Algebraicamente, el producto escalar es la suma de los productos de las entradas correspondientes de las dos secuencias de números. Geométricamente, es el producto de las magnitudes euclidianas de los dos vectores y el coseno del ángulo entre ellos. Estas definiciones son equivalentes cuando se utilizan coordenadas cartesianas. En la geometría moderna , los espacios euclidianos suelen definirse mediante espacios vectoriales . En este caso, el producto escalar se utiliza para definir longitudes (la longitud de un vector es la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo) y ángulos (el coseno del ángulo entre dos vectores es el cociente de su producto escalar por el producto de sus longitudes).
El nombre "producto escalar" se deriva del operador punto " · " que se utiliza a menudo para designar esta operación; [1] el nombre alternativo "producto escalar" enfatiza que el resultado es un escalar , en lugar de un vector (como ocurre con el producto vectorial en el espacio tridimensional).
Definición
El producto escalar puede definirse algebraica o geométricamente. La definición geométrica se basa en las nociones de ángulo y distancia (magnitud) de los vectores. La equivalencia de estas dos definiciones se basa en tener un sistema de coordenadas cartesiano para el espacio euclidiano.
En las presentaciones modernas de la geometría euclidiana , los puntos del espacio se definen en términos de sus coordenadas cartesianas , y el propio espacio euclidiano se identifica comúnmente con el espacio de coordenadas real . En tal presentación, las nociones de longitud y ángulo se definen mediante el producto escalar. La longitud de un vector se define como la raíz cuadrada del producto escalar del vector por sí mismo, y el coseno del ángulo (no orientado) entre dos vectores de longitud uno se define como su producto escalar. Entonces, la equivalencia de las dos definiciones del producto escalar es parte de la equivalencia de las formulaciones clásica y moderna de la geometría euclidiana.
Definición de coordenadas
El producto escalar de dos vectores y , especificado con respecto a una base ortonormal , se define como: [2]
Expresando el ejemplo anterior de esta manera, una matriz de 1 × 3 ( vector de fila ) se multiplica por una matriz de 3 × 1 ( vector de columna ) para obtener una matriz de 1 × 1 que se identifica con su entrada única:
Definición geométrica
En el espacio euclidiano , un vector euclidiano es un objeto geométrico que posee tanto una magnitud como una dirección. Un vector se puede representar como una flecha. Su magnitud es su longitud y su dirección es la dirección a la que apunta la flecha. La magnitud de un vector se denota por . El producto escalar de dos vectores euclidianos está definido por [3] [4] [1]
Estas propiedades se pueden resumir diciendo que el producto escalar es una forma bilineal . Además, esta forma bilineal es definida positiva , lo que significa que nunca es negativa, y es cero si y sólo si , el vector cero.
porque el producto escalar entre un escalar y un vector no está definido, lo que significa que las expresiones involucradas en la propiedad asociativa, o ambas, están mal definidas. [7] Sin embargo, tenga en cuenta que la propiedad de multiplicación escalar mencionada anteriormente a veces se denomina "ley asociativa para el producto escalar y escalar" [8] o se puede decir que "el producto escalar es asociativo con respecto a la multiplicación escalar" porque . [9]
A diferencia de la multiplicación de números ordinarios, donde si , entonces siempre es igual a menos que sea cero, el producto escalar no obedece la ley de cancelación :Si y , entonces podemos escribir: por la ley distributiva ; el resultado anterior dice que esto simplemente significa que es perpendicular a , lo que aún permite y, por lo tanto, permite .
Dados dos vectores y separados por un ángulo (ver imagen a la derecha), forman un triángulo con un tercer lado . Sean , y denotan las longitudes de , y , respectivamente. El producto escalar de esto consigo mismo es:
En física , la magnitud vectorial es un escalar en el sentido físico (es decir, una cantidad física independiente del sistema de coordenadas), expresada como el producto de un valor numérico y una unidad física , no solo un número. El producto escalar también es un escalar en este sentido, dado por la fórmula, independiente del sistema de coordenadas. Por ejemplo: [10] [11]
Para vectores con entradas complejas , usar la definición dada del producto escalar conduciría a propiedades bastante diferentes. Por ejemplo, el producto escalar de un vector consigo mismo podría ser cero sin que el vector sea el vector cero (por ejemplo, esto sucedería con el vector ). Esto, a su vez, tendría consecuencias para nociones como longitud y ángulo. Propiedades como la norma definida positiva se pueden salvar a costa de renunciar a las propiedades simétricas y bilineales del producto escalar, mediante la definición alternativa [12] [2]
En el caso de vectores con componentes reales, esta definición es la misma que en el caso real. El producto escalar de cualquier vector consigo mismo es un número real no negativo y es distinto de cero excepto en el caso del vector cero. Sin embargo, el producto escalar complejo es sesquilineal en lugar de bilineal, ya que es lineal conjugado y no lineal en . El producto escalar no es simétrico, ya que
El producto escalar propio de un vector complejo , que implica la transpuesta conjugada de un vector fila, también se conoce como norma al cuadrado , en honor a la norma euclidiana ; es una generalización vectorial del cuadrado absoluto de un escalar complejo (ver también: distancia euclidiana al cuadrado ).
El producto interno de dos vectores sobre el cuerpo de números complejos es, en general, un número complejo y es sesquilineal en lugar de bilineal. Un espacio producto interno es un espacio vectorial normado , y el producto interno de un vector consigo mismo es real y definido positivamente.
Funciones
El producto escalar se define para vectores que tienen un número finito de entradas . Por lo tanto, estos vectores pueden considerarse funciones discretas : un vector de longitud es, entonces, una función con dominio y es una notación para la imagen de por la función/vector .
Esta noción se puede generalizar a funciones continuas : así como el producto interno de vectores usa una suma sobre los componentes correspondientes, el producto interno de funciones se define como una integral sobre algún intervalo [ a , b ] : [2]
Generalizado aún más a funciones complejas y , por analogía con el producto interno complejo anterior, se obtiene [2]
Función de peso
Los productos internos pueden tener una función de ponderación (es decir, una función que pondera cada término del producto interno con un valor). Explícitamente, el producto interno de funciones y con respecto a la función de peso es
Diádicas y matrices
Un producto escalar doble para matrices es el producto interno de Frobenius , que es análogo al producto escalar de vectores. Se define como la suma de los productos de los componentes correspondientes de dos matrices y del mismo tamaño:
^ Nykamp, Duane. "El producto escalar". Perspectiva matemática . Consultado el 6 de septiembre de 2020 .
^ Weisstein, Eric W. "Producto escalar". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html
^ T. Banchoff; J. Wermer (1983). Álgebra lineal a través de la geometría. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 12.ISBN978-1-4684-0161-5.
^ A. Bedford; Wallace L. Fowler (2008). Mecánica de ingeniería: estática (5ª ed.). Prentice Hall. pag. 60.ISