Homomorfismo

Mapa que preserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo

En álgebra , un homomorfismo es un mapa que preserva la estructura entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (como dos grupos , dos anillos o dos espacios vectoriales ). La palabra homomorfismo proviene del idioma griego antiguo : ὁμός ( homos ) que significa "igual" y μορφή ( morphe ) que significa "forma" o "figura". Sin embargo, la palabra aparentemente se introdujo en las matemáticas debido a una (mala) traducción del alemán ähnlich que significa "similar" a ὁμός que significa "igual". ^[1] El término "homomorfismo" apareció ya en 1892, cuando se atribuyó al matemático alemán Felix Klein (1849-1925). ^[2]

Los homomorfismos de espacios vectoriales también se denominan aplicaciones lineales , y su estudio es objeto del álgebra lineal .

El concepto de homomorfismo se ha generalizado, bajo el nombre de morfismo , a muchas otras estructuras que, o bien no tienen un conjunto subyacente, o no son algebraicas. Esta generalización es el punto de partida de la teoría de categorías .

Un homomorfismo también puede ser un isomorfismo , un endomorfismo , un automorfismo , etc. (ver más abajo). Cada uno de ellos puede definirse de una manera que pueda generalizarse a cualquier clase de morfismos.

Definición

Un homomorfismo es una aplicación entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo (o sea del mismo nombre), que preserva las operaciones de las estructuras. Esto significa un mapa entre dos conjuntos , equipado con la misma estructura tal que, si es una operación de la estructura (se supone aquí, para simplificar, que es una operación binaria ), entonces ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)}$

para cada par de elementos de . ^{[nota 1]} Se dice muchas veces que preserva el funcionamiento o es compatible con el funcionamiento. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

Formalmente, un mapa conserva una operación de aridad , definida en ambos y si ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle f(\mu _{A}(a_{1},\ldots ,a_{k}))=\mu _{B}(f(a_{1}),\ldots ,f(a_{k})),}$

para todos los elementos en . ${\displaystyle a_{1},...,a_{k}}$ ${\displaystyle A}$

Las operaciones que deben preservarse mediante un homomorfismo incluyen las operaciones 0-arias , es decir, las constantes. En particular, cuando el tipo de estructura requiere un elemento de identidad , el elemento de identidad de la primera estructura debe correlacionarse con el elemento de identidad correspondiente de la segunda estructura.

Por ejemplo:

• Un homomorfismo de semigrupo es un mapa entre semigrupos que preserva la operación de semigrupo.
• Un homomorfismo monoide es un mapa entre monoides que preserva la operación monoide y asigna el elemento de identidad del primer monoide al del segundo monoide (el elemento de identidad es una operación 0-aria ).
• Un homomorfismo de grupo es un mapa entre grupos que preserva la operación del grupo. Esto implica que el homomorfismo de grupo asigna el elemento de identidad del primer grupo al elemento de identidad del segundo grupo, y asigna el inverso de un elemento del primer grupo al inverso de la imagen de este elemento. Por tanto, un homomorfismo de semigrupo entre grupos es necesariamente un homomorfismo de grupo.
• Un homomorfismo de anillos es un mapa entre anillos que preserva la suma de anillos, la multiplicación de anillos y la identidad multiplicativa . La preservación de la identidad multiplicativa depende de la definición de anillo en uso. Si no se conserva la identidad multiplicativa, se tiene un homomorfismo rng .
• Un mapa lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales ; es decir, un homomorfismo de grupo entre espacios vectoriales que preserva la estructura de grupo abeliano y la multiplicación escalar .
• Un homomorfismo de módulo , también llamado mapa lineal entre módulos , se define de manera similar.
• Un homomorfismo de álgebra es un mapa que preserva las operaciones de álgebra .

