En teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un grupo de torsión o grupo periódico es un grupo en el que cada elemento tiene un orden finito . El exponente de dicho grupo, si existe, es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los elementos.
Por ejemplo, del teorema de Lagrange se deduce que todo grupo finito es periódico y tiene un exponente que divide su orden.
Ejemplos de grupos periódicos infinitos incluyen el grupo aditivo del anillo de polinomios sobre un cuerpo finito, y el grupo cociente de los racionales por los enteros, así como sus sumandos directos, los grupos de Prüfer . Otro ejemplo es la suma directa de todos los grupos diedros . Ninguno de estos ejemplos tiene un conjunto generador finito. Ejemplos explícitos de grupos periódicos infinitos finitamente generados fueron construidos por Golod, [1] basándose en el trabajo conjunto con Shafarevich (véase el teorema de Golod-Shafarevich ), y por Aleshin [2] y Grigorchuk [3] utilizando autómatas . Estos grupos tienen exponente infinito; ejemplos con exponente finito son dados por ejemplo por los grupos monstruosos de Tarski construidos por Olshanskii. [4]
El problema de Burnside es una pregunta clásica que trata de la relación entre grupos periódicos y grupos finitos , cuando solo se consideran grupos finitamente generados : ¿la especificación de un exponente fuerza la finitud? La existencia de grupos periódicos infinitos, finitamente generados como en el párrafo anterior muestra que la respuesta es "no" para un exponente arbitrario. Aunque se sabe mucho más sobre qué exponentes pueden ocurrir para grupos infinitos finitamente generados, todavía hay algunos para los cuales el problema está abierto.
Para algunas clases de grupos, por ejemplo los grupos lineales , la respuesta al problema de Burnside restringido a la clase es positiva.
Una propiedad interesante de los grupos periódicos es que la definición no se puede formalizar en términos de lógica de primer orden , ya que para ello se requeriría un axioma de la forma
que contiene una disyunción infinita y por lo tanto es inadmisible: la lógica de primer orden permite cuantificadores de más de un tipo y no puede capturar propiedades o subconjuntos de ese tipo. Tampoco es posible evitar esta disyunción infinita utilizando un conjunto infinito de axiomas: el teorema de compacidad implica que ningún conjunto de fórmulas de primer orden puede caracterizar los grupos periódicos. [5]
El subgrupo de torsión de un grupo abeliano A es el subgrupo de A que consta de todos los elementos que tienen orden finito. Un grupo abeliano de torsión es un grupo abeliano en el que cada elemento tiene orden finito. Un grupo abeliano sin torsión es un grupo abeliano en el que el elemento identidad es el único elemento con orden finito.
Sin embargo, en lógica de primer orden no podemos formar disyunciones infinitamente largas. De hecho, más adelante demostraremos que no existe un conjunto de fórmulas de primer orden cuyos modelos sean precisamente los grupos periódicos.
