Formalismo de Newman-Penrose

Notación en relatividad general

El formalismo Newman-Penrose ( NP ) ^{[1] [2]} es un conjunto de notación desarrollado por Ezra T. Newman y Roger Penrose para la relatividad general (GR). Su notación es un esfuerzo por tratar la relatividad general en términos de notación de espinor , que introduce formas complejas de las variables habituales utilizadas en GR. El formalismo NP es en sí mismo un caso especial del formalismo tétrada , ^[3] donde los tensores de la teoría se proyectan sobre una base vectorial completa en cada punto del espacio-tiempo. Por lo general, esta base vectorial se elige para reflejar cierta simetría del espacio-tiempo, lo que lleva a expresiones simplificadas para observables físicos. En el caso del formalismo NP, la base vectorial elegida es una tétrada nula: un conjunto de cuatro vectores nulos: dos reales y un par conjugado complejo. Los dos miembros reales a menudo apuntan asintóticamente radialmente hacia adentro y radialmente hacia afuera, y el formalismo se adapta bien al tratamiento de la propagación de la radiación en el espacio-tiempo curvo. A menudo se utilizan los escalares de Weyl , derivados del tensor de Weyl . En particular, se puede demostrar que uno de estos escalares ( en el marco apropiado) codifica la radiación gravitacional saliente de un sistema asintóticamente plano. ^[4] ${\displaystyle \Psi _{4}}$

Newman y Penrose introdujeron las siguientes funciones como cantidades primarias utilizando esta tétrada: ^{[1] [2]}

• Doce coeficientes de espín complejos (en tres grupos) que describen el cambio en la tétrada de un punto a otro: . ${\displaystyle \kappa ,\rho ,\sigma ,\tau \,;\lambda ,\mu ,\nu ,\pi \,;\epsilon ,\gamma ,\beta ,\alpha .}$
• Cinco funciones complejas que codifican los tensores de Weyl en la base de la tétrada: . ${\displaystyle \Psi _{0},\ldots ,\Psi _{4}}$
• Diez funciones que codifican los tensores de Ricci en base tétrada: (real); (complejo). ${\displaystyle \Phi _{00},\Phi _{11},\Phi _{22},\Lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{01},\Phi _{10},\Phi _{02},\Phi _{20},\Phi _{12},\Phi _{21}}$

En muchas situaciones, especialmente en espacios-tiempos algebraicamente especiales o espacios-tiempos en el vacío, el formalismo de Newman-Penrose se simplifica dramáticamente, ya que muchas de las funciones llegan a cero. Esta simplificación permite demostrar varios teoremas más fácilmente que utilizando la forma estándar de las ecuaciones de Einstein.

En este artículo, sólo emplearemos la versión tensorial en lugar de la versión espinorial del formalismo NP, porque la primera es más fácil de entender y más popular en artículos relevantes. Se puede consultar la ref. ^[5] para una formulación unificada de estas dos versiones.

Tétrada nula y convención de signos

El formalismo se desarrolla para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, con una métrica de firma lorentziana. En cada punto se introduce una tétrada (conjunto de cuatro vectores). Los dos primeros vectores, y son solo un par de vectores nulos estándar (reales) tales que . Por ejemplo, podemos pensar en términos de coordenadas esféricas y considerarlo como el vector nulo saliente y como el vector nulo entrante. Luego se construye un vector nulo complejo combinando un par de vectores unitarios ortogonales reales similares a espacios. En el caso de coordenadas esféricas, la elección estándar es ${\displaystyle l^{\mu }}$ ${\displaystyle n^{\mu }}$ ${\displaystyle l^{a}n_{a}=-1}$ ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle n^{a}}$

${\displaystyle m^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {\theta }}+i{\hat {\phi }}\right)^{\mu }\ .}$

El conjugado complejo de este vector forma entonces el cuarto elemento de la tétrada.

Para el formalismo NP se utilizan dos conjuntos de convenciones de firma y normalización: y . El primero es el original que se adoptó cuando se desarrolló el formalismo NP ^{[1] [2]} y ha sido ampliamente utilizado ^{[6] [7]} en la física de agujeros negros, ondas gravitacionales y varias otras áreas de la relatividad general. Sin embargo, es esta última convención la que suele emplearse en el estudio contemporáneo de los agujeros negros desde perspectivas cuasilocales ^[8] (como horizontes aislados ^[9] y horizontes dinámicos ^{[10] [11]} ). En este artículo, utilizaremos una revisión sistemática del formalismo NP (ver también las referencias ^{[12] [13] [14]} ). ${\displaystyle \{(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$

