Topología de la teoría de conjuntos

El espacio de los números enteros tiene cardinalidad , mientras que el de los números reales tiene cardinalidad . Las topologías de ambos espacios tienen cardinalidad . Estos son ejemplos de funciones cardinales , un tema de la topología de la teoría de conjuntos. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

En matemáticas , la topología de teoría de conjuntos es una disciplina que combina la teoría de conjuntos y la topología general . Se centra en cuestiones topológicas que son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC).

Objetos estudiados en topología de teoría de conjuntos

Espacios de Dowker

En el campo matemático de la topología general , un espacio de Dowker es un espacio topológico que es T 4 pero no contablemente paracompacto .

Dowker conjeturó que no había espacios de Dowker, y la conjetura no se resolvió hasta que ME Rudin construyó uno ^[1] en 1971. El contraejemplo de Rudin es un espacio muy grande (de cardinalidad ) y generalmente no se comporta bien . Zoltán Balogh dio la primera construcción ZFC ^[2] de un ejemplo pequeño ( continuo de cardinalidad ), que se comportaba mejor que el de Rudin. Usando la teoría PCF , M. Kojman y S. Shelah construyeron ^[3] un subespacio del espacio de cardinalidad Dowker de Rudin que también es Dowker. ${\displaystyle \aleph _{\omega }^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{\omega +1}}$

Espacios normales de Moore

Un problema famoso es la cuestión del espacio normal de Moore , una cuestión de topología general que fue objeto de una intensa investigación. Finalmente se demostró que la respuesta a la cuestión del espacio normal de Moore era independiente de ZFC.

Funciones cardinales

Las funciones cardinales se utilizan ampliamente en topología como herramienta para describir diversas propiedades topológicas . ^{[4] [5]} A continuación se presentan algunos ejemplos. (Nota: algunos autores, argumentando que "no hay números cardinales finitos en la topología general", ^[6] prefieren definir las funciones cardinales enumeradas a continuación de modo que nunca tomen números cardinales finitos como valores; esto requiere modificar algunas de las definiciones que se dan a continuación, por ejemplo, agregando " " al lado derecho de las definiciones, etc.) ${\displaystyle \;\;+\;\aleph _{0}}$

• Quizás los invariantes cardinales más simples de un espacio topológico X son su cardinalidad y la cardinalidad de su topología, denotadas respectivamente por | X | y o ( X ).
• El peso w( X  ) de un espacio topológico X es la cardinalidad más pequeña posible de una base para X . Cuando w( X  ) se dice que el espacio X es el segundo contable . ${\displaystyle \leq \aleph _{0}}$
  • El -peso de un espacio X es la cardinalidad más pequeña de una -base para X. (Una -base es un conjunto de abiertos no vacíos cuyos superconjuntos incluyen todos los abiertos). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$
• El carácter de un espacio topológico X en un punto x es la cardinalidad más pequeña de una base local para x . El carácter del espacio X es
  ${\displaystyle \chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.}$
  Cuando se dice que el espacio X es el primer numerable . ${\displaystyle \chi (X)\leq \aleph _{0}}$
• La densidad d( X  ) de un espacio X es la cardinalidad más pequeña de un subconjunto denso de X . Cuando se dice que el espacio X es separable . ${\displaystyle {\rm {{d}(X)\leq \aleph _{0}}}}$
• El número de Lindelöf L( X  ) de un espacio X es la cardinalidad infinita más pequeña tal que toda cubierta abierta tiene una subcubierta de cardinalidad no mayor que L( X  ). Cuando se dice que el espacio X es un espacio de Lindelöf . ${\displaystyle {\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}}$
• La celularidad de un espacio X es
  ${\displaystyle {\rm {c}}(X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}}$es una familia de subconjuntos abiertos no vacíos mutuamente disjuntos de . ${\displaystyle X\}}$
  • La celularidad hereditaria (a veces diseminada ) es el límite superior mínimo de las celularidades de sus subconjuntos:
    ${\displaystyle s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}}$
    o
    ${\displaystyle s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X}$con la topología del subespacio es discreta . ${\displaystyle \}}$
• La estrechez t ( x , X ) de un espacio topológico X en un punto es el número cardinal más pequeño tal que, siempre que para algún subconjunto Y de X , exista un subconjunto Z de Y , con | Z  | ≤ , tal que . Simbólicamente, ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)}$
  ${\displaystyle t(x,X)=\sup {\big \{}\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y){\big \}}.}$
  La estrechez de un espacio X es . Cuando t(X) = el espacio X se dice que es contablemente generado o contablemente estrecho . ${\displaystyle t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$
  • La estrechez aumentada de un espacio X , es el cardinal regular más pequeño tal que para cualquier , existe un subconjunto Z de Y con cardinalidad menor que , tal que . ${\displaystyle t^{+}(X)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)}$

Axioma de Martín

Para cualquier cardinal k , definimos una declaración, denotada por MA( k ):

Para cualquier orden parcial P que satisfaga la condición de cadena contable (en adelante ccc) y cualquier familia D de conjuntos densos en P tales que |D| ≤ k , hay un filtro F en P tal que F ∩ d no está vacío para cada d en D .

