La historia de los axiomas de separación en topología general ha sido complicada, con muchos significados compitiendo por los mismos términos y muchos términos compitiendo por el mismo concepto.
Antes de la definición general actual de espacio topológico , se ofrecieron muchas definiciones, algunas de las cuales asumían (lo que ahora consideramos) algunos axiomas de separación. Por ejemplo, la definición dada por Felix Hausdorff en 1914 es equivalente a la definición moderna más el axioma de separación de Hausdorff .
Los axiomas de separación, como grupo, adquirieron importancia en el estudio de la metrisabilidad : la cuestión de a qué espacios topológicos se les puede dar la estructura de un espacio métrico . Los espacios métricos satisfacen todos los axiomas de separación; pero, de hecho, estudiar espacios que satisfacen sólo algunos axiomas ayuda a llegar a la noción de metrisabilidad total.
Los axiomas de separación que se estudiaron juntos por primera vez de esta manera fueron los axiomas de espacios accesibles , espacios de Hausdorff , espacios regulares y espacios normales . Los topólogos asignaron a estas clases de espacios los nombres T 1 , T 2 , T 3 y T 4 . Posteriormente, este sistema de numeración se amplió para incluir T 0 , T 2½ , T 3½ (o T π ), T 5 y T 6 .
Pero esta secuencia tuvo sus problemas. Se suponía que la idea era que cada espacio Ti es un tipo especial de espacio T j si i > j . Pero esto no es necesariamente cierto, ya que las definiciones varían. Por ejemplo, un espacio regular (llamado T 3 ) no tiene por qué ser un espacio de Hausdorff (llamado T 2 ), al menos no según la definición más simple de espacios regulares.
Todos los autores coincidieron en T 0 , T 1 y T 2 . Para los demás axiomas, sin embargo, diferentes autores podrían utilizar definiciones significativamente diferentes, dependiendo de en qué estuvieran trabajando. Estas diferencias podrían desarrollarse porque, si se supone que un espacio topológico satisface el axioma T 1 , entonces las diversas definiciones son (en la mayoría de los casos) equivalentes. Por lo tanto, si uno va a hacer esa suposición, entonces querrá utilizar la definición más simple. Pero si no se hiciera esa suposición, entonces la definición más simple podría no ser la correcta para el concepto más útil; en cualquier caso, destruiría la vinculación (transitiva) de Ti por Tj , permitiendo (por ejemplo) espacios regulares no Hausdorff.
Los topólogos que trabajan en el problema de la metrización generalmente asumieron T 1 ; después de todo, todos los espacios métricos son T 1 . Por lo tanto, utilizaron las definiciones más simples para T i . Luego, para aquellas ocasiones en las que no asumieron T 1 , utilizaron palabras ("regular" y "normal") para las definiciones más complicadas, con el fin de contrastarlas con las más simples. Este enfoque se utilizó aún en 1970 con la publicación de Counterexamples in Topology por Lynn A. Steen y J. Arthur Seebach, Jr.
Por el contrario, los topólogos generales , liderados por John L. Kelley en 1955, normalmente no asumían T 1 , por lo que estudiaron los axiomas de separación con la mayor generalidad desde el principio. Usaron definiciones más complicadas para Ti , de modo que siempre tuvieran una buena propiedad que relacionara Ti con Tj . Luego, para las definiciones más simples, usaron palabras (nuevamente, "regular" y "normal"). Se podría decir que ambas convenciones siguen los significados "originales"; los diferentes significados son los mismos para los espacios T 1 , que era el contexto original. Pero el resultado fue que diferentes autores utilizaron los distintos términos de maneras precisamente opuestas. Para aumentar la confusión, alguna literatura observará una buena distinción entre un axioma y el espacio que satisface el axioma, de modo que un espacio T 3 podría necesitar satisfacer los axiomas T 3 y T 0 (por ejemplo, en el Diccionario Enciclopédico de Matemáticas , 2ª ed.).
Desde 1970, los términos de los topólogos generales han ido ganando popularidad, incluso en otras ramas de las matemáticas, como el análisis . Pero el uso aún no es consistente.
Steen y Seebach definen un espacio de Urysohn como "un espacio con una función de Urysohn para dos puntos cualesquiera". Willard llama a esto un espacio completamente de Hausdorff. Steen y Seebach definen un espacio completamente de Hausdorff o espacio T 2 1 ⁄ 2 como un espacio en el que cada dos puntos están separados por vecindades cerradas, lo que Willard llama espacio de Urysohn o espacio T 2 1 ⁄ 2 .