Una estructura algebraica puede tener más de una operación y se requiere un homomorfismo para preservar cada operación. Por tanto, un mapa que conserva sólo algunas de las operaciones no es un homomorfismo de la estructura, sino sólo un homomorfismo de la subestructura obtenido al considerar sólo las operaciones conservadas. Por ejemplo, un mapa entre monoides que conserva la operación monoide y no el elemento identidad, no es un homomorfismo monoide, sino solo un homomorfismo de semigrupo.

No es necesario que la notación de las operaciones sea la misma en el origen y el destino de un homomorfismo. Por ejemplo, los números reales forman un grupo para la suma y los números reales positivos forman un grupo para la multiplicación. La función exponencial

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

satisface

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y},}$

y por tanto es un homomorfismo entre estos dos grupos. Es incluso un isomorfismo (ver más abajo), ya que su función inversa , el logaritmo natural , satisface

${\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y),}$

y también es un homomorfismo de grupo.

Ejemplos

Homomorfismo monoide del monoide ( N , +, 0) al monoide ( N , ×, 1) , definido por . Es inyectivo , pero no sobreyectivo . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=2^{x}}$

Los números reales son un anillo y tienen tanto suma como multiplicación. El conjunto de todas las matrices de 2 × 2 también es un anillo, en suma y multiplicación de matrices . Si definimos una función entre estos anillos de la siguiente manera:

${\displaystyle f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}}$

donde r es un número real, entonces f es un homomorfismo de anillos, ya que f conserva ambas sumas:

${\displaystyle f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s)}$

y multiplicación:

${\displaystyle f(rs)={\begin{pmatrix}rs&0\\0&rs\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\,f(s).}$

Para otro ejemplo, los números complejos distintos de cero forman un grupo bajo la operación de multiplicación, al igual que los números reales distintos de cero. (El cero debe excluirse de ambos grupos ya que no tiene un inverso multiplicativo , que se requiere para los elementos de un grupo). Defina una función desde los números complejos distintos de cero hasta los números reales distintos de cero mediante ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)=|z|.}$

Es decir, es el valor absoluto (o módulo) del número complejo . Entonces es un homomorfismo de grupos, ya que conserva la multiplicación: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z_{1}z_{2})=|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|=f(z_{1})f(z_{2}).}$

Tenga en cuenta que f no se puede extender a un homomorfismo de anillos (desde los números complejos hasta los números reales), ya que no conserva la suma:

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.}$

Como otro ejemplo, el diagrama muestra un homomorfismo monoide de monoide a monoide . Debido a los diferentes nombres de las operaciones correspondientes, las propiedades de conservación de la estructura satisfechas por ascienden a y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\times ,1)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)\times f(y)}$ ${\displaystyle f(0)=1}$

Un álgebra de composición sobre un campo tiene una forma cuadrática , llamada norma , que es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de al grupo multiplicativo de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N:A\to F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$

Homomorfismos especiales

Varios tipos de homomorfismos tienen un nombre específico, que también se define para los morfismos generales .

isomorfismo

Un isomorfismo entre estructuras algebraicas del mismo tipo se define comúnmente como homomorfismo biyectivo . ^{[3] : 134  [4] : ​​28}

En el contexto más general de la teoría de categorías , un isomorfismo se define como un morfismo que tiene un inverso que también es un morfismo. En el caso específico de las estructuras algebraicas, las dos definiciones son equivalentes, aunque pueden diferir para las estructuras no algebraicas, que tienen un conjunto subyacente.

