Espacio poliádico

En matemáticas , un espacio poliádico es un espacio topológico que es la imagen bajo una función continua de una potencia topológica de una compactación de un punto de Alexandroff de un espacio discreto .

Historia

Los espacios poliádicos fueron estudiados por primera vez por S. Mrówka en 1970 como una generalización de los espacios diádicos . ^[1] La teoría fue desarrollada aún más por RH Marty, János Gerlits y Murray G. Bell, ^[2] este último introdujo el concepto de espacios centrados más generales. ^[1]

Fondo

Se dice que un subconjunto K de un espacio topológico X es compacto si cada cubierta abierta de K contiene una subcubierta finita. Se dice que es localmente compacto en un punto x ∈ X si x se encuentra en el interior de algún subconjunto compacto de X. X es un espacio localmente compacto si es localmente compacto en todos los puntos del espacio. ^[3]

Un subconjunto propio A ⊂ X se dice denso si la clausura Ā = X . Un espacio cuyo conjunto tiene un subconjunto denso y contable se llama espacio separable .

Para un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto y no compacto , definimos la compactación de un punto de Alexandroff como el espacio topológico con el conjunto , denotado , donde , con la topología definida de la siguiente manera: ^{[2] [4]} ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ ${\displaystyle \left\{\omega \right\}\cup X}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle \omega \notin X}$ ${\displaystyle \tau _{\omega X}}$

• ${\displaystyle \tau _{X}\subseteq \tau _{\omega X}}$
• ${\displaystyle X\setminus C\cup \left\{\omega \right\}\in \tau _{\omega X}}$, para cada subconjunto compacto . ${\displaystyle C\subseteq X}$

Definición

Sea un espacio topológico discreto y sea una compactación de un punto de Alexandroff . Un espacio de Hausdorff es poliádico si para algún número cardinal existe una función sobreyectiva continua , donde es el producto del espacio que se obtiene multiplicando consigo mismo tiempos. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f:\omega X^{\lambda }\rightarrow P}$ ${\displaystyle \omega X^{\lambda }}$ ${\displaystyle \omega X}$ ${\displaystyle \lambda }$

Ejemplos

Tome el conjunto de números naturales con topología discreta. Su compactación de un punto Alexandroff es . Elige y define el homeomorfismo con el mapeo. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \omega \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle h:\omega \mathbb {Z} ^{+}\rightarrow \left[0,1\right]}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} +\\0,&{\text{if }}x=\omega \end{cases}}}$

De la definición se deduce que el espacio de la imagen es poliádico y compacto directamente de la definición de compacidad, sin utilizar Heine-Borel. ${\displaystyle h[\omega \mathbb {Z} ]=\left\{0\right\}\cup \left\{1/n\,:\,n\in \mathbb {N} \right\}}$

Todo espacio diádico (un espacio compacto que es una imagen continua de un conjunto de Cantor ^[6] ) es un espacio poliádico. ^[7]

Sea X un espacio compacto separable. Si X es un espacio metrizable , entonces es poliádico (lo contrario también es cierto). ^[2]

Propiedades

La celularidad de un espacio es ${\displaystyle c(X)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle c(X)=\sup \left\{\vert B\vert :B{\text{ is a disjoint collection of open sets of }}X\right\}}$$

La estanqueidad de un espacio se define de la siguiente manera: let y . Definir entonces ^[8] ${\displaystyle t(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle p\in {\bar {A}}}$ $${\displaystyle a(p,A):=\min \left\{\vert B\vert :p\in \mathrm {cl} _{X}(B),B\subset A\right\}}$$ $${\displaystyle t(p,X):=\sup \left\{a(p,A):A\subseteq X,p\in \mathrm {cl} _{X}(A)\right\}}$$ ${\displaystyle t(X):=\sup \left\{t(p,X):p\in X\right\}.}$

El peso topológico de un espacio poliádico satisface la igualdad . ^[9] ${\displaystyle w(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w(X)=c(X)\cdot t(X)}$

Sea un espacio poliádico y sea . Entonces existe un espacio poliádico tal que y . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle P\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq P}$ ${\displaystyle c(P)\leq c(A)}$

Los espacios poliádicos son la clase más pequeña de espacios topológicos que contienen espacios compactos métricos y están cerrados bajo productos e imágenes continuas. ^[10] Cada espacio poliádico de peso es una imagen continua de . ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq 2^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$

