En matemáticas , un bioctoniones , u octonión complejo , es un par ( p,q ) donde p y q son biquaterniones .
El producto de dos bioctoniones se define mediante la multiplicación de bicuaterniones y el biconjugado p → p*:
El bioctonión z = ( p,q ) tiene conjugado z * = ( p *, – q ).
Entonces la norma N ( z ) del bioctonión z es zz * = pp * + qq *, que es una forma cuadrática compleja con ocho términos.
El álgebra de bioctoniones a veces se presenta simplemente como la complejización de octoniones reales , pero en álgebra abstracta es el resultado de la construcción de Cayley-Dickson que comienza con el cuerpo de números complejos , la involución trivial y la forma cuadrática z 2 . El álgebra de bioctoniones es un ejemplo de un álgebra de octoniones .
Para cualquier par de bioctoniones y y z ,
mostrando que N es una forma cuadrática que admite composición, y por lo tanto los bioctoniones forman un álgebra de composición .
Guy Roos explicó cómo se utilizan los bioctoniones para presentar los dominios simétricos excepcionales: [1]
La descripción explícita de los dominios excepcionales... involucra matrices 3x3 con entradas en el álgebra de Cayley-Graves O C de octoniones complejos... El espacio de tales matrices que son hermíticas con respecto a la conjugación de Cayley puede ser dotado con la estructura de un álgebra de Jordan usando un producto que generaliza de manera natural el producto simetrizado de matrices cuadradas ordinarias . Esta álgebra es conocida como el álgebra de Albert o álgebra de Jordan excepcional . Es el lugar natural para describir el dominio simétrico excepcional de dimensión 27. El segundo dominio simétrico excepcional (de dimensión compleja 16) vive en el espacio de matrices 2x1 con entradas de octoniones.
Los octoniones complejos se han utilizado para describir las generaciones de quarks y leptones . [2]