Es importante tener en cuenta que, al cambiar de a , las definiciones de los coeficientes de espín, los escalares de Weyl-NP y Ricci-NP deben cambiar sus signos; De esta forma, las ecuaciones de Einstein-Maxwell pueden dejarse sin cambios. ${\displaystyle \{(+,-,-,-)\,,l^{a}n_{a}=1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=-1\}}$ ${\displaystyle \{(-,+,+,+)\,,l^{a}n_{a}=-1\,,m^{a}{\bar {m}}_{a}=1\}}$ ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

En el formalismo NP, la tétrada nula compleja contiene dos (co)vectores nulos reales y dos (co)vectores nulos complejos . Al ser (co)vectores nulos , la autonormalización de naturalmente desaparece, ${\displaystyle \{\ell \,,n\}}$ ${\displaystyle \{m\,,{\bar {m}}\}}$ ${\displaystyle \{\ell \,,n\}}$

${\displaystyle l_{a}l^{a}=n_{a}n^{a}=m_{a}m^{a}={\bar {m}}_{a}{\bar {m}}^{a}=0}$,

por lo que se adoptan los siguientes dos pares de normalización cruzada

${\displaystyle l_{a}n^{a}=-1=l^{a}n_{a}\,,\quad m_{a}{\bar {m}}^{a}=1=m^{a}{\bar {m}}_{a}\,,}$

mientras que las contracciones entre los dos pares también están desapareciendo,

${\displaystyle l_{a}m^{a}=l_{a}{\bar {m}}^{a}=n_{a}m^{a}=n_{a}{\bar {m}}^{a}=0}$.

Aquí los índices pueden subir y bajar mediante la métrica global que a su vez se puede obtener a través de ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle g_{ab}=-l_{a}n_{b}-n_{a}l_{b}+m_{a}{\bar {m}}_{b}+{\bar {m}}_{a}m_{b}\,,\quad g^{ab}=-l^{a}n^{b}-n^{a}l^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}\,.}$

Cantidades NP y ecuaciones de tétrada

Cuatro operadores derivados covariantes

De acuerdo con la práctica del formalismo de utilizar símbolos distintos no indexados para cada componente de un objeto, el operador derivado covariante se expresa utilizando cuatro símbolos separados ( ) que nombran un operador derivado covariante direccional para cada dirección de tétrada. Dada una combinación lineal de vectores de tétrada, el operador derivada covariante en la dirección es . ${\displaystyle \nabla _{a}}$ ${\displaystyle D,\Delta ,\delta ,{\bar {\delta }}}$ ${\displaystyle X^{a}=\mathrm {a} l^{a}+\mathrm {b} n^{a}+\mathrm {c} m^{a}+\mathrm {d} {\bar {m}}^{a}}$ ${\displaystyle X^{a}}$ ${\displaystyle \nabla _{X}=X^{a}\nabla _{a}=(\mathrm {a} D+\mathrm {b} \Delta +\mathrm {c} \delta +\mathrm {d} {\bar {\delta }})}$

Los operadores se definen como
${\displaystyle D:=\nabla _{\boldsymbol {l}}=l^{a}\nabla _{a}\,,\;\Delta :=\nabla _{\boldsymbol {n}}=n^{a}\nabla _{a}\,,}$
${\displaystyle \delta :=\nabla _{\boldsymbol {m}}=m^{a}\nabla _{a}\,,\;{\bar {\delta }}:=\nabla _{\boldsymbol {\bar {m}}}={\bar {m}}^{a}\nabla _{a}\,,}$

que se reducen a cuando actúan sobre funciones escalares . ${\displaystyle D=l^{a}\partial _{a}\,,\Delta =n^{a}\partial _{a}\,,\delta =m^{a}\partial _{a}\,,{\bar {\delta }}={\bar {m}}^{a}\partial _{a}}$

Doce coeficientes de giro

En el formalismo NP, en lugar de utilizar notaciones de índice como en las tétradas ortogonales, a cada coeficiente de rotación de Ricci en la tétrada nula se le asigna una letra griega minúscula, que constituye los 12 coeficientes de espín complejos (en tres grupos), ${\displaystyle \gamma _{ijk}}$

${\displaystyle \kappa :=-m^{a}Dl_{a}=-m^{a}l^{b}\nabla _{b}l_{a}\,,\quad \tau :=-m^{a}\Delta l_{a}=-m^{a}n^{b}\nabla _{b}l_{a}\,,}$
${\displaystyle \sigma :=-m^{a}\delta l_{a}=-m^{a}m^{b}\nabla _{b}l_{a}\,,\quad \rho :=-m^{a}{\bar {\delta }}l_{a}=-m^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a}\,;}$

${\displaystyle \pi :={\bar {m}}^{a}Dn_{a}={\bar {m}}^{a}l^{b}\nabla _{b}n_{a}\,,\quad \nu :={\bar {m}}^{a}\Delta n_{a}={\bar {m}}^{a}n^{b}\nabla _{b}n_{a}\,,}$
${\displaystyle \mu :={\bar {m}}^{a}\delta n_{a}={\bar {m}}^{a}m^{b}\nabla _{b}n_{a}\,,\quad \lambda :={\bar {m}}^{a}{\bar {\delta }}n_{a}={\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}n_{a}\,;}$

${\displaystyle \varepsilon :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}Dl_{a}-{\bar {m}}^{a}Dm_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}l^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}l^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,,}$
${\displaystyle \gamma :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}\Delta l_{a}-{\bar {m}}^{a}\Delta m_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}n^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}n^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,,}$
${\displaystyle \beta :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}\delta l_{a}-{\bar {m}}^{a}\delta m_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}m^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}m^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,,}$
${\displaystyle \alpha :=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}{\bar {\delta }}l_{a}-{\bar {m}}^{a}{\bar {\delta }}m_{a}{\big )}=-{\frac {1}{2}}{\big (}n^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}l_{a}-{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}\nabla _{b}m_{a}{\big )}\,.}$

Los coeficientes de espín son las cantidades principales en el formalismo NP, con las cuales todas las demás cantidades NP (como se definen a continuación) podrían calcularse indirectamente utilizando las ecuaciones de campo NP. Por lo tanto, el formalismo NP a veces también se denomina formalismo de coeficiente de espín .

Ecuaciones de transporte: derivadas covariantes de vectores tétrada

Las dieciséis derivadas covariantes direccionales de los vectores de tétrada a veces se denominan ecuaciones de transporte/propagación, ^{[ cita necesaria ]} quizás porque las derivadas son cero cuando el vector de tétrada se propaga o transporta en paralelo en la dirección del operador de derivada.

O'Donnell proporciona estos resultados en esta notación exacta: ^{[5] : 57–58(3.220)}
${\displaystyle Dl^{a}=(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})l^{a}-{\bar {\kappa }}m^{a}-\kappa {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta l^{a}=(\gamma +{\bar {\gamma }})l^{a}-{\bar {\tau }}m^{a}-\tau {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta l^{a}=({\bar {\alpha }}+\beta )l^{a}-{\bar {\rho }}m^{a}-\sigma {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}l^{a}=(\alpha +{\bar {\beta }})l^{a}-{\bar {\sigma }}m^{a}-\rho {\bar {m}}^{a}\,;}$

${\displaystyle Dn^{a}=\pi m^{a}+{\bar {\pi }}{\bar {m}}^{a}-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})n^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta n^{a}=\nu m^{a}+{\bar {\nu }}{\bar {m}}^{a}-(\gamma +{\bar {\gamma }})n^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta n^{a}=\mu m^{a}+{\bar {\lambda }}{\bar {m}}^{a}-({\bar {\alpha }}+\beta )n^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}n^{a}=\lambda m^{a}+{\bar {\mu }}{\bar {m}}^{a}-(\alpha +{\bar {\beta }})n^{a}\,;}$

${\displaystyle Dm^{a}=(\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})m^{a}+{\bar {\pi }}l^{a}-\kappa n^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta m^{a}=(\gamma -{\bar {\gamma }})m^{a}+{\bar {\nu }}l^{a}-\tau n^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta m^{a}=(\beta -{\bar {\alpha }})m^{a}+{\bar {\lambda }}l^{a}-\sigma n^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}m^{a}=(\alpha -{\bar {\beta }})m^{a}+{\bar {\mu }}l^{a}-\rho n^{a}\,;}$

${\displaystyle D{\bar {m}}^{a}=({\bar {\varepsilon }}-\varepsilon ){\bar {m}}^{a}+\pi l^{a}-{\bar {\kappa }}n^{a}\,,}$
${\displaystyle \Delta {\bar {m}}^{a}=({\bar {\gamma }}-\gamma ){\bar {m}}^{a}+\nu l^{a}-{\bar {\tau }}n^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta {\bar {m}}^{a}=({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {m}}^{a}+\mu l^{a}-{\bar {\rho }}n^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}{\bar {m}}^{a}=({\bar {\beta }}-\alpha ){\bar {m}}^{a}+\lambda l^{a}-{\bar {\sigma }}n^{a}\,.}$

Interpretación de desde y ${\displaystyle \kappa ,\varepsilon ,\nu ,\gamma }$ ${\displaystyle Dl^{a}}$ ${\displaystyle \Delta n^{a}}$

Las dos ecuaciones para la derivada covariante de un vector tétrada nulo real en su propia dirección indican si el vector es tangente a una geodésica y, de ser así, si la geodésica tiene un parámetro afín.