Un espacio topológico tiene la propiedad Suslin si no hay una familia incontable de subconjuntos abiertos no vacíos, disjuntos por pares de . ^[11] Supongamos que tiene la propiedad Suslin y es poliádico. Entonces es diádico. ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Sea el menor número de conjuntos discretos necesarios para cubrir y denote la menor cardinalidad de un conjunto abierto no vacío en . Si es un espacio poliádico, entonces . ^[9] ${\displaystyle dis(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle dis(X)\geq \Delta (X)}$

teorema de ramsey

Existe un análogo del teorema de Ramsey de la combinatoria para espacios poliádicos. Para ello, describimos la relación entre espacios booleanos y espacios poliádicos. Denotemos el álgebra clopen de todos los subconjuntos clopen de . Definimos un espacio booleano como un espacio compacto de Hausdorff cuya base es . El elemento tal que se denomina grupo electrógeno . Decimos que es una colección disjunta si es la unión de como máximo subcolecciones , donde para cada una es una colección disjunta de cardinalidad como máximo. Petr Simon demostró que es un espacio booleano con el conjunto generador de ser disjunto si y sólo if es homeomorfo a un subespacio cerrado de . ^[8] La propiedad tipo Ramsey para espacios poliádicos, tal como la afirma Murray Bell para espacios booleanos, es la siguiente: cada colección clopen incontable contiene una subcolección incontable que está vinculada o separada. ^[13] ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle G\in CO(X)'}$ ${\displaystyle \langle \langle G\rangle \rangle =CO(X)}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle G_{\alpha }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle CO(X)}$ ${\displaystyle (\tau ,\kappa )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha \kappa ^{\tau }}$

Compacidad

Definimos el número de compacidad de un espacio , denotado por , como el menor número tal que tiene una subbase cerrada n-aria . Podemos construir espacios poliádicos con un número de compacidad arbitrario. Demostraremos esto usando dos teoremas probados por Murray Bell en 1985. Sea una colección de conjuntos y sea un conjunto. Denotamos el conjunto por ; todos los subconjuntos de tamaño por ; y todos los subconjuntos de tamaño como máximo por . Si y para todos , entonces decimos que está n-enlazado. Si cada subconjunto enlazado de n tiene una intersección no vacía, entonces decimos que es n-ario. Tenga en cuenta que si es n-ario, entonces también lo es y, por lo tanto, cada espacio con tiene una subbase n-aria cerrada con . Tenga en cuenta que una colección de subconjuntos cerrados de un espacio compacto es una subbase cerrada si y sólo si para cada conjunto cerrado en un conjunto abierto , existe un finito tal que y . ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{\bigcap {\mathcal {F}}:{\mathcal {F}}{\text{ is a finite subset of }}{\mathcal {S}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [S]^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [S]^{<=n}}$ ${\displaystyle 2\leq n<\omega }$ ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in [{\mathcal {S}}]^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,X\leq n}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle K\subset \bigcup {\mathcal {F}}\subset U}$

Sea un conjunto infinito y sea un número tal que . Definimos la topología del producto de la siguiente manera: for , let y let . Sea la colección . Tomamos como subbase abierta para nuestra topología el . Esta topología es compacta y Hausdorff. Para y tal que , tenemos que es un subespacio discreto de y, por tanto, es una unión de subespacios discretos. ^[14] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n<\omega }$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s^{-}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\in F\}}$ ${\displaystyle s^{+}=\{F\in [S]^{\leq n}:s\notin F\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}=\bigcup _{s\in S}\{s^{+},s^{-}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$ ${\displaystyle [S]^{k}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle n+1}$

Teorema (límite superior en ): Para cada orden total en , hay una subbase cerrada aria de . ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle [S]^{\leq 2n}}$

Prueba : Para , define y . Colocar . For y tal que , sea tal que sea un subconjunto vinculado de . Muestra esa . ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle L_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t<s\}|\leq n-1\}}$ ${\displaystyle R_{s}=\{F\in s^{+}:|\{t\in F:t>s\}|\leq n-1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}=\bigcup _{s\in S}\{L_{s},R_{s},s^{+}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{s}:s\in A\}\cup \{R_{s}:s\in B\}\cup \{s^{-}:s\in C\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle A\cup B\in \bigcap {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Para un espacio topológico y un subespacio , decimos que una función continua es una retracción si el mapa de identidad está en . Decimos que es una retracción de . Si existe un conjunto abierto tal que , y es una retracción de , entonces decimos que es una retracción vecinal de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\in X}$ ${\displaystyle r:X\rightarrow A}$ ${\displaystyle r|_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\subset U\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Teorema (límite inferior de ) Sea tal que . Entonces no se puede incrustar como retracción de vecindario en ningún espacio con . ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\leq n<\omega }$ ${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,K\leq n}$

De los dos teoremas anteriores, se puede deducir que para tal que tenemos que . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n<\omega }$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1=\operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n}}$