Más precisamente, si

${\displaystyle f:A\to B}$

es un (homo)morfismo, tiene un inverso si existe un homomorfismo

${\displaystyle g:B\to A}$

tal que

${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}\qquad {\text{and}}\qquad g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Si y tienen conjuntos subyacentes y tienen una inversa , entonces es biyectivo. De hecho, es inyectivo , como implica , y es sobreyectivo , ya que, para cualquier en , se tiene , y es la imagen de un elemento de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y)}$ ${\displaystyle x=g(f(x))=g(f(y))=y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x=f(g(x))}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Por el contrario, si hay un homomorfismo biyectivo entre estructuras algebraicas, sea el mapa tal que es el elemento único de tal que . Se ha hecho y sólo queda demostrar que g es un homomorfismo. Si es una operación binaria de la estructura, para cada par de elementos de , se tiene ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to A}$ ${\displaystyle g(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}{\text{ and }}g\circ f=\operatorname {Id} _{A},}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle g(x*_{B}y)=g(f(g(x))*_{B}f(g(y)))=g(f(g(x)*_{A}g(y)))=g(x)*_{A}g(y),}$

y por tanto es compatible con Como la prueba es similar para cualquier aridad , esto demuestra que es un homomorfismo. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle *.}$ ${\displaystyle g}$

Esta prueba no funciona para estructuras no algebraicas. Por ejemplo, para espacios topológicos , un morfismo es un mapa continuo , y el inverso de un mapa biyectivo continuo no es necesariamente continuo. Un isomorfismo de espacios topológicos, llamado homeomorfismo o aplicación bicontinua , es por tanto una aplicación biyectiva continua, cuya inversa también es continua.

endomorfismo

Un endomorfismo es un homomorfismo cuyo dominio es igual al codominio o, más generalmente, un morfismo cuya fuente es igual a su objetivo. ^{[3] : 135}

Los endomorfismos de una estructura algebraica, o de un objeto de una categoría , forman un monoide bajo composición.

Los endomorfismos de un espacio vectorial o de un módulo forman un anillo . En el caso de un espacio vectorial o un módulo libre de dimensión finita , la elección de una base induce un isomorfismo anular entre el anillo de endomorfismos y el anillo de matrices cuadradas de la misma dimensión.

Automorfismo

Un automorfismo es un endomorfismo que también es un isomorfismo. ^{[3] : 135}

Los automorfismos de una estructura algebraica o de un objeto de una categoría forman un grupo bajo composición, que se denomina grupo de automorfismos de la estructura.

Muchos grupos que han recibido un nombre son grupos de automorfismos de alguna estructura algebraica. Por ejemplo, el grupo lineal general es el grupo de automorfismos de un espacio vectorial de dimensión sobre un campo . ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

Los grupos de campos de automorfismo fueron introducidos por Évariste Galois para estudiar las raíces de polinomios y son la base de la teoría de Galois .

monomorfismo

Para las estructuras algebraicas, los monomorfismos se definen comúnmente como homomorfismos inyectivos . ^{[3] : 134  [4] : ​​29}

En el contexto más general de la teoría de categorías , un monomorfismo se define como un morfismo que se deja cancelable . ^[5] Esto significa que un (homo)morfismo es un monomorfismo si, para cualquier par , de morfismos de cualquier otro objeto a , entonces implica . ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ ${\displaystyle g=h}$

Estas dos definiciones de monomorfismo son equivalentes para todas las estructuras algebraicas comunes. Más precisamente, son equivalentes para campos , para los cuales todo homomorfismo es un monomorfismo, y para variedades de álgebra universal , es decir estructuras algebraicas para las cuales operaciones y axiomas (identidades) se definen sin restricción alguna (los campos no forman una variedad, ya que el inverso multiplicativo se define como una operación unaria o como una propiedad de la multiplicación, que, en ambos casos, se definen sólo para elementos distintos de cero).

En particular, las dos definiciones de monomorfismo son equivalentes para conjuntos , magmas , semigrupos , monoides , grupos , anillos , campos , espacios vectoriales y módulos .