Dado que es un teorema de ZFC que MA( c ) falla, el axioma de Martin se enuncia como:

Axioma de Martin (MA): Para cada k < c , MA( k ) se cumple.

En este caso (para la aplicación de ccc), una anticadena es un subconjunto A de P tal que dos elementos distintos de A son incompatibles (se dice que dos elementos son compatibles si existe un elemento común debajo de ambos en el orden parcial). Esto difiere, por ejemplo, de la noción de anticadena en el contexto de los árboles .

MA( ) es falso: [0, 1] es un espacio de Hausdorff compacto , que es separable y, por lo tanto, ccc. No tiene puntos aislados , por lo que los puntos que contiene no son densos en ningún lugar, sino que es la unión de muchos puntos. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Una formulación equivalente es: si X es un espacio topológico compacto de Hausdorff que satisface la ccc, entonces X no es la unión de k o menos subconjuntos densos en ninguna parte .

El axioma de Martin tiene otras consecuencias combinatorias , analíticas y topológicas interesantes :

• La unión de k o menos conjuntos nulos en una medida de Borel σ-finita sin átomos en un espacio polaco es nula. En particular, la unión de k o menos subconjuntos de R de medida de Lebesgue 0 también tiene medida de Lebesgue 0.
• Un espacio de Hausdorff compacto X con |X| < 2 ^k es secuencialmente compacto , es decir, cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
• Ningún ultrafiltro no principal en N tiene una base de cardinalidad < k .
• De manera equivalente, para cualquier x en β N \ N tenemos χ( x ) ≥ k , donde χ es el carácter de x , y por lo tanto χ(β N ) ≥ k .
• MA( ) implica que un producto de espacios topológicos ccc es ccc (esto a su vez implica que no hay líneas de Suslin ). ${\displaystyle \aleph _{1}}$
• MA + ¬CH implica que existe un grupo de Whitehead que no es libre; Shelah usó esto para demostrar que el problema de Whitehead es independiente de ZFC.

Forzando

El forzamiento es una técnica inventada por Paul Cohen para demostrar resultados de consistencia e independencia . Se utilizó por primera vez en 1963 para demostrar la independencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . El forzamiento se reformuló y simplificó considerablemente en la década de 1960, y ha demostrado ser una técnica extremadamente poderosa tanto dentro de la teoría de conjuntos como en áreas de lógica matemática como la teoría de la recursión .

Intuitivamente, el forzamiento consiste en expandir el universo teórico de conjuntos V a un universo mayor V *. En este universo mayor, por ejemplo, uno podría tener muchos subconjuntos nuevos de ω = {0,1,2,…} que no existían en el universo anterior, y por lo tanto violar la hipótesis del continuo . Aunque a primera vista parece imposible, esta es solo otra versión de la paradoja de Cantor sobre el infinito. En principio, uno podría considerar

${\displaystyle V^{*}=V\times \{0,1\},\,}$

identificarse con , y luego introducir una relación de pertenencia expandida que involucre los conjuntos "nuevos" de la forma . Forzar es una versión más elaborada de esta idea, que reduce la expansión a la existencia de un nuevo conjunto y permite un control preciso sobre las propiedades del universo expandido. ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle (x,1)}$

Consulte los artículos principales para aplicaciones como los reales aleatorios .

Referencias

1. ME Rudin, Un espacio normal X para el cual X × I no es normal, Fundam. Math. 73 (1971) 179-186. Zbl. 0224.54019
2. Z. Balogh, "Un pequeño espacio de Dowker en ZFC", Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996) 2555-2560. Zbl. 0876.54016
3. M. Kojman, S. Shelah: "Un espacio de Dowker ZFC en ℵ ω + 1 {\displaystyle \aleph _{\omega +1}} : una aplicación de la teoría PCF a la topología", Proc. Amer. Math. Soc. , 126 (1998), 2459-2465.
4. Juhász, István (1979). Funciones cardinales en topología (PDF) . Matemáticas. Centre Tracts, Ámsterdam. ISBN 90-6196-062-2.
5. Juhász, István (1980). Funciones cardinales en topología, diez años después (PDF) . Matemáticas. Centre Tracts, Ámsterdam. ISBN 90-6196-196-3.
6. Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3885380064.

Lectura adicional

• Kenneth Kunen y Jerry E. Vaughan (eds.), Handbook of Set-Theoretic Topology (Manual de topología de conjuntos) , North-Holland, ISBN 0-444-86580-2.