Espacio extremadamente desconectado

Espacio topológico en el que la clausura de todo conjunto abierto es abierta

En matemáticas, un espacio extremamente desconectado es un espacio topológico en el que la clausura de cada conjunto abierto es abierta. (El término "extremadamente desconectado" es correcto, aunque la palabra "extremadamente" no aparece en la mayoría de los diccionarios, ^[1] y a veces los correctores ortográficos la confunden con el homófono extremadamente desconectado ).

Un espacio extremadamente desconectado que también es compacto y de Hausdorff se denomina a veces espacio de Stone . No es lo mismo que un espacio de Stone , que es un espacio de Hausdorff compacto totalmente desconectado . Todo espacio de Stone es un espacio de Stone, pero no al revés. En la dualidad entre espacios de Stone y álgebras de Boole , los espacios de Stone corresponden a las álgebras de Boole completas .

Un espacio de Hausdorff de primer orden numerable y extremamente desconectado debe ser discreto . En particular, para los espacios métricos , la propiedad de estar extremamente desconectado (la clausura de cada conjunto abierto es abierta) es equivalente a la propiedad de ser discreto (cada conjunto es abierto).

Ejemplos y no ejemplos

• Todo espacio discreto es extremamente desconectado. Todo espacio indiscreto es a la vez extremamente desconectado y conectado.
• La compactificación de Stone-Čech de un espacio discreto está extremadamente desconectada.
• El espectro de un álgebra abeliana de von Neumann está extremadamente desconectado.
• Cualquier álgebra AW* conmutativa es isomorfa a , para algún espacio que es extremamente desconectado, compacto y de Hausdorff. ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$
• Cualquier espacio infinito con la topología cofinita es a la vez extremalmente desconectado y conexo . En términos más generales, todo espacio hiperconectado es extremalmente desconectado.
• El espacio de tres puntos con base proporciona un ejemplo finito de un espacio que es a la vez extremamente desconectado y conexo. Otro ejemplo lo da el espacio de Sierpinski , ya que es finito, conexo e hiperconectado. ${\displaystyle \{\{x,y\},\{x,y,z\}\}}$

Los siguientes espacios no están extremadamente desconectados:

• El conjunto de Cantor no está extremadamente desconectado, pero sí totalmente desconectado.

Caracterizaciones equivalentes

Un teorema de Gleason (1958) dice que los objetos proyectivos de la categoría de espacios compactos de Hausdorff son exactamente los espacios compactos de Hausdorff extremamente desconectados. Rainwater (1959) ofrece una demostración simplificada de este hecho.

Un espacio de Hausdorff compacto está extremalmente desconectado si y solo si es un retracto de la compactificación de Stone-Čech de un espacio discreto. ^[2]

Aplicaciones

Hartig (1983) demuestra el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani reduciéndolo al caso de espacios extremamente desconectados, en cuyo caso el teorema de representación puede demostrarse por medios elementales.

Véase también

• Espacio totalmente desconectado

Referencias

1. "extremadamente" . Oxford English Dictionary (edición en línea). Oxford University Press . (Se requiere suscripción o membresía a una institución participante).
2. Semadeni (1971, Tesis 24.7.1)

• AV Arkhangelskii (2001) [1994], "Espacio extremadamente desconectado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Gleason, Andrew M. (1958), "Espacios topológicos proyectivos", Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10.1215/ijm/1255454110 , MR  0121775
• Hartig, Donald G. (1983), "El teorema de representación de Riesz revisado", American Mathematical Monthly , 90 (4): 277–280, doi :10.2307/2975760, JSTOR  2975760
• Johnstone, Peter T. (1982). Espacios de piedra . Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
• Rainwater, John (1959), "Una nota sobre resoluciones proyectivas", Actas de la American Mathematical Society , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307/2033466 , JSTOR  2033466
• Semadeni, Zbigniew (1971), Espacios de Banach de funciones continuas. Vol. I , PWN---Editorial Científica Polaca, Varsovia, MR  0296671