conjunto puntiagudo

Concepto básico en teoría de conjuntos.

En matemáticas , un conjunto puntiagudo ^{[1] [2]} (también conjunto basado ^[1] o conjunto raíz ^[3] ) es un par ordenado donde es un conjunto y es un elemento llamado punto base , ^[2] también escrito punto base . ^{[4] : 10-11} ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$

Los mapas entre conjuntos puntiagudos y —llamados mapas basados , ^[5] mapas puntiagudos , ^[4] o mapas que preservan puntos ^[6] —son funciones de ese mapa de un punto base a otro, es decir, mapas tales que . Los mapas basados ​​generalmente se indican . ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ ${\textstyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$

Los conjuntos puntiagudos son estructuras algebraicas muy simples . En el sentido del álgebra universal , un conjunto puntiagudo es un conjunto junto con una única operación nula ^[a] que selecciona el punto base. ^[7] Los mapas puntiagudos son los homomorfismos de estas estructuras algebraicas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle *:X^{0}\to X,}$

La clase de todos los conjuntos puntiagudos junto con la clase de todos los mapas basados ​​forman una categoría . Todo conjunto puntiagudo se puede convertir en un conjunto ordinario olvidándose del punto base (el funtor olvidadizo es fiel ), pero lo contrario no es cierto. ^{[8] : 44} En particular, el conjunto vacío no puede ser apuntado, porque no tiene ningún elemento que pueda ser elegido como punto base. ^[9]

Propiedades categóricas

La categoría de conjuntos puntiagudos y mapas basados ​​es equivalente a la categoría de conjuntos y funciones parciales . ^[6] El punto base sirve como "valor predeterminado" para aquellos argumentos para los cuales la función parcial no está definida. Un libro de texto señala que "esta finalización formal de conjuntos y mapas parciales mediante la adición de elementos 'impropios' e 'infinitos' se reinventó muchas veces, en particular, en topología ( compactación de un punto ) y en informática teórica ". ^[10] Esta categoría también es isomorfa a la categoría coslice ( ), donde es (un funtor que selecciona) un conjunto singleton y (el funtor de identidad de) la categoría de conjuntos . ^{[8] : 46  [11]} Esto coincide con la caracterización algebraica, ya que el mapa único extiende los triángulos conmutativos que definen las flechas de la categoría coslice para formar los cuadrados conmutativos que definen los homomorfismos de las álgebras. ${\displaystyle \mathbf {1} \downarrow \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }}$ ${\displaystyle \mathbf {1} \to \mathbf {1} }$

Existe un functor fiel desde conjuntos puntiagudos hasta conjuntos habituales, pero no está completo y estas categorías no son equivalentes . ^[8]

La categoría de conjuntos puntiagudos es una categoría puntiaguda . Los conjuntos singleton puntiagudos son tanto objetos iniciales como terminales , ^[1] es decir, son objetos cero . ^{[4] : 226} La categoría de conjuntos puntiagudos y mapas puntiagudos tiene tanto productos como coproductos , pero no es una categoría distributiva . También es un ejemplo de una categoría que no es isomorfa . ^[9] ${\displaystyle (\{a\},a)}$ ${\displaystyle 0\times A}$ ${\displaystyle 0}$

Aplicaciones

Muchas estructuras algebraicas se basan en un punto distinguido. Por ejemplo, los grupos son conjuntos puntiagudos eligiendo el elemento identidad como punto base, de modo que los homomorfismos de grupo son mapas que preservan los puntos. ^{[12] : 24} Esta observación puede reformularse en términos de teoría de categorías como la existencia de un functor olvidadizo de grupos a conjuntos puntiagudos. ^{[12] : 582}

Un conjunto puntiagudo puede verse como un espacio puntiagudo bajo la topología discreta o como un espacio vectorial sobre el campo con un elemento . ^[13]

Como "conjunto enraizado", la noción aparece naturalmente en el estudio de los antimatroides ^[3] y los politopos de transporte. ^[14]

Ver también

• Gráfico puntiagudo accesible  : gráfico en el que un vértice se ha distinguido como raízPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Extensión Alexandroff  : forma de ampliar un espacio topológico no compacto
• Esfera de Riemann  : modelo del plano complejo extendido más un punto en el infinito

Notas

1. La notación X ⁰ se refiere a la potencia cartesiana cero del conjunto X , que es un conjunto de un elemento que contiene la tupla vacía.

Referencias

1. Mac Lane 1998.
2. Grégory Berhuy (2010). Introducción a la cohomología de Galois y sus aplicaciones . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 377. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 34.ISBN​ 978-0-521-73866-8. Zbl  1207.12003.
3. Korte, Bernhard ; Lovász, László ; Schrader, Rainer (1991), Greedoides , algoritmos y combinatoria, vol. 4, Nueva York, Berlín: Springer-Verlag , capítulo 3, ISBN 3-540-18190-3, Zbl  0733.05023
4. Joseph Rotman (2008). Introducción al álgebra homológica (2ª ed.). Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-68324-9.
5. Maunder, CRF (1996), Topología algebraica, Dover, p. 31, ISBN 978-0-486-69131-2.
6. Schröder 2001.
7. Saunders Mac Lane; Garrett Birkhoff (1999) [1988]. Álgebra (3ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 497.ISBN​ 978-0-8218-1646-2.
8. J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 de enero de 2005) Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos
9. Lawvere y Schanuel 2009.
10. Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). Un curso de lógica matemática para matemáticos . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 290.ISBN​ 978-1-4419-0615-1.
11. Francisco Borceux; Dominique Bourn (2004). Categorías Mal'cev, Protomodular, Homológica y Semi-Abeliana . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 131.ISBN​ 978-1-4020-1961-6.
12. Paolo Aluffi (2009). Álgebra: Capítulo 0 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4781-7.
13. Haran, MJ Shai (2007), "Geometría no aditiva" (PDF) , Compositio Mathematica , 143 (3): 618–688, doi :10.1112/S0010437X06002624, MR  2330442. En la pág. 622, Haran escribe "Consideramos los espacios vectoriales como conjuntos finitos con un elemento 'cero' distinguido..." ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$
14. Klee, V.; Witzgall, C. (1970) [1968]. "Facetas y vértices de politopos de transporte". En George Bernard Dantzig (ed.). Matemáticas de las ciencias de la decisión. Parte 1 . Sociedad Matemática Estadounidense. COMO EN  B0020145L2. OCLC  859802521.

Lectura adicional

• Lawvere, FW; Schanuel, Stephen Hoel (2009). Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.
• Schröder, Lutz (2001). "Categorías: un recorrido gratuito". En Koslowski, Jürgen; Melton, Austin (eds.). Perspectivas categóricas . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 10.ISBN​ 978-0-8176-4186-3.

Enlaces externos

• Retrocesos en la categoría de conjuntos y funciones parciales
• Conjunto puntiagudo en PlanetMath .
• Objeto puntiagudo en el laboratorio n .