Sea la compactación de un punto de Alexandroff del espacio discreto , de modo que . Definimos la sobreyección continua por . De ello se deduce que es un espacio poliádico. Por tanto, es un espacio poliádico con número de compacidad . ^[14] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A=S\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle g:A^{n}\rightarrow [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle g((x_{1},...,x_{n}))=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\cap S}$ ${\displaystyle [S]^{\leq n}}$ ${\displaystyle [\omega _{1}]^{\leq 2n-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {cmpn} \,[\omega _{1}]^{\leq 2n-1}=n+1}$

Generalizaciones

Los espacios centrados, los espacios AD-compactos ^[15] y los espacios ξ-ádicos ^[16] son ​​generalizaciones de espacios poliádicos.

Espacio centrado

Sea una colección de conjuntos. Decimos que está centrado si para todos los subconjuntos finitos . ^[17] Defina el espacio booleano , con la topología del subespacio de . Decimos que un espacio es un espacio centrado si existe una colección tal que sea una imagen continua de . ^[18] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {F}}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})=\{\chi _{T}:T{\text{ is a centred subcollection of }}{\mathcal {S}}\}}$ ${\displaystyle 2^{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Cen({\mathcal {S}})}$

Murray Bell introdujo los espacios centrados en 2004.

Espacio compacto AD

Sea un conjunto no vacío y consideremos una familia de sus subconjuntos . Decimos que es una familia adecuada si: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}\land B\subseteq {\mathcal {A}}\Rightarrow B\in {\mathcal {A}}}$
• dado , si cada subconjunto finito de es en , entonces . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$

Podemos tratarlo como un espacio topológico considerándolo un subconjunto del cubo de Cantor y, en este caso, lo denotamos . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D^{X}}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$

Sea un espacio compacto. Si existe un conjunto y una familia adecuada , tal que sea la imagen continua de , entonces decimos que es un espacio AD-compacto. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle K}$

Grzegorz Plebanek introdujo los espacios compactos AD. Demostró que están cerrados bajo productos arbitrarios y compactaciones de Alexandroff de uniones disjuntas . De ello se deduce que todo espacio poliádico es, por tanto, un espacio AD-compacto. Lo contrario no es cierto, ya que hay espacios AD-compactos que no son poliádicos. ^[15]

espacio ξ-ádico

Sean y cardinales, y sea un espacio de Hausdorff. Si existe una sobreyección continua desde a , entonces se dice que es un espacio ξ-ádico. ^[dieciséis] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\kappa +1)^{\tau }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Los espacios ξ-ádicos fueron propuestos por S. Mrówka, y János Gerlits dio los siguientes resultados sobre ellos (también se aplican a espacios poliádicos, ya que son un caso especial de espacios ξ-ádicos). ^[19]

Sea un cardinal infinito y sea un espacio topológico. Decimos que tiene la propiedad si para cualquier familia de subconjuntos abiertos no vacíos de , donde podemos encontrar un conjunto y un punto tales que y para cada vecindad de , tenemos eso . ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle \{G_{\alpha }:\alpha \in A\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |A|={\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle B\subset A}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle |B|={\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |\{\beta \in B:N\cap G_{\beta }=\emptyset \}|<{\mathfrak {n}}}$

Si es un espacio ξ-ádico, entonces tiene la propiedad para cada cardinal infinito . De este resultado se deduce que ningún espacio infinito de Hausdorff ξ-ádico puede ser un espacio extremadamente desconectado . ^[19] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

espacio hiádico

Los espacios hiádicos fueron introducidos por Eric van Douwen . ^[20] Se definen de la siguiente manera.

Sea un espacio de Hausdorff. Denotamos por el hiperespacio de . Definimos el subespacio de por . Una base de es la familia de todos los conjuntos de la forma , donde es cualquier número entero y están abiertos en . Si es compacto, entonces decimos que un espacio de Hausdorff es hiádico si existe una sobreyección continua desde a . ^[21] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J_{2}(X)}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle \{F\in H(X):|F|\leq 2\}}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle \langle U_{0},\dots ,U_{n}\rangle =\{F\in H(X):F\subseteq U_{0}\cup \dots \cup U_{n},F\cap U_{i}\neq \emptyset {\text{ for }}0\leq i\leq n\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Los espacios poliádicos son hiádicos. ^[22]

Ver también

• Espacio diádico
• Eberlein compacto
• Espacio de piedra
• Compactación de piedra-Čech
• Espacio supercompacto

