En matemáticas , dado un espacio vectorial X con una forma cuadrática asociada q , escrita ( X , q ) , un vector nulo o vector isotrópico es un elemento x distinto de cero de X para el cual q ( x ) = 0 .
En la teoría de las formas bilineales reales , las formas cuadráticas definidas y las formas cuadráticas isotrópicas son distintas. Se distinguen porque sólo para este último existe un vector nulo distinto de cero.
Un espacio cuadrático ( X , q ) que tiene un vector nulo se llama espacio pseudoeuclidiano .
Un espacio vectorial pseudoeuclidiano se puede descomponer (de forma no única) en subespacios ortogonales A y B , X = A + B , donde q es definido positivo en A y definido negativo en B. El cono nulo , o cono isotrópico , de X consiste en la unión de esferas en equilibrio:
Un álgebra de composición con un vector nulo es un álgebra dividida . [1]
En un álgebra de composición ( A , +, ×, *), la forma cuadrática es q( x ) = xx *. Cuando x es un vector nulo, entonces no hay inverso multiplicativo para x , y dado que x ≠ 0, A no es un álgebra de división .
En la construcción de Cayley-Dickson , las álgebras divididas surgen en la serie de números bicomplejos , bicuaterniones y bioctoniones , que utiliza el campo de números complejos como base de esta construcción de duplicación debido a LE Dickson (1919). En particular, estas álgebras tienen dos unidades imaginarias , que conmutan de modo que su producto, cuando se eleva al cuadrado, da +1:
Las subálgebras reales, números complejos divididos , cuaterniones divididos y octoniones divididos , con sus conos nulos que representan el seguimiento de la luz dentro y fuera de 0 ∈ A , sugieren una topología del espacio-tiempo .
Los vectores luminosos del espacio de Minkowski son vectores nulos.
Los cuatro bicuaterniones linealmente independientes l = 1 + hi , n = 1 + hj , m = 1 + hk y m ∗ = 1 – hk son vectores nulos y { l , n , m , m ∗ } pueden servir como base para el subespacio utilizado para representar el espacio-tiempo . Los vectores nulos también se utilizan en el enfoque del formalismo de Newman-Penrose para las variedades de espacio-tiempo. [2]
En el módulo Verma de un álgebra de Lie hay vectores nulos.
