y sea L _w su cociente irreducible, el simple módulo de mayor peso de mayor peso − w ( ρ ) − ρ . Tanto M _w como L _w son módulos de peso localmente finitos sobre el álgebra de Lie compleja semisimple g con el grupo de Weyl W y, por lo tanto, admiten un carácter algebraico . Escribamos ch( X ) para el carácter de un módulo g X . Las conjeturas de Kazhdan-Lusztig afirman:

${\displaystyle \operatorname {ch} (L_{w})=\sum _{y\leq w}(-1)^{\ell (w)-\ell (y)}P_{y,w}(1)\operatorname {ch} (M_{y})}$

${\displaystyle \operatorname {ch} (M_{w})=\sum _{y\leq w}P_{w_{0}w,w_{0}y}(1)\operatorname {ch} (L_{y})}$

donde w ₀ es el elemento de longitud máxima del grupo Weyl.

Estas conjeturas fueron demostradas de forma independiente sobre campos algebraicamente cerrados con la característica 0 por Alexander Beilinson y Joseph Bernstein  (1981) y por Jean-Luc Brylinski y Masaki Kashiwara  (1981). Los métodos introducidos en el curso de la prueba han guiado el desarrollo de la teoría de la representación a lo largo de las décadas de 1980 y 1990, bajo el nombre de teoría de la representación geométrica .

Observaciones

1. Se sabe que las dos conjeturas son equivalentes. Además, el principio de traducción de Borho-Jantzen implica que w ( ρ ) − ρ puede reemplazarse por w ( λ + ρ ) − ρ para cualquier peso integral dominante λ . Así, las conjeturas de Kazhdan-Lusztig describen las multiplicidades de Jordan-Hölder de los módulos de Verma en cualquier bloque integral regular de categoría O de Bernstein-Gelfand-Gelfand .

2. Una interpretación similar de todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig se desprende de la conjetura de Jantzen , que dice aproximadamente que los coeficientes individuales de P _y,w son multiplicidades de L _y en cierto subcociente del módulo de Verma determinado por una filtración canónica, el Jantzen filtración . La conjetura de Jantzen en el caso integral regular fue demostrada en un artículo posterior de Beilinson y Bernstein  (1993).

3. David Vogan demostró como consecuencia de las conjeturas que

${\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim(\operatorname {Ext} ^{\ell (w)-\ell (y)-2i}(M_{y},L_{w}))}$

y que Ext ^j ( M _y , L _w ) desaparece si j + ℓ ( w ) + ℓ ( y ) es impar, por lo que las dimensiones de todos esos grupos Ext en la categoría O se determinan en términos de coeficientes de polinomios de Kazhdan-Lusztig. Este resultado demuestra que todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig de un grupo finito de Weyl son números enteros no negativos. Sin embargo, la positividad para el caso de un grupo W de Weyl finito ya se conocía a partir de la interpretación de los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig como las dimensiones de los grupos de cohomología de intersección, independientemente de las conjeturas. Por el contrario, la relación entre los polinomios de Kazhdan-Lusztig y los grupos Ext puede utilizarse teóricamente para probar las conjeturas, aunque este enfoque para demostrarlas resultó ser más difícil de llevar a cabo.

4. Algunos casos especiales de las conjeturas de Kazhdan-Lusztig son fáciles de verificar. Por ejemplo, M ₁ es el módulo antidominante Verma, que se sabe que es simple. Esto significa que M ₁ = L ₁ , estableciendo la segunda conjetura para w = 1, ya que la suma se reduce a un solo término. Por otro lado, la primera conjetura para w = w ₀ se deriva de la fórmula del carácter de Weyl y de la fórmula para el carácter de un módulo de Verma , junto con el hecho de que todos los polinomios de Kazhdan-Lusztig son iguales a 1. ${\displaystyle P_{y,w_{0}}}$

5. Kashiwara (1990) demostró una generalización de las conjeturas de Kazhdan-Lusztig a álgebras simetrizables de Kac-Moody .

Relación con la cohomología de intersección de variedades de Schubert

Por la descomposición de Bruhat el espacio G / B del grupo algebraico G con el grupo de Weyl W es una unión disjunta de espacios afines Xw _{parametrizados} por elementos w de W. Los cierres de estos espacios X _w se denominan variedades de Schubert , y Kazhdan y Lusztig, siguiendo una sugerencia de Deligne, mostraron cómo expresar los polinomios de Kazhdan-Lusztig en términos de grupos de cohomología de intersección de variedades de Schubert.

Más precisamente, el polinomio de Kazhdan-Lusztig P _{y , w} ( q ) es igual a

${\displaystyle P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})}$

donde cada término de la derecha significa: tomar el complejo IC de haces cuya hiperhomología es la homología de intersección de la variedad Schubert de w (el cierre de la celda X _w ), tomar su cohomología de grado 2 i , y luego tomar la dimensión de el tallo de este haz en cualquier punto de la celda X _y cuyo cierre es la variedad Schubert de y . Los grupos de cohomología de dimensiones impares no aparecen en la suma porque todos son cero.

Esto dio la primera prueba de que todos los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig para grupos finitos de Weyl son números enteros no negativos.

Generalización a grupos reales.

Los polinomios de Lusztig-Vogan (también llamados polinomios de Kazhdan-Lusztig o polinomios de Kazhdan-Lusztig-Vogan ) se introdujeron en Lusztig y Vogan (1983). Son análogos a los polinomios de Kazhdan-Lusztig, pero están adaptados a representaciones de grupos de Lie semisimples reales y desempeñan un papel importante en la descripción conjetural de sus duales unitarios . Su definición es más complicada y refleja la relativa complejidad de las representaciones de grupos reales en comparación con los grupos complejos.

La distinción, en los casos directamente relacionados con la teoría de la representación, se explica en el nivel de las clases laterales dobles ; o en otros términos de acciones sobre análogos de variedades de banderas complejas G / B donde G es un grupo de Lie complejo y B un subgrupo de Borel . El caso original (KL) trata entonces de los detalles de la descomposición

${\displaystyle B\backslash G/B}$,

un tema clásico de la descomposición de Bruhat , y antes el de las células de Schubert en un Grassmanniano . El caso LV toma una forma real G _R de G , un subgrupo compacto máximo K _R en ese grupo semisimple G _R , y hace la complejización K de K _R . Entonces el objeto de estudio relevante es

${\displaystyle K\backslash G/B}$.

En marzo de 2007, un proyecto colaborativo, el "Atlas de grupos y representaciones de Lie", anunció que se habían calculado los polinomios L-V para la forma dividida de E ₈ . ^[1]

Generalización a otros objetos en la teoría de la representación.

El segundo artículo de Kazhdan y Lusztig estableció un marco geométrico para la definición de los polinomios de Kazhdan-Lusztig, es decir, la geometría de las singularidades de las variedades de Schubert en la variedad bandera . Gran parte del trabajo posterior de Lusztig exploró análogos de los polinomios de Kazhdan-Lusztig en el contexto de otras variedades algebraicas singulares naturales que surgen en la teoría de la representación, en particular, cierres de órbitas nilpotentes y variedades de carcaj. Resultó que la teoría de la representación de grupos cuánticos , las álgebras modulares de Lie y las álgebras afines de Hecke están estrictamente controladas por análogos apropiados de los polinomios de Kazhdan-Lusztig. Admiten una descripción elemental, pero las propiedades más profundas de estos polinomios necesarias para la teoría de la representación se derivan de técnicas sofisticadas de la geometría algebraica moderna y el álgebra homológica , como el uso de la cohomología de intersección , las gavillas perversas y la descomposición de Beilinson-Bernstein-Deligne.

Se conjetura que los coeficientes de los polinomios de Kazhdan-Lusztig son las dimensiones de algunos espacios de homomorfismo en la categoría de bimódulo de Soergel. Ésta es la única interpretación positiva conocida de estos coeficientes para grupos arbitrarios de Coxeter.

Teoría combinatoria

Las propiedades combinatorias de los polinomios de Kazhdan-Lusztig y sus generalizaciones son un tema de investigación activa actual. Dada su importancia en la teoría de la representación y la geometría algebraica, se han realizado intentos de desarrollar la teoría de los polinomios de Kazhdan-Lusztig de manera puramente combinatoria, basándose hasta cierto punto en la geometría, pero sin referencia a la cohomología de intersección y otras técnicas avanzadas. Esto ha llevado a interesantes desarrollos en combinatoria algebraica , como el fenómeno de evitación de patrones . Algunas referencias se encuentran en el libro de texto de Björner & Brenti (2005). Una monografía de investigación sobre el tema es Billey & Lakshmibai (2000).

Desigualdad

Kobayashi (2013) demostró que los valores de los polinomios de Kazhdan-Lusztig para grupos cristalográficos de Coxeter satisfacen cierta desigualdad estricta: Sea un sistema cristalográfico de Coxeter y sus polinomios de Kazhdan-Lusztig. Si y , entonces existe una reflexión tal que . ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle {P_{uw}(q)}}$ ${\displaystyle u<w}$ ${\displaystyle P_{uw}(1)>1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle P_{uw}(1)>P_{tu,w}(1)>0}$

Notas

1. van Leeuwen, Marc (2008), "Cálculo de polinomios de Kazhdan-Lusztig-Vogan para E8 dividido" (PDF) , Nieuw Archief voor Wiskunde , 9 (2): 113–116, SEÑOR  2454587

Referencias

• Beilinson, Alexandre ; Bernstein, Joseph (1981), Localización de módulos g , Ser. Yo Matemáticas, vol. 292, París: CR Acad. Ciencia, págs. 15-18.
• Beilinson, Alexandre ; Bernstein, Joseph (1993), Una prueba de las conjeturas de Jantzen , Avances en las matemáticas soviéticas, vol. 16, págs. 1 a 50.
• Billey, Sara ; Lakshmibai, V. (2000), Lugares singulares de variedades de Schubert , Progress in Mathematics, vol. 182, Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4092-4.
• Björner, Anders ; Brenti, Francesco (2005), "Cap. 5: Kazhdan-Lusztig y R- polinomios", Combinatoria de grupos de Coxeter , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 231, Springer , ISBN 978-3-540-44238-7.
• Brenti, Francesco (2003), "Polinomios de Kazhdan-Lusztig: historia, problemas e invariancia combinatoria", Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 49 , Ellwangen: Haus Schönenberg: artículo de investigación B49b.
• Brylinski, Jean-Luc ; Kashiwara, Masaki (octubre de 1981), "Conjetura de Kazhdan-Lusztig y sistemas holonómicos", Inventiones Mathematicae , 64 (3), Springer-Verlag : 387–410, Bibcode :1981InMat..64..387B, doi :10.1007/BF01389272, ISSN  0020-9910, S2CID  18403883.
• Kashiwara, Masaki (1990), "La conjetura de Kazhdan-Lusztig para álgebras de KacMoody simetrizables", The Grothendieck Festschrift, II , Progress in Mathematics, vol. 87, Boston: Birkhauser, págs. 407–433, SEÑOR  1106905.
• Kazhdan, David ; Lusztig, George (junio de 1979), "Representaciones de grupos de Coxeter y álgebras de Hecke", Inventiones Mathematicae , 53 (2), Springer-Verlag : 165–184, Bibcode :1979InMat..53..165K, doi :10.1007/BF01390031, ISSN  0020-9910, S2CID  120098142.
• Kazhdan, David ; Lusztig, George (1980a), "Un enfoque topológico de las representaciones de Springer", Avances en Matemáticas , 38 (2): 222–228, doi : 10.1016/0001-8708(80)90005-5.
• Kazhdan, David ; Lusztig, George (1980b), Variedades de Schubert y dualidad de Poincaré , Actas de simposios de matemática pura, vol. XXXVI, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , págs. 185–203, doi :10.1090/pspum/036/573434, ISBN 9780821814390.
• Lusztig, George ; Vogan, David (1983), "Singularidades de los cierres de órbitas K en colectores de banderas", Inventiones Mathematicae , 71 (2), Springer-Verlag : 365–379, Bibcode :1983InMat..71..365L, doi :10.1007 /BF01389103, ISSN  0020-9910, S2CID  120917588.
• Polo, Patrick (1999), "Construcción de polinomios arbitrarios de Kazhdan-Lusztig en grupos simétricos", Teoría de la representación , 3 (4): 90–104, doi :10.1090/S1088-4165-99-00074-6, ISSN  1088-4165 , señor  1698201.
• Soergel, Wolfgang (2006), "Polinomios de Kazhdan-Lusztig y bimódulos indescomponibles sobre anillos polinomiales", Revista del Instituto de Matemáticas de Jussieu , 6 (3): 501–525, arXiv : math/0403496 , doi :10.1017/S1474748007000023, S2CID  120459494.
• Kobayashi, Masato (2013), "Desigualdades en gráficos de Bruhat, polinomios R y Kazhdan-Lusztig", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 120 (2): 470–482, arXiv : 1211.4305 , doi : 10.1016/j.jcta .2012.10.001 , S2CID  205929043.

enlaces externos

• Lecturas del curso de primavera de 2005 sobre la teoría de Kazhdan-Lusztig en UC Davis por Monica Vazirani
• Goresky, Mark . "Tablas de polinomios de Kazhdan-Lusztig".
• Los programas GAP para calcular polinomios de Kazhdan-Lusztig.
• Software Coxeter de Fokko du Cloux para calcular polinomios de Kazhdan-Lusztig para cualquier grupo de Coxeter
• Software Atlas para calcular polinomios de Kazhdan-Lusztig-Vogan.