En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio topológico X es un espacio T 0 o espacio de Kolmogorov (llamado así por Andrey Kolmogorov ) si para cada par de puntos distintos de X , al menos uno de ellos tiene un vecindario que no contiene al otro. [1] En un espacio T 0 , todos los puntos son topológicamente distinguibles .
Esta condición, llamada condición T 0 , es el más débil de los axiomas de separación . Casi todos los espacios topológicos normalmente estudiados en matemáticas son espacios T 0 . En particular, todos los espacios T 1 , es decir, todos los espacios en los que para cada par de puntos distintos, cada uno tiene un entorno que no contiene al otro, son espacios T 0 . Esto incluye todos los espacios T 2 (o de Hausdorff) , es decir, todos los espacios topológicos en los que los puntos distintos tienen entornos disjuntos. En otra dirección, todo espacio sobrio (que puede no ser T 1 ) es T 0 ; esto incluye el espacio topológico subyacente de cualquier esquema . Dado cualquier espacio topológico, se puede construir un espacio T 0 identificando puntos topológicamente indistinguibles.
Los espacios T 0 que no son espacios T 1 son exactamente aquellos espacios para los cuales el preorden de especialización es un orden parcial no trivial . Dichos espacios aparecen de forma natural en la informática , específicamente en la semántica denotacional .
Un espacio T 0 es un espacio topológico en el que cada par de puntos distintos es topológicamente distinguible . Es decir, para dos puntos diferentes x e y existe un conjunto abierto que contiene uno de estos puntos y no el otro. Más precisamente, el espacio topológico X es de Kolmogorov o si y solo si: [1]
Obsérvese que los puntos topológicamente distinguibles son automáticamente distintos. Por otra parte, si los conjuntos singleton { x } e { y } están separados , entonces los puntos x e y deben ser topológicamente distinguibles. Es decir,
La propiedad de ser topológicamente distinguible es, en general, más fuerte que la de ser distinto pero más débil que la de estar separado. En un espacio T 0 , la segunda flecha anterior también se invierte; los puntos son distintos si y solo si son distinguibles. Así es como el axioma T 0 encaja con el resto de los axiomas de separación .
Casi todos los espacios topológicos que se estudian normalmente en matemáticas son T 0 . En particular, todos los espacios de Hausdorff (T 2 ) , los espacios T 1 y los espacios sobrios son T 0 .
Los espacios topológicos comúnmente estudiados son todos T 0 . De hecho, cuando los matemáticos en muchos campos, especialmente el análisis , se encuentran naturalmente con espacios que no son T 0 , generalmente los reemplazan con espacios T 0 , de una manera que se describirá a continuación. Para motivar las ideas involucradas, considere un ejemplo bien conocido. El espacio L 2 ( R ) está destinado a ser el espacio de todas las funciones mensurables f desde la línea real R hasta el plano complejo C tales que la integral de Lebesgue de | f ( x )| 2 sobre toda la línea real es finita . Este espacio debería convertirse en un espacio vectorial normado definiendo la norma || f || como la raíz cuadrada de esa integral. El problema es que esto no es realmente una norma, solo una seminorma , porque hay funciones distintas de la función cero cuyas (semi)normas son cero . La solución estándar es definir L 2 ( R ) como un conjunto de clases de equivalencia de funciones en lugar de un conjunto de funciones directamente. Esto construye un espacio cociente del espacio vectorial semirregulado original, y este cociente es un espacio vectorial normalizado. Hereda varias propiedades convenientes del espacio semirregulado; véase más abajo.
En general, cuando se trabaja con una topología fija T en un conjunto X , resulta útil que dicha topología sea T 0 . Por otro lado, cuando X es fija pero se permite que T varíe dentro de ciertos límites, forzar que T sea T 0 puede resultar inconveniente, ya que las topologías distintas de T 0 suelen ser casos especiales importantes. Por lo tanto, puede ser importante comprender las versiones T 0 y distintas de T 0 de las diversas condiciones que se pueden aplicar a un espacio topológico.
