Axioma de Martín

En el campo matemático de la teoría de conjuntos , el axioma de Martin , introducido por Donald A. Martin y Robert M. Solovay , ^[1] es una afirmación que es independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos ZFC . Está implícito en la hipótesis del continuo , pero es coherente con ZFC y la negación de la hipótesis del continuo. De manera informal, dice que todos los cardinales menores que la cardinalidad del continuo , 𝔠, se comportan aproximadamente como ℵ _0. La intuición detrás de esto se puede entender estudiando la prueba del lema de Rasiowa-Sikorski . Es un principio que se utiliza para controlar ciertos argumentos forzados .

Declaración

Para un número cardinal κ , defina la siguiente afirmación:

MA( κ )

Para cualquier orden parcial P que satisfaga la condición de cadena contable (en adelante ccc) y cualquier conjunto D  = { D _i } _{i ∈ I} de subconjuntos densos de P tales que |D|  ≤  κ , hay un filtro F en P tal que F  ∩  D _i no está vacío para cada D _i  ∈  D .

En este contexto, un conjunto D se denomina denso si cada elemento de P tiene un límite inferior en D. Para la aplicación de ccc, una anticadena es un subconjunto A de P tal que dos miembros distintos de A son incompatibles (se dice que dos elementos son compatibles si existe un elemento común debajo de ambos en el orden parcial). Esto difiere, por ejemplo, de la noción de anticadena en el contexto de los árboles .

MA(ℵ ₀ ) es demostrable en ZFC y se conoce como el lema de Rasiowa-Sikorski .

MA(2 ^{ℵ ₀} ) es falsa: [0, 1] es un espacio de Hausdorff compacto separable , y por lo tanto ( P , el conjunto parcial de subconjuntos abiertos bajo inclusión, es) ccc. Pero ahora consideremos los siguientes dos conjuntos densos de tamaño 𝔠 en P : ningún x  ∈ [0, 1] está aislado , y por lo tanto cada x define el subconjunto denso {  S  | x  ∉  S  }. Y cada r  ∈ (0, 1], define el subconjunto denso {  S  | diam( S ) <  r  }. Los dos conjuntos combinados también son de tamaño 𝔠, y un filtro que cumpla ambos debe evitar simultáneamente todos los puntos de [0, 1] mientras contiene conjuntos de diámetro arbitrariamente pequeño. Pero un filtro F que contiene conjuntos de diámetro arbitrariamente pequeño debe contener un punto en ⋂ F por compacidad. (Véase también § Formas equivalentes de MA(κ).)

El axioma de Martin es entonces que MA( κ ) se cumple para cada κ para el cual podría:

Axioma de Martin (MA)

MA( κ ) es válida para cada κ  < 𝔠.

Formas equivalentes de MA(k)

Las siguientes afirmaciones son equivalentes a MA( κ ):

• Si X es un espacio topológico compacto de Hausdorff que satisface la ccc , entonces X no es la unión de κ o menos subconjuntos densos en ninguna parte .
• Si P es un conjunto poset ccc hacia arriba no vacío e Y es un conjunto de subconjuntos cofinales de P con |Y|  ≤  κ entonces existe un conjunto A dirigido hacia arriba tal que A cumple con cada elemento de Y .
• Sea A un álgebra booleana ccc no nula y F un conjunto de subconjuntos de A con |F|  ≤  κ . Entonces existe un homomorfismo booleano φ:  A  →  Z /2 Z tal que para cada X  ∈  F , existe un a  ∈  X con φ( a ) = 1 o existe un límite superior b  ∈  X con φ( b ) = 0.

Consecuencias

El axioma de Martin tiene otras consecuencias combinatorias , analíticas y topológicas interesantes :

• La unión de κ o menos conjuntos nulos en una medida de Borel σ-finita sin átomos en un espacio polaco es nula. En particular, la unión de κ o menos subconjuntos de R de medida de Lebesgue 0 también tiene medida de Lebesgue 0.
• Un espacio de Hausdorff compacto X con |X|  < 2 ^κ es secuencialmente compacto , es decir, cada secuencia tiene una subsecuencia convergente.
• Ningún ultrafiltro no principal en N tiene una base de cardinalidad menor que κ .
• De manera equivalente, para cualquier x  ∈ β N \ N tenemos 𝜒( x ) ≥  κ , donde 𝜒 es el carácter de x , y por lo tanto 𝜒(β N ) ≥  κ .
• MA(ℵ ₁ ) implica que un producto de espacios topológicos ccc es ccc (esto a su vez implica que no hay líneas de Suslin ).
• MA + ¬CH implica que existe un grupo de Whitehead que no es libre; Shelah usó esto para demostrar que el problema de Whitehead es independiente de ZFC.

Desarrollo adicional

• El axioma de Martin tiene generalizaciones llamadas axioma de forzamiento propio y máximo de Martin .
• Sheldon W. Davis ha sugerido en su libro que el axioma de Martin está motivado por el teorema de categoría de Baire . ^[2]

Referencias

1. Martin, Donald A. ; Solovay, Robert M. (1970). "Extensiones internas de Cohen". Ann. Math. Logic . 2 (2): 143–178. doi : 10.1016/0003-4843(70)90009-4 . MR  0270904.
2. Davis, Sheldon W. (2005). Topología . McGraw Hill. pág. 29. ISBN. 0-07-291006-2.

Lectura adicional

• Fremlin, David H. (1984). Consecuencias del axioma de Martin . Cambridge Tracts in Mathematics, n.º 84. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-25091-9.
• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth , 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 .