Un monomorfismo dividido es un homomorfismo que tiene un inverso izquierdo y, por lo tanto, es en sí mismo un inverso derecho de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo es un monomorfismo dividido si existe un homomorfismo tal que Un monomorfismo dividido es siempre un monomorfismo, para ambos significados de monomorfismo . Para conjuntos y espacios vectoriales, cada monomorfismo es un monomorfismo dividido, pero esta propiedad no se cumple para la mayoría de las estructuras algebraicas comunes. ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle g\colon B\to A}$ ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{A}.}$

Epimorfismo

En álgebra , los epimorfismos a menudo se definen como homomorfismos sobreyectivos . ^{[3] : 134  [4] : ​​43} Por otro lado, en la teoría de categorías , los epimorfismos se definen como morfismos correctos cancelables . ^[5] Esto significa que un (homo)morfismo es un epimorfismo si, para cualquier par de morfismos de cualquier otro objeto , la igualdad implica . ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ ${\displaystyle g=h}$

Un homomorfismo sobreyectivo siempre es cancelable por la derecha, pero lo contrario no siempre es cierto para las estructuras algebraicas. Sin embargo, las dos definiciones de epimorfismo son equivalentes para conjuntos , espacios vectoriales , grupos abelianos , módulos (ver una prueba más abajo) y grupos . ^[6] La importancia de estas estructuras en todas las matemáticas, especialmente en álgebra lineal y álgebra homológica , puede explicar la coexistencia de dos definiciones no equivalentes.

Las estructuras algebraicas para las que existen epimorfismos no sobreyectivos incluyen semigrupos y anillos . El ejemplo más básico es la inclusión de números enteros en números racionales , que es un homomorfismo de anillos y de semigrupos multiplicativos. Para ambas estructuras es un monomorfismo y un epimorfismo no sobreyectivo, pero no un isomorfismo. ^{[5] [7]}

Una amplia generalización de este ejemplo es la localización de un anillo mediante un conjunto multiplicativo. Cada localización es un epimorfismo en anillo, que en general no es sobreyectivo. Como las localizaciones son fundamentales en álgebra conmutativa y geometría algebraica , esto puede explicar por qué en estas áreas, generalmente se prefiere la definición de epimorfismos como homomorfismos correctos cancelables.

Un epimorfismo dividido es un homomorfismo que tiene un inverso derecho y, por lo tanto, es en sí mismo un inverso izquierdo de ese otro homomorfismo. Es decir, un homomorfismo es un epimorfismo dividido si existe un homomorfismo tal que Un epimorfismo dividido es siempre un epimorfismo, para ambos significados de epimorfismo . Para conjuntos y espacios vectoriales, cada epimorfismo es un epimorfismo dividido, pero esta propiedad no se cumple para la mayoría de las estructuras algebraicas comunes. ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle g\colon B\to A}$ ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{B}.}$

En resumen, uno tiene

${\displaystyle {\text{split epimorphism}}\implies {\text{epimorphism (surjective)}}\implies {\text{epimorphism (right cancelable)}};}$

la última implicación es una equivalencia para conjuntos, espacios vectoriales, módulos, grupos abelianos y grupos; la primera implicación es una equivalencia para conjuntos y espacios vectoriales.

Núcleo

Cualquier homomorfismo define una relación de equivalencia por si y sólo si . La relación se llama núcleo de . Es una relación de congruencia en . Luego se puede dar al conjunto cociente una estructura del mismo tipo que , de forma natural, definiendo las operaciones del conjunto cociente por , para cada operación de . En ese caso la imagen de in bajo el homomorfismo es necesariamente isomorfa a ; este hecho es uno de los teoremas del isomorfismo . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [x]\ast [y]=[x\ast y]}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X/\!\sim }$

Cuando la estructura algebraica es un grupo para alguna operación, la clase de equivalencia del elemento identidad de esta operación es suficiente para caracterizar la relación de equivalencia. En este caso, el cociente de la relación de equivalencia se denota por (normalmente se lee como " mod "). También en este caso, es , en lugar de , a lo que se le llama núcleo de . Los núcleos de homomorfismos de un tipo determinado de estructura algebraica están naturalmente equipados con alguna estructura. Este tipo de estructura de los núcleos es la misma que la estructura considerada, en el caso de grupos abelianos , espacios vectoriales y módulos , pero es diferente y ha recibido un nombre específico en otros casos, como subgrupo normal para núcleos de homomorfismos e ideales de grupo. para núcleos de homomorfismos de anillos (en el caso de anillos no conmutativos, los núcleos son los ideales bilaterales ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X/K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle f}$