La indistinguibilidad topológica de puntos es una relación de equivalencia . No importa cuál sea el espacio topológico X para empezar, el espacio cociente bajo esta relación de equivalencia es siempre T 0 . Este espacio cociente se llama cociente de Kolmogorov de X , que denotaremos KQ( X ). Por supuesto, si X era T 0 para empezar, entonces KQ( X ) y X son naturalmente homeomorfos . Categóricamente, los espacios de Kolmogorov son una subcategoría reflexiva de los espacios topológicos, y el cociente de Kolmogorov es el reflector.
Los espacios topológicos X e Y son equivalentes de Kolmogorov cuando sus cocientes de Kolmogorov son homeomorfos. Muchas propiedades de los espacios topológicos se conservan por esta equivalencia; es decir, si X e Y son equivalentes de Kolmogorov, entonces X tiene tal propiedad si y solo si Y la tiene. Por otro lado, la mayoría de las otras propiedades de los espacios topológicos implican T 0 -idad; es decir, si X tiene tal propiedad, entonces X debe ser T 0 . Solo unas pocas propiedades, como ser un espacio indiscreto , son excepciones a esta regla de oro. Mejor aún, muchas estructuras definidas en espacios topológicos se pueden transferir entre X y KQ( X ). El resultado es que, si tienes un espacio topológico que no es T 0 con una cierta estructura o propiedad, entonces generalmente puedes formar un espacio T 0 con las mismas estructuras y propiedades tomando el cociente de Kolmogorov.
El ejemplo de L 2 ( R ) muestra estas características. Desde el punto de vista de la topología, el espacio vectorial seminormado con el que comenzamos tiene mucha estructura adicional; por ejemplo, es un espacio vectorial y tiene una seminorma, y estas definen una estructura pseudométrica y uniforme que son compatibles con la topología. Además, hay varias propiedades de estas estructuras; por ejemplo, la seminorma satisface la identidad del paralelogramo y la estructura uniforme es completa . El espacio no es T 0 ya que dos funciones cualesquiera en L 2 ( R ) que sean iguales casi en todas partes son indistinguibles con esta topología. Cuando formamos el cociente de Kolmogorov, el L 2 ( R ) real, estas estructuras y propiedades se conservan. Por lo tanto, L 2 ( R ) también es un espacio vectorial seminormado completo que satisface la identidad del paralelogramo. Pero en realidad obtenemos un poco más, ya que el espacio ahora es T 0 . Una seminorma es una norma si y solo si la topología subyacente es T 0 , por lo que L 2 ( R ) es en realidad un espacio vectorial normado completo que satisface la identidad del paralelogramo, también conocido como espacio de Hilbert . Y es un espacio de Hilbert que los matemáticos (y los físicos , en mecánica cuántica ) generalmente quieren estudiar. Nótese que la notación L 2 ( R ) generalmente denota el cociente de Kolmogorov, el conjunto de clases de equivalencia de funciones integrables al cuadrado que difieren en conjuntos de medida cero, en lugar de simplemente el espacio vectorial de funciones integrables al cuadrado que sugiere la notación.
Aunque históricamente las normas se definieron primero, la gente también inventó la definición de seminorma, que es una especie de versión no-T 0 de una norma. En general, es posible definir versiones no-T 0 tanto de propiedades como de estructuras de espacios topológicos. Primero, considere una propiedad de los espacios topológicos, como ser Hausdorff . Luego se puede definir otra propiedad de los espacios topológicos definiendo el espacio X para satisfacer la propiedad si y solo si el cociente de Kolmogorov KQ( X ) es Hausdorff. Esta es una propiedad sensata, aunque menos famosa; en este caso, un espacio X de este tipo se llama preregular . (Incluso resulta haber una definición más directa de preregularidad). Ahora considere una estructura que se puede colocar en espacios topológicos, como una métrica . Podemos definir una nueva estructura en espacios topológicos dejando que un ejemplo de la estructura en X sea simplemente una métrica en KQ( X ). Esta es una estructura sensata en X ; es una pseudométrica . (Nuevamente, hay una definición más directa de pseudométrico).
De esta manera, existe una manera natural de eliminar la condición T 0 de los requisitos para una propiedad o estructura. Generalmente es más fácil estudiar espacios que son T 0 , pero también puede ser más fácil permitir estructuras que no son T 0 para obtener una imagen más completa. El requisito T 0 se puede agregar o eliminar arbitrariamente utilizando el concepto de cociente de Kolmogorov.