Un vector tangente nulo es tangente a una geodésica nula con parámetros afines si , es decir, si el vector no cambia mediante propagación o transporte paralelo en su propia dirección. ^{[15] : 41(3.3.1)} ${\displaystyle T^{a}}$ ${\displaystyle T^{b}\nabla _{b}T^{a}=0}$

${\displaystyle Dl^{a}=(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})l^{a}-{\bar {\kappa }}m^{a}-\kappa {\bar {m}}^{a}}$muestra que es tangente a una geodésica si y sólo si , y que es tangente a una geodésica con parámetros afines si además . De manera similar, muestra que es geodésico si y solo si , y tiene parametrización afín cuando . ${\displaystyle l^{a}}$ ${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle (\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})=0}$ ${\displaystyle \Delta n^{a}=\nu m^{a}+{\bar {\nu }}{\bar {m}}^{a}-(\gamma +{\bar {\gamma }})n^{a}}$ ${\displaystyle n^{a}}$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle (\gamma +{\bar {\gamma }})=0}$

(Los vectores complejos de tétrada nula y tendrían que separarse en los vectores de base de tipo espacial y antes de preguntar si alguno o ambos son tangentes a las geodésicas de tipo espacial). ${\displaystyle m^{a}=x^{a}+iy^{a}}$ ${\displaystyle {\bar {m}}^{a}=x^{a}-iy^{a}}$ ${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle y^{a}}$

Conmutadores

La compatibilidad métrica o la ausencia de torsión de la derivada covariante se refunde en los conmutadores de las derivadas direccionales ,

${\displaystyle \Delta D-D\Delta =(\gamma +{\bar {\gamma }})D+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\Delta -({\bar {\tau }}+\pi )\delta -(\tau +{\bar {\pi }}){\bar {\delta }}\,,}$
${\displaystyle \delta D-D\delta =({\bar {\alpha }}+\beta -{\bar {\pi }})D+\kappa \Delta -({\bar {\rho }}+\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\delta -\sigma {\bar {\delta }}\,,}$
${\displaystyle \delta \Delta -\Delta \delta =-{\bar {\nu }}D+(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\Delta +(\mu -\gamma +{\bar {\gamma }})\delta +{\bar {\lambda }}{\bar {\delta }}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}\delta -\delta {\bar {\delta }}=({\bar {\mu }}-\mu )D+({\bar {\rho }}-\rho )\Delta +(\alpha -{\bar {\beta }})\delta -({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {\delta }}\,,}$

lo que implica que

${\displaystyle \Delta l^{a}-Dn^{a}=(\gamma +{\bar {\gamma }})l^{a}+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})n^{a}-({\bar {\tau }}+\pi )m^{a}-(\tau +{\bar {\pi }}){\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta l^{a}-Dm^{a}=({\bar {\alpha }}+\beta -{\bar {\pi }})l^{a}+\kappa n^{a}-({\bar {\rho }}+\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})m^{a}-\sigma {\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle \delta n^{a}-\Delta m^{a}=-{\bar {\nu }}l^{a}+(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )n^{a}+(\mu -\gamma +{\bar {\gamma }})m^{a}+{\bar {\lambda }}{\bar {m}}^{a}\,,}$
${\displaystyle {\bar {\delta }}m^{a}-\delta {\bar {m}}^{a}=({\bar {\mu }}-\mu )l^{a}+({\bar {\rho }}-\rho )n^{a}+(\alpha -{\bar {\beta }})m^{a}-({\bar {\alpha }}-\beta ){\bar {m}}^{a}\,.}$

Nota: (i) Las ecuaciones anteriores pueden considerarse implicaciones de los conmutadores o combinaciones de las ecuaciones de transporte; (ii) En estas ecuaciones implícitas, los vectores pueden reemplazarse por los covectores y las ecuaciones aún se mantienen. ${\displaystyle \{l^{a},n^{a},m^{a},{\bar {m}}^{a}\}}$

Escalares de Weyl-NP y Ricci-NP

Los 10 componentes independientes del tensor de Weyl se pueden codificar en 5 escalares complejos de Weyl-NP ,

${\displaystyle \Psi _{0}:=C_{abcd}l^{a}m^{b}l^{c}m^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{1}:=C_{abcd}l^{a}n^{b}l^{c}m^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{2}:=C_{abcd}l^{a}m^{b}{\bar {m}}^{c}n^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{3}:=C_{abcd}l^{a}n^{b}{\bar {m}}^{c}n^{d}\,,}$ ${\displaystyle \Psi _{4}:=C_{abcd}n^{a}{\bar {m}}^{b}n^{c}{\bar {m}}^{d}\,.}$