Estructuras relacionales

En teoría de modelos , la noción de estructura algebraica se generaliza a estructuras que involucran tanto operaciones como relaciones. Sea L una firma que consta de símbolos de función y relación, y A , B sean dos L -estructuras. Entonces un homomorfismo de A a B es una aplicación h del dominio de A al dominio de B tal que

• h ( F ^A ( a ₁ ,…, a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) para cada símbolo de función n -aria F en L ,
• R ^A ( a ₁ ,…, a _n ) implica R ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) para cada símbolo de relación n -aria R en L .

En el caso especial con una sola relación binaria, obtenemos la noción de homomorfismo de grafos . ^[8]

Teoría del lenguaje formal

Los homomorfismos también se utilizan en el estudio de los lenguajes formales ^[9] y, a menudo, se los denomina brevemente morfismos . ^[10] Dados los alfabetos y , una función tal que para todos se llama homomorfismo en . ^{[nota 2]} Si es un homomorfismo en y denota la cadena vacía, entonces se llama homomorfismo libre cuando es para todo en . ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$ ${\displaystyle h(uv)=h(u)h(v)}$ ${\displaystyle u,v\in \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle h(x)\neq \varepsilon }$ ${\displaystyle x\neq \varepsilon }$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$

Un homomorfismo que satisface para todos se llama homomorfismo uniforme . ^[11] Si es para todos (es decir, es 1-uniforme), entonces también se le llama codificación o proyección . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle h\colon \Sigma _{1}^{*}\to \Sigma _{2}^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}}$ ${\displaystyle |h(a)|=k}$ ${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |h(a)|=1}$ ${\displaystyle a\in \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

El conjunto de palabras formado a partir del alfabeto puede considerarse como el monoide libre generado por . Aquí la operación monoide es la concatenación y el elemento de identidad es la palabra vacía. Desde esta perspectiva, un homomorfismo de lengua es precisamente un homomorfismo monoide. ^{[nota 3]} ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Ver también

• difeomorfismo
• Cifrado homomórfico
• Intercambio de secretos homomórficos : un protocolo de votación descentralizado simplista
• Morfismo
• Cuasimorfismo

Notas

1. Como suele ser el caso, pero no siempre, aquí se utilizó el mismo símbolo para el funcionamiento de ambos . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
2. El ∗ denota la operación de la estrella de Kleene , mientras que Σ ^∗ denota el conjunto de palabras formadas a partir del alfabeto Σ, incluida la palabra vacía. La yuxtaposición de términos denota concatenación . Por ejemplo, h ( u ) h ( v ) denota la concatenación de h ( u ) con h ( v ).
3. Estamos seguros de que un homomorfismo del lenguaje h asigna la palabra vacía ε a la palabra vacía. Dado que h ( ε ) = h ( εε ) = h ( ε ) h ( ε ), el número w de caracteres en h ( ε ) es igual al número 2 w de caracteres en h ( ε ) h ( ε ). Por tanto w = 0 y h ( ε ) tiene longitud nula.