Referencias

1. Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti ; Vaughan, Jerry E. (2003). "Compacta diádica". Enciclopedia de Topología General . Ciencia Elsevier . pag. 193.ISBN​ 978-0444503558.
2. Al-Mahrouqi, Sharifa (2013). Espacios topológicos compactos inspirados en construcciones combinatorias (Tesis). Universidad de Anglia Oriental . págs. 8-13.
3. Møller, Jesper M. (2014). "Espacios topológicos y mapas continuos". Topología general . pag. 58.ISBN​ 9781502795878.
4. Tkachuk, Vladimir V. (2011). "Nociones básicas de topología y espacios funcionales". Un libro de problemas de teoría Cp: espacios topológicos y funcionales . Springer Ciencia + Medios comerciales . pag. 35.ISBN​ 9781441974426.
5. Turzański, Marian (1996). Cubos de Cantor: condiciones de la cadena . Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego . pag. 19.ISBN​ 978-8322607312.
6. Nagata, Jun-Iti (15 de noviembre de 1985). "Temas relacionados con mapeos". Topología general moderna . pag. 298.ISBN​ 978-0444876553.
7. Dikranjan, Dikran; Salce, Luigi (1998). Grupos abelianos, teoría de módulos y topología . Prensa CRC . pag. 339.ISBN​ 9780824719371.
8. Bell, Murray (2005). "Estrechez en espacios poliádicos" (PDF) . Procedimientos de topología . 25 . Universidad de Auburn : 2–74.
9. Spadaro, Santi (22 de mayo de 2009). "Una nota sobre conjuntos discretos". Comentarios Mathematicae Universitatis Carolinae . 50 (3): 463–475. arXiv : 0905.3588 .
10. Koszmider, Piotr (2012). "Objetos universales y asociaciones entre clases de espacios de Banach y clases de espacios compactos". arXiv : 1209.4294 [matemáticas.FA].
11. "Examen completo de topología" (PDF) . Universidad de Ohio . 2005. Archivado desde el original (PDF) el 14 de febrero de 2015 . Consultado el 14 de febrero de 2015 .
12. Turzański, Marian (1989). "Sobre generalizaciones de espacios diádicos". Acta Universitatis Carolinae. Matemática y Física . 30 (2): 154. ISSN  0001-7140.
13. Bell, Murray (11 de enero de 1996). "Un teorema de Ramsey para espacios poliádicos". Universidad de Tennessee en Martin . Consultado el 14 de febrero de 2015 .
14. Bell, Murray (1985). "Espacios poliádicos de números de compacidad arbitrarios". Comentarios Mathematicae Universitatis Carolinae . 26 (2). Universidad Carolina de Praga : 353–361 . Consultado el 27 de febrero de 2015 .
15. Plebanek, Grzegorz (25 de agosto de 1995). "Espacios compactos que resultan de adecuadas familias de decorados". Topología y sus aplicaciones . 65 (3). Elsevier: 257–270. doi : 10.1016/0166-8641(95)00006-3 .
16. Bell, Murray (1998). «Sobre carácter y condiciones de cadena en imágenes de productos» (PDF) . Fundamentos Mathematicae . 158 (1). Academia Polaca de Ciencias : 41–49.
17. Bell, Murray G. (1985). "Espacios diádicos generalizados". Fundamentos Mathematicae . 125 (1): 47–58. doi :10.4064/fm-125-1-47-58. SEÑOR  0813988.
18. Campana, Murray (2004). "Espacios funcionales en τ-Corson compacta y estanqueidad de espacios poliádicos". Revista de Matemáticas Checoslovaca . 54 (4): 899–914. doi :10.1007/s10587-004-6439-z. S2CID  123078792.
19. Gerlits, János (1971). Novák, Josef (ed.). "Sobre espacios m-ádicos". Topología general y sus relaciones con el análisis y el álgebra modernos, Actas del Tercer Simposio Topológico de Praga . Praga : Editorial Academia de la Academia de Ciencias de Checoslovaquia: 147–148.
20. Bell, Murray (1988). "Subespacios gk de espacios hiádicos" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 104 (2). Sociedad Estadounidense de Matemáticas : 635–640. doi :10.2307/2047025. JSTOR  2047025. S2CID  201914041.
21. van Douwen, Eric K. (1990). "Mapeos desde hiperespacios y secuencias convergentes". Topología y sus aplicaciones . 34 (1). Elsevier: 35–45. doi : 10.1016/0166-8641(90)90087-i .
22. Banakh, Taras (2003). "Sobre invariantes cardinales y metrizabilidad de semigrupos de Clifford inversos topológicos". Topología y sus aplicaciones . 128 (1). Elsevier: 38. doi : 10.1016/S0166-8641(02)00083-4 .