Los 10 componentes independientes del tensor de Ricci están codificados en 4 escalares reales , , y 3 escalares complejos (con sus conjugados complejos), ${\displaystyle \{\Phi _{00}}$ ${\displaystyle \Phi _{11}}$ ${\displaystyle \Phi _{22}}$ ${\displaystyle \Lambda \}}$ ${\displaystyle \{\Phi _{10},\Phi _{20},\Phi _{21}\}}$

${\displaystyle \Phi _{00}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}l^{b}\,,\quad \Phi _{11}:={\frac {1}{4}}R_{ab}(\,l^{a}n^{b}+m^{a}{\bar {m}}^{b})\,,\quad \Phi _{22}:={\frac {1}{2}}R_{ab}n^{a}n^{b}\,,\quad \Lambda :={\frac {R}{24}}\,;}$

${\displaystyle \Phi _{01}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \;\Phi _{10}:={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi _{01}}}\,,}$
${\displaystyle \Phi _{02}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}m^{b}\,,\quad \Phi _{20}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}={\overline {\Phi _{02}}}\,,}$
${\displaystyle \Phi _{12}:={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}n^{b}\,,\quad \;\Phi _{21}:={\frac {1}{2}}R_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}={\overline {\Phi _{12}}}\,.}$

En estas definiciones, podría sustituirse por su parte libre de trazas ^[13] o por el tensor de Einstein debido a las relaciones de normalización. Además, se reduce a electrovacío ( ) . ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle \displaystyle Q_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}g_{ab}R}$ ${\displaystyle \displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R}$ ${\displaystyle \Phi _{11}}$ ${\displaystyle \Phi _{11}={\frac {1}{2}}R_{ab}l^{a}n^{b}={\frac {1}{2}}R_{ab}m^{a}{\bar {m}}^{b}}$ ${\displaystyle \Lambda =0}$

Ecuaciones de Einstein-Maxwell-NP

Ecuaciones de campo NP

En una tétrada nula compleja, las identidades de Ricci dan lugar a las siguientes ecuaciones de campo NP que conectan los coeficientes de espín, los escalares Weyl-NP y Ricci-NP (recuerde que en una tétrada ortogonal, los coeficientes de rotación de Ricci respetarían la primera y segunda ecuaciones de estructura de Cartan ), ^{[ 5] [13]}

