En matemáticas , un espacio topológico X es uniformizable si existe una estructura uniforme en X que induce la topología de X. De manera equivalente, X es uniformizable si y sólo si es homeomorfo a un espacio uniforme (equipado con la topología inducida por la estructura uniforme).
Cualquier espacio ( pseudo ) metrizable es uniformizable ya que la uniformidad (pseudo)métrica induce la topología (pseudo)métrica. Lo contrario falla: hay espacios uniformizables que no son (pseudo)metrizables. Sin embargo, es cierto que la topología de un espacio uniformizable siempre puede ser inducida por una familia de pseudométricas ; de hecho, esto se debe a que cualquier uniformidad en un conjunto X puede definirse mediante una familia de pseudométricas.
Demostrar que un espacio es uniformizable es mucho más sencillo que demostrar que es metrizable. De hecho, la uniformización es equivalente a un axioma de separación común :
Una forma de construir una estructura uniforme en un espacio topológico X es tomar la uniformidad inicial en X inducida por C ( X ), la familia de funciones continuas de valor real en X. Ésta es la uniformidad más burda en X para la cual todas esas funciones son uniformemente continuas . Una subbase para esta uniformidad viene dada por el conjunto de todos los séquitos.
donde f ∈ C ( X ) y ε > 0.
La topología uniforme generada por la uniformidad anterior es la topología inicial inducida por la familia C ( X ). En general, esta topología será más burda que la topología dada en X. Las dos topologías coincidirán si y sólo si X es completamente regular.
Dado un espacio uniformizable X existe una uniformidad más fina en X compatible con la topología de X llamada uniformidad fina o uniformidad universal . Se dice que un espacio uniforme es fino si tiene la fina uniformidad generada por su topología uniforme.
La uniformidad fina se caracteriza por la propiedad universal : cualquier función continua f desde un espacio fino X hasta un espacio uniforme Y es uniformemente continua. Esto implica que el funtor F : CReg → Uni que asigna a cualquier espacio X completamente regular la uniformidad fina en X se deja junto al funtor olvidadizo que envía un espacio uniforme a su espacio subyacente completamente regular.
Explícitamente, la uniformidad fina en un espacio X completamente regular es generada por todas las vecindades abiertas D de la diagonal en X × X (con la topología del producto ) de manera que existe una secuencia D 1 , D 2 , … de vecindades abiertas de la diagonal con D = D 1 y .
La uniformidad en un espacio X completamente regular inducida por C ( X ) (ver la sección anterior) no siempre es la uniformidad fina.
