Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani

Declaración sobre funciones y medidas lineales

En matemáticas, el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani relaciona los funcionales lineales en espacios de funciones continuas en un espacio localmente compacto con las medidas en la teoría de la medida. El teorema recibe su nombre de Frigyes Riesz  (1909), quien lo introdujo para funciones continuas en el intervalo unitario , Andrey Markov  (1938), quien extendió el resultado a algunos espacios no compactos, y Shizuo Kakutani  (1941), quien extendió el resultado a espacios compactos de Hausdorff .

Existen muchas variaciones estrechamente relacionadas del teorema, ya que las funcionales lineales pueden ser complejas, reales o positivas , el espacio en el que se definen puede ser el intervalo unitario o un espacio compacto o un espacio localmente compacto , las funciones continuas pueden desvanecerse en el infinito o tener soporte compacto , y las medidas pueden ser medidas de Baire o medidas regulares de Borel o medidas de Radon o medidas con signo o medidas complejas .

El teorema de representación para funcionales lineales positivos enC c(incógnita)

El enunciado del teorema para funcionales lineales positivos en C _c ( X ) , el espacio de funciones continuas de valor complejo con soporte compacto , es el siguiente:

Teorema Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto y un funcional lineal positivo en C _c ( X ) . Entonces existe una única medida de Borel positiva en X tal que ^[1] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{c}(X),}$

que tiene las siguientes propiedades adicionales para algunos que contienen el σ-álgebra de Borel en X : ${\displaystyle \Sigma }$

• ${\displaystyle \mu (K)<\infty }$Para cada compacto , ${\displaystyle K\subset X}$
• Regularidad externa :se cumple para cada conjunto de Borel ; ${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\mbox{ open}}\}}$ ${\displaystyle E\in \Sigma }$
• Regularidad interna :se cumple siempreque esté abierto o cuandoesté Borel y; ${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\mbox{ compact}}\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (E)<\infty }$
• ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$es un espacio de medida completo

Como tal, si todos los conjuntos abiertos en X son σ-compactos entonces es una medida de Radon . ^[2] ${\displaystyle \mu }$

Un enfoque para la teoría de la medida es comenzar con una medida de Radon , definida como una funcional lineal positiva en C _c ( X ) . Este es el método adoptado por Bourbaki ; por supuesto, supone que X comienza su vida como un espacio topológico , en lugar de simplemente como un conjunto. Para espacios localmente compactos, se recupera entonces una teoría de integración.

Sin la condición de regularidad , la medida de Borel no necesita ser única. Por ejemplo, sea X el conjunto de ordinales como máximo iguales al primer ordinal incontable Ω , con la topología generada por " intervalos abiertos ". La funcional lineal que toma una función continua a su valor en Ω corresponde a la medida de Borel regular con una masa puntual en Ω . Sin embargo, también corresponde a la medida de Borel (no regular) que asigna la medida 1 a cualquier conjunto de Borel si hay un conjunto cerrado e ilimitado con , y asigna la medida 0 a otros conjuntos de Borel. (En particular, el singleton obtiene la medida 0 , al contrario de la medida de masa puntual). ${\displaystyle B\subseteq [0,\Omega ]}$ ${\displaystyle C\subseteq [0,\Omega [}$ ${\displaystyle C\subseteq B}$ ${\displaystyle \{\Omega \}}$

El teorema de representación para el dual continuo dedo0(incógnita)

La siguiente representación, también denominada teorema de Riesz-Markov , da una realización concreta del espacio dual topológico de C ₀ ( X ) , el conjunto de funciones continuas en X que se desvanecen en el infinito .

Teorema Sea X un espacio de Hausdorff localmente compacto. Para cualquier funcional lineal continuo en C ₀ ( X ) , existe una única medida de Borel regular de valor complejo en X tal que ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)\,d\mu (x),\quad \forall f\in C_{0}(X).}$

Una medida de Borel de valor complejo se denomina regular si la medida positiva satisface las condiciones de regularidad definidas anteriormente. La norma de como funcional lineal es la variación total de , es decir ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \|\psi \|=|\mu |(X).}$

Finalmente, es positivo si y sólo si la medida es positiva. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mu }$

Esta afirmación sobre los funcionales lineales se puede deducir de la afirmación sobre los funcionales lineales positivos, mostrando primero que un funcional lineal acotado puede escribirse como una combinación lineal finita de funcionales lineales positivos.

Observación histórica

En su forma original de Frigyes Riesz  (1909) el teorema establece que toda función lineal continua A sobre el espacio C ([0, 1]) de funciones continuas f en el intervalo [0, 1] puede representarse como

${\displaystyle A[f(x)]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x),}$

donde α ( x ) es una función de variación acotada en el intervalo [0, 1] , y la integral es una integral de Riemann–Stieltjes . Puesto que existe una correspondencia biunívoca entre las medidas regulares de Borel en el intervalo y las funciones de variación acotada (que asigna a cada función de variación acotada la medida de Lebesgue–Stieltjes correspondiente, y la integral con respecto a la medida de Lebesgue–Stieltjes concuerda con la integral de Riemann–Stieltjes para funciones continuas), el teorema enunciado anteriormente generaliza el enunciado original de F. Riesz. ^[3]

Notas

1. Rudin 1987, pág. 40.
2. Rudin 1987, pág. 48.
3. Gris 1984.

Referencias

• Fréchet, M. (1907). "Sobre los conjuntos de funciones y operaciones lineales". CR Acad. Ciencia. París . 144 : 1414-1416.
• Gray, JD (1984). "La conformación del teorema de representación de Riesz: Un capítulo en la historia del análisis". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 31 (2): 127–187. doi :10.1007/BF00348293.
• Hartig, Donald G. (1983). "El teorema de representación de Riesz revisitado". American Mathematical Monthly . 90 (4): 277–280. doi :10.2307/2975760. JSTOR  2975760.;una presentación teórica de categorías como transformación natural.
• Kakutani, Shizuo (1941). "Representación concreta de (M)-espacios abstractos. (Una caracterización del espacio de funciones continuas.)". Ann. of Math . Serie 2. 42 (4): 994–1024. doi :10.2307/1968778. hdl : 10338.dmlcz/100940 . JSTOR  1968778. MR  0005778.
• Markov, A. (1938). "Sobre valores medios y densidades exteriores". Rec. Math. Moscú . NS 4 : 165–190. Zbl  0020.10804.
• Riesz, F. (1907). "Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables". CR Acad. Ciencia. París . 144 : 1409-1411.
• Riesz, F. (1909). "Sobre las operaciones funcionales lineales". CR Acad. Ciencia. París . 149 : 974–977.
• Halmos, P. (1950). Teoría de la medida . D. van Nostrand y compañía.
• Weisstein, Eric W. "Teorema de representación de Riesz". MathWorld .
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . McGraw-Hill. ISBN 0-07-100276-6.