Estas ecuaciones en varias notaciones se pueden encontrar en varios textos. ^{[3] : 46–47(310(a)-(r))  [13] : 671–672(E.12)} La notación en Frolov y Novikov ^[13] es idéntica.
${\displaystyle D\rho -{\bar {\delta }}\kappa =(\rho ^{2}+\sigma {\bar {\sigma }})+(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\rho -{\bar {\kappa }}\tau -\kappa (3\alpha +{\bar {\beta }}-\pi )+\Phi _{00}\,,}$
${\displaystyle D\sigma -\delta \kappa =(\rho +{\bar {\rho }})\sigma +(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\sigma -(\tau -{\bar {\pi }}+{\bar {\alpha }}+3\beta )\kappa +\Psi _{0}\,,}$
${\displaystyle D\tau -\Delta \kappa =(\tau +{\bar {\pi }})\rho +({\bar {\tau }}+\pi )\sigma +(\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\tau -(3\gamma +{\bar {\gamma }})\kappa +\Psi _{1}+\Phi _{01}\,,}$
${\displaystyle D\alpha -{\bar {\delta }}\varepsilon =(\rho +{\bar {\varepsilon }}-2\varepsilon )\alpha +\beta {\bar {\sigma }}-{\bar {\beta }}\varepsilon -\kappa \lambda -{\bar {\kappa }}\gamma +(\varepsilon +\rho )\pi +\Phi _{10}\,,}$
${\displaystyle D\beta -\delta \varepsilon =(\alpha +\pi )\sigma +({\bar {\rho }}-{\bar {\varepsilon }})\beta -(\mu +\gamma )\kappa -({\bar {\alpha }}-{\bar {\pi }})\varepsilon +\Psi _{1}\,,}$
${\displaystyle D\gamma -\Delta \varepsilon =(\tau +{\bar {\pi }})\alpha +({\bar {\tau }}+\pi )\beta -(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\gamma -(\gamma +{\bar {\gamma }})\varepsilon +\tau \pi -\nu \kappa +\Psi _{2}+\Phi _{11}-\Lambda \,,}$
${\displaystyle D\lambda -{\bar {\delta }}\pi =(\rho \lambda +{\bar {\sigma }}\mu )+\pi ^{2}+(\alpha -{\bar {\beta }})\pi -\nu {\bar {\kappa }}-(3\varepsilon -{\bar {\varepsilon }})\lambda +\Phi _{20}\,,}$
${\displaystyle D\mu -\delta \pi =({\bar {\rho }}\mu +\sigma \lambda )+\pi {\bar {\pi }}-(\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\mu -({\bar {\alpha }}-\beta )\pi -\nu \kappa +\Psi _{2}+2\Lambda \,,}$
${\displaystyle D\nu -\Delta \pi =(\pi +{\bar {\tau }})\mu +({\bar {\pi }}+\tau )\lambda +(\gamma -{\bar {\gamma }})\pi -(3\varepsilon +{\bar {\varepsilon }})\nu +\Psi _{3}+\Phi _{21}\,,}$
${\displaystyle \Delta \lambda -{\bar {\delta }}\nu =-(\mu +{\bar {\mu }})\lambda -(3\gamma -{\bar {\gamma }})\lambda +(3\alpha +{\bar {\beta }}+\pi -{\bar {\tau }})\nu -\Psi _{4}\,,}$
${\displaystyle \delta \rho -{\bar {\delta }}\sigma =\rho ({\bar {\alpha }}+\beta )-\sigma (3\alpha -{\bar {\beta }})+(\rho -{\bar {\rho }})\tau +(\mu -{\bar {\mu }})\kappa -\Psi _{1}+\Phi _{01}\,,}$
${\displaystyle \delta \alpha -{\bar {\delta }}\beta =(\mu \rho -\lambda \sigma )+\alpha {\bar {\alpha }}+\beta {\bar {\beta }}-2\alpha \beta +\gamma (\rho -{\bar {\rho }})+\varepsilon (\mu -{\bar {\mu }})-\Psi _{2}+\Phi _{11}+\Lambda \,,}$
${\displaystyle \delta \lambda -{\bar {\delta }}\mu =(\rho -{\bar {\rho }})\nu +(\mu -{\bar {\mu }})\pi +(\alpha +{\bar {\beta }})\mu +({\bar {\alpha }}-3\beta )\lambda -\Psi _{3}+\Phi _{21}\,,}$
${\displaystyle \delta \nu -\Delta \mu =(\mu ^{2}+\lambda {\bar {\lambda }})+(\gamma +{\bar {\gamma }})\mu -{\bar {\nu }}\pi +(\tau -3\beta -{\bar {\alpha }})\nu +\Phi _{22}\,,}$
${\displaystyle \delta \gamma -\Delta \beta =(\tau -{\bar {\alpha }}-\beta )\gamma +\mu \tau -\sigma \nu -\varepsilon {\bar {\nu }}-(\gamma -{\bar {\gamma }}-\mu )\beta +\alpha {\bar {\lambda }}+\Phi _{12}\,,}$
${\displaystyle \delta \tau -\Delta \sigma =(\mu \sigma +{\bar {\lambda }}\rho )+(\tau +\beta -{\bar {\alpha }})\tau -(3\gamma -{\bar {\gamma }})\sigma -\kappa {\bar {\nu }}+\Phi _{02}\,,}$
${\displaystyle \Delta \rho -{\bar {\delta }}\tau =-(\rho {\bar {\mu }}+\sigma \lambda )+({\bar {\beta }}-\alpha -{\bar {\tau }})\tau +(\gamma +{\bar {\gamma }})\rho +\nu \kappa -\Psi _{2}-2\Lambda \,,}$
${\displaystyle \Delta \alpha -{\bar {\delta }}\gamma =(\rho +\varepsilon )\nu -(\tau +\beta )\lambda +({\bar {\gamma }}-{\bar {\mu }})\alpha +({\bar {\beta }}-{\bar {\tau }})\gamma -\Psi _{3}\,.}$

Además, los escalares de Weyl-NP y Ricci-NP se pueden calcular indirectamente a partir de las ecuaciones de campo de NP anteriores después de obtener los coeficientes de espín en lugar de utilizar directamente sus definiciones. ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

Escalares de Maxwell-NP, ecuaciones de Maxwell en el formalismo NP

Los seis componentes independientes de la forma 2 de Faraday-Maxwell (es decir, el tensor de intensidad del campo electromagnético ) se pueden codificar en tres escalares complejos de Maxwell-NP ^[12] ${\displaystyle F_{ab}}$

${\displaystyle \phi _{0}:=F_{ab}l^{a}m^{b}\,,\quad \phi _{1}:={\frac {1}{2}}F_{ab}{\big (}l^{a}n^{b}+{\bar {m}}^{a}m^{b}{\big )}\,,\quad \phi _{2}:=F_{ab}{\bar {m}}^{a}n^{b}\,,}$

y por lo tanto las ocho ecuaciones reales de Maxwell y (como ) se pueden transformar en cuatro ecuaciones complejas, ${\displaystyle d\mathbf {F} =0}$ ${\displaystyle d^{\star }\mathbf {F} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =dA}$

