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Extensión de Alexandroff

En el campo matemático de la topología , la extensión de Alexandroff es una forma de extender un espacio topológico no compacto mediante la unión de un único punto de tal manera que el espacio resultante sea compacto . Recibe su nombre del matemático ruso Pavel Alexandroff . Más precisamente, sea X un espacio topológico. Entonces, la extensión de Alexandroff de X es un cierto espacio compacto X * junto con una incrustación abierta c  :  X  →  X * tal que el complemento de X en X * consiste en un único punto, típicamente denotado ∞. La función c es una compactificación de Hausdorff si y solo si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto y no compacto . Para tales espacios, la extensión de Alexandroff se denomina compactificación de un punto o compactificación de Alexandroff . Las ventajas de la compactificación de Alexandroff residen en su estructura simple, a menudo geométricamente significativa y en el hecho de que es, en un sentido preciso, mínima entre todas las compactificaciones; La desventaja radica en el hecho de que sólo da una compactificación de Hausdorff en la clase de espacios de Hausdorff localmente compactos, no compactos, a diferencia de la compactificación de Stone-Čech que existe para cualquier espacio topológico (pero proporciona una incrustación exactamente para los espacios de Tychonoff ).

Ejemplo: proyección estereográfica inversa

Un ejemplo geométricamente atractivo de compactificación de un punto lo da la proyección estereográfica inversa . Recordemos que la proyección estereográfica S da un homeomorfismo explícito desde la esfera unitaria menos el polo norte (0,0,1) hasta el plano euclidiano. La proyección estereográfica inversa es una incrustación densa y abierta en un espacio de Hausdorff compacto obtenido mediante la unión del punto adicional . Bajo la proyección estereográfica, los círculos latitudinales se mapean a círculos planares . De ello se deduce que la base de vecindad eliminada de dada por los casquetes esféricos perforados corresponde a los complementos de los discos planares cerrados . Más cualitativamente, una base de vecindad en la proporcionan los conjuntos a medida que K pasa por los subconjuntos compactos de . Este ejemplo ya contiene los conceptos clave del caso general.

Motivación

Sea una incrustación de un espacio topológico X en un espacio topológico compacto de Hausdorff Y , con imagen densa y resto de un punto . Entonces c ( X ) es abierto en un espacio compacto de Hausdorff, por lo que es Hausdorff localmente compacto, por lo tanto, su preimagen homeomorfa X también es Hausdorff localmente compacto. Además, si X fuera compacto, entonces c ( X ) estaría cerrado en Y y, por lo tanto, no sería denso. Por lo tanto, un espacio solo puede admitir una compactificación de un punto de Hausdorff si es localmente compacto, no compacto y de Hausdorff. Además, en tal compactificación de un punto, la imagen de una base de vecindad para x en X da una base de vecindad para c ( x ) en c ( X ), y, dado que un subconjunto de un espacio compacto de Hausdorff es compacto si y solo si es cerrado, las vecindades abiertas de deben ser todos los conjuntos obtenidos mediante la adición a la imagen bajo c de un subconjunto de X con complemento compacto.

La ampliación de Alexandroff

Sea un espacio topológico. Plantéese y topologice tomando como conjuntos abiertos todos los conjuntos abiertos en X junto con todos los conjuntos de la forma donde C es cerrado y compacto en X . Aquí, denota el complemento de en Nótese que es un entorno abierto de y por lo tanto cualquier recubrimiento abierto de contendrá todos excepto un subconjunto compacto de lo que implica que es compacto (Kelley 1975, p. 150).

El espacio se denomina extensión de Alexandroff de X (Willard, 19A). A veces se utiliza el mismo nombre para la función de inclusión.

Las propiedades que se indican a continuación se desprenden de la discusión anterior:

La compactificación de un punto

En particular, la extensión de Alexandroff es una compactificación de Hausdorff de X si y solo si X es de Hausdorff, no compacta y localmente compacta. En este caso se denomina compactificación de un punto o compactificación de Alexandroff de X.

Recordemos de la discusión anterior que cualquier compactificación de Hausdorff con un punto restante es necesariamente (isomorfa a) la compactificación de Alexandroff. En particular, si es un espacio de Hausdorff compacto y es un punto límite de (es decir, no un punto aislado de ), es la compactificación de Alexandroff de .

Sea X cualquier espacio de Tichonoff no compacto . Bajo el ordenamiento parcial natural sobre el conjunto de clases de equivalencia de compactificaciones, cualquier elemento minimal es equivalente a la extensión de Alexandroff (Engelking, Teorema 3.5.12). De ello se deduce que un espacio de Tichonoff no compacto admite una compactificación minimal si y solo si es localmente compacto.

Compactificaciones de un punto no Hausdorff

Sea un espacio topológico no compacto arbitrario. Se puede querer determinar todas las compactificaciones (no necesariamente Hausdorff) de obtenidas añadiendo un único punto, que también podrían llamarse compactificaciones de un punto en este contexto. Por lo tanto, se quieren determinar todas las formas posibles de dar una topología compacta tal que sea densa en ella y la topología del subespacio en inducida desde sea la misma que la topología original. La última condición de compatibilidad en la topología implica automáticamente que es densa en , porque no es compacta, por lo que no puede cerrarse en un espacio compacto. Además, es un hecho que la función de inclusión es necesariamente una incrustación abierta , es decir, debe ser abierta en y la topología en debe contener cada miembro de . [1] Por lo tanto, la topología en está determinada por los vecindarios de . Cualquier vecindario de es necesariamente el complemento en de un subconjunto compacto cerrado de , como se discutió previamente.

Las topologías que lo conforman son las siguientes:

Más ejemplos

Compactificaciones de espacios discretos

Compactaciones de espacios continuos

Como funtor

La extensión de Alexandroff puede verse como un funtor de la categoría de espacios topológicos con aplicaciones continuas propias como morfismos a la categoría cuyos objetos son aplicaciones continuas y para la cual los morfismos de a son pares de aplicaciones continuas tales que . En particular, los espacios homeomorfos tienen extensiones de Alexandroff isomorfas.

Véase también

Notas

  1. ^ "Topología general – Compactificaciones de un punto no Hausdorff".
  2. ^ de Joseph J. Rotman , Introducción a la topología algebraica (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (Ver el Capítulo 11 para la prueba). 

Referencias