En matemáticas , la compactación de Bohr de un grupo topológico G es un grupo topológico H compacto de Hausdorff que puede estar asociado canónicamente a G. Su importancia radica en la reducción de la teoría de funciones uniformemente casi periódicas en G a la teoría de funciones continuas en H. El concepto lleva el nombre de Harald Bohr, quien fue pionero en el estudio de funciones casi periódicas , en la recta real .
Dado un grupo topológico G , la compactificación de Bohr de G es un grupo topológico compacto de Hausdorff Bohr ( G ) y un homomorfismo continuo [1]
que es universal con respecto a homomorfismos en grupos compactos de Hausdorff; esto significa que si K es otro grupo topológico compacto de Hausdorff y
es un homomorfismo continuo, entonces hay un homomorfismo continuo único
tal que f = Bohr ( f ) ∘ b .
Teorema . La compactificación de Bohr existe [2] [3] y es única hasta el isomorfismo.
Denotaremos la compactificación de Bohr de G por Bohr ( G ) y el mapa canónico por
La correspondencia G ↦ Bohr ( G ) define un functor covariante en la categoría de grupos topológicos y homomorfismos continuos.
La compactificación de Bohr está íntimamente relacionada con la teoría de representación unitaria de dimensión finita de un grupo topológico. El núcleo de b consta exactamente de aquellos elementos de G que no pueden separarse de la identidad de G mediante representaciones unitarias de dimensión finita .
La compactificación de Bohr también reduce muchos problemas en la teoría de funciones casi periódicas en grupos topológicos a la de funciones en grupos compactos.
Una función f continua acotada de valores complejos en un grupo topológico G es uniformemente casi periódica si y sólo si el conjunto de derechos traduce g f donde
es relativamente compacto en la topología uniforme ya que g varía a través de G .
Teorema . Una función f continua acotada de valores complejos sobre G es uniformemente casi periódica si y sólo si hay una función continua f 1 sobre Bohr ( G ) (que está determinada de forma única) tal que
Los grupos topológicos para los cuales el mapeo de compactación de Bohr es inyectivo se denominan grupos casi periódicos (o grupos MAP). Por ejemplo, todos los grupos abelianos, todos los grupos compactos y todos los grupos libres son MAP. [5] En el caso de que G sea un grupo conectado localmente compacto, los grupos MAP están completamente caracterizados: son precisamente productos de grupos compactos con grupos vectoriales de dimensión finita.
=f(g^{-1}\cdot x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2abae7f15ea48616c336fffdb2c0bc958a21ac58)