${\displaystyle D\phi _{1}-{\bar {\delta }}\phi _{0}=(\pi -2\alpha )\phi _{0}+2\rho \phi _{1}-\kappa \phi _{2}\,,}$
${\displaystyle D\phi _{2}-{\bar {\delta }}\phi _{1}=-\lambda \phi _{0}+2\pi \phi _{1}+(\rho -2\varepsilon )\phi _{2}\,,}$
${\displaystyle \Delta \phi _{0}-\delta \phi _{1}=(2\gamma -\mu )\phi _{0}-2\tau \phi _{1}+\sigma \phi _{2}\,,}$
${\displaystyle \Delta \phi _{1}-\delta \phi _{2}=\nu \phi _{0}-2\mu \phi _{1}+(2\beta -\tau )\phi _{2}\,,}$

con los escalares de Ricci-NP relacionados con los escalares de Maxwell por ^[12] ${\displaystyle \Phi _{ij}}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=\,2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}\,,\quad (i,j\in \{0,1,2\})\,.}$

Vale la pena señalar que la ecuación suplementaria sólo es válida para campos electromagnéticos; por ejemplo, en el caso de los campos Yang-Mills habrá dónde están los escalares Yang-Mills-NP. ^[dieciséis] ${\displaystyle \Phi _{ij}=2\,\phi _{i}\,{\overline {\phi _{j}}}}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}=\,{\text{Tr}}\,(\digamma _{i}\,{\bar {\digamma }}_{j})}$ ${\displaystyle \digamma _{i}(i\in \{0,1,2\})}$

En resumen, las ecuaciones de transporte antes mencionadas, las ecuaciones de campo NP y las ecuaciones de Maxwell-NP juntas constituyen las ecuaciones de Einstein-Maxwell en el formalismo de Newman-Penrose.

Aplicaciones del formalismo NP al campo de radiación gravitacional.

El escalar de Weyl fue definido por Newman y Penrose como ${\displaystyle \Psi _{4}}$

${\displaystyle \Psi _{4}=-C_{\alpha \beta \gamma \delta }n^{\alpha }{\bar {m}}^{\beta }n^{\gamma }{\bar {m}}^{\delta }}$

(tenga en cuenta, sin embargo, que el signo general es arbitrario y que Newman & Penrose trabajaron con una firma métrica "temporal" de ). En el espacio vacío, las ecuaciones de campo de Einstein se reducen a . De la definición del tensor de Weyl, vemos que esto significa que es igual al tensor de Riemann ,. Podemos hacer la elección estándar para la tétrada en el infinito: ${\displaystyle (+,-,-,-)}$ ${\displaystyle R_{\alpha \beta }=0}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta \gamma \delta }=R_{\alpha \beta \gamma \delta }}$

${\displaystyle l^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {t}}+{\hat {r}}\right)\ ,}$

${\displaystyle n^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {t}}-{\hat {r}}\right)\ ,}$

${\displaystyle m^{\mu }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {\theta }}+i{\hat {\phi }}\right)\ .}$

En calibre transversal sin rastro, un cálculo simple muestra que las ondas gravitacionales linealizadas están relacionadas con los componentes del tensor de Riemann como

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\left({\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\theta }}}-{\ddot {h}}_{{\hat {\phi }}{\hat {\phi }}}\right)=-R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}{\hat {\theta }}}=-R_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}=-R_{{\hat {r}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=R_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}{\hat {\phi }}}=R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=R_{{\hat {r}}{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}\ ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}{\hat {\phi }}}=-R_{{\hat {r}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}=R_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}=R_{{\hat {r}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}{\hat {\phi }}}\ ,}$

asumiendo propagación en la dirección. Combinando estos y usando la definición anterior, podemos escribir ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle \Psi _{4}}$

${\displaystyle \Psi _{4}={\frac {1}{2}}\left({\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\theta }}}-{\ddot {h}}_{{\hat {\phi }}{\hat {\phi }}}\right)+i{\ddot {h}}_{{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\ddot {h}}_{+}+i{\ddot {h}}_{\times }\ .}$

Lejos de una fuente, en un espacio casi plano, los campos codifican todo lo relacionado con la radiación gravitacional que se propaga en una dirección determinada. Así, vemos que codifica en un único campo complejo todo lo relacionado con las ondas gravitacionales (salientes). ${\displaystyle h_{+}}$ ${\displaystyle h_{\times }}$ ${\displaystyle \Psi _{4}}$

Radiación de una fuente finita

Usando el formalismo de generación de ondas resumido por Thorne, ^[17] podemos escribir el campo de radiación de manera bastante compacta en términos de armónicos esféricos ponderados por espín , multipolar de masa, multipolar de corriente :

${\displaystyle \Psi _{4}(t,r,\theta ,\phi )=-{\frac {1}{r{\sqrt {2}}}}\sum _{l=2}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left[{}^{(l+2)}I^{lm}(t-r)-i\ {}^{(l+2)}S^{lm}(t-r)\right]{}_{-2}Y_{lm}(\theta ,\phi )\ .}$

Aquí, los superíndices con prefijo indican derivadas del tiempo. Es decir, definimos

${\displaystyle {}^{(l)}G(t)=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{l}G(t)\ .}$

Los componentes y son los multipolos de masa y corriente, respectivamente. es el armónico esférico del peso de giro -2. ${\displaystyle I^{lm}}$ ${\displaystyle S^{lm}}$ ${\displaystyle {}_{-2}Y_{lm}}$

Ver también

• Coordenadas del cono de luz
• Formalismo de BPH
• Formalismo tétrada
• Teorema de Goldberg-Sachs

Referencias

1. Ezra T. Newman y Roger Penrose (1962). "Una aproximación a la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de giro". Revista de Física Matemática . 3 (3): 566–768. Código bibliográfico : 1962JMP......3..566N. doi : 10.1063/1.1724257. El artículo original de Newman y Penrose, que introduce el formalismo y lo utiliza para derivar resultados de ejemplo.
2. Ezra T Newman, Roger Penrose. Fe de erratas: una aproximación a la radiación gravitacional mediante un método de coeficientes de giro . Revista de Física Matemática, 1963, 4 (7): 998.
3. Chandrasekhar, S. (1998). La teoría matemática de los agujeros negros (Oxford Classics Series ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 40.ISBN​ 0-19850370-9. Consultado el 31 de mayo de 2019 . El formalismo de Newman-Penrose es un formalismo de tétrada con una elección especial de los vectores base.
4. Saúl Teukolsky (1973). "Perturbaciones de un agujero negro en rotación". Revista Astrofísica . 185 : 635–647. Código bibliográfico : 1973ApJ...185..635T. doi :10.1086/152444.
5. Peter O'Donnell. Introducción a los 2 espinores en la relatividad general . Singapur: World Scientific, 2003.
6. Subrahmanyan Chandrasekhar. La teoría matemática de los agujeros negros . Chicago: University of Chikago Press, 1983.
7. JB Griffiths. Ondas planas en colisión en la relatividad general . Oxford: Oxford University Press, 1991.
8. Cabina de Iván. Límites de los agujeros negros . Revista Canadiense de Física, 2005, 83 (11): 1073-1099. [arxiv.org/abs/gr-qc/0508107 arXiv:gr-qc/0508107v2]
9. Abhay Ashtekar, Christopher Beetle, Jerzy Lewandowski. Geometría de horizontes genéricos aislados . Gravedad clásica y cuántica, 2002, 19 (6): 1195-1225. arXiv:gr-qc/0111067v2
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11. Abhay Ashtekar, Badri Krishnan. Horizontes dinámicos y sus propiedades . Revisión física D, 2003, 68 (10): 104030. [arxiv.org/abs/gr-qc/0308033 arXiv:gr-qc/0308033v4]
12. Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-Tiempos Exactos en la Relatividad General de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Capítulo 2.
13. Valeri P Frolov, Igor D Novikov. Física de agujeros negros: conceptos básicos y nuevos desarrollos . Berlín: Springer, 1998. Apéndice E.
14. Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. Horizontes aislados: evolución hamiltoniana y primera ley . Revisión física D, 2000, 62 (10): 104025. Apéndice B. gr-qc/0005083
15. Robert M. Wald (1984). Relatividad general . ISBN 9780226870335.
16. ET Newman, KP Tod. Espaciotiempos asintóticamente planos , Apéndice A.2. En A Held (Editor): Relatividad general y gravitación: cien años después del nacimiento de Albert Einstein . Vol(2), página 27. Nueva York y Londres: Plenum Press, 1980.
17. Thorne, Kip S. (abril de 1980). "Expansiones multipolares de radiación gravitacional" (PDF) . Mod. Rev. Física . 52 (2): 299–339. Código Bib : 1980RvMP...52..299T. doi :10.1103/RevModPhys.52.299.Un amplio resumen del formalismo matemático utilizado en la literatura sobre radiación gravitacional.

• Wald, Robert (1984). Relatividad general . Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 0-226-87033-2.Wald trata la versión más sucinta del formalismo de Newman-Penrose en términos de una notación de espinor más moderna.
• SW Hawking y GFR Ellis (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-226-87033-2.Hawking y Ellis utilizan el formalismo en su discusión sobre el estado final de una estrella en colapso.

enlaces externos

• Formalismo de Newman-Penrose en Scholarpedia