Citas

1. Fricke, Robert (1897-1912). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. BG Teubner. OCLC  29857037.
2. Ver:
   • Ritter, Ernst (1892). "Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze" [Las formas automórficas únicas del género cero, una revisión y extensión del teorema de Poincaré]. Mathematische Annalen (en alemán). 41 : 1–82. doi :10.1007/BF01443449. S2CID  121524108. De la nota a pie de página de la pág. 22: "Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: "holoedrisch, bezw. hemiedrisch usw isomorph" die Benennung "isomorph" auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von "Homomorphismus" sprechen, … " (Siguiendo una sugerencia del Prof. Klein, en lugar de las engorrosas y no siempre satisfactorias designaciones "holohédricas, o hemiédrico, etc. isomorfismo", limitaré la denominación "isomorfismo" al caso de un isomorfismo holoédrico de dos grupos; en caso contrario, sin embargo, [hablaré] de un "homomorfismo",... )
   • Fricke, Robert (1892). "Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen" [Sobre el carácter aritmético de las funciones triangulares que pertenecen a los puntos de ramificación (2,3,7) y ( 2,4,7)]. Mathematische Annalen (en alemán). 41 (3): 443–468. doi :10.1007/BF01443421. S2CID  120022176. De la pág. 466: "Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ ₍₆₃₎ auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit racionalen ganzen Coficienten der Determinante 1 begründet". (Así, como se ve inmediatamente, una relación homomórfica del grupo Γ ₍₆₃₎ se basa en el grupo de sustituciones incongruentes módulo n con coeficientes enteros racionales del determinante 1.) De la nota al pie de la p. 466: "*) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung "meroedrischer Isomorphismus" die sinngemässere "Homomorphismus"." (Siguiendo un uso que ha sido introducido por el Sr. Klein durante sus conferencias más recientes, escribo en lugar de la designación anterior "isomorfismo meroédrico", el más lógico "homomorfismo".)
3. Birkhoff, Garrett (1967) [1940], Teoría del entramado , Publicaciones del coloquio de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 25 (3.ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , ISBN 978-0-8218-1025-5, SEÑOR  0598630
4. C Stanley N. Burris; HP Sankappanavar (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . S. Burris y HP Sankappanavar. ISBN 978-0-9880552-0-9.
5. Mac Lane, Saunders (1971). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 5. Springer-Verlag . Ejercicio 4 del apartado I.5. ISBN 0-387-90036-5. Zbl  0232.18001.
6. Linderholm, CE (1970). Un epimorfismo de grupo es sobreyectivo. El Mensual Matemático Estadounidense , 77(2), 176-177.
7. Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001). Álgebra de Hopf: una introducción . Matemática Pura y Aplicada. vol. 235. Nueva York, Nueva York: Marcel Dekker. pag. 363.ISBN​ 0824704819. Zbl  0962.16026.
8. Para una discusión detallada de los homomorfismos e isomorfismos relacionales, consulte la Sección 17.3, en Gunther Schmidt , 2010. Matemáticas relacionales . Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-76268-7 
9. Seymour Ginsburg , Propiedades teóricas algebraicas y de autómatas de los lenguajes formales , Holanda Septentrional, 1975, ISBN 0-7204-2506-9 , 
10. T. Harju, J. Karhumuddleki, Morfismos en el manual de lenguajes formales , volumen I, editado por G. Rozenberg, A. Salomaa, Springer, 1997, ISBN 3-540-61486-9 . 
11. Krieger (2006) pág. 287

Referencias

• Krieger, Dalia (2006). "Sobre exponentes críticos en puntos fijos de morfismos que no se borran". En Ibarra, Óscar H.; Dang, Zhe (eds.). Desarrollos en la teoría del lenguaje: décima conferencia internacional, DLT 2006, Santa Bárbara, CA, EE. UU., 26 al 29 de junio de 2006: actas . Berlín: Springer. pag. 280-291. ISBN 978-3-540-35430-7. OCLC  262693179.
• Stanley N. Burris; HP Sankappanavar (2012). Un curso de álgebra universal (PDF) . S. Burris y HP Sankappanavar. ISBN 978-0-9880552-0-9.
• Mac Lane, Saunders (1971), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 5, Springer-Verlag , ISBN 0-387-90036-5, Zbl  0232.18001
• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (2003), Un primer curso de álgebra abstracta , Addison-Wesley, ISBN 978-1-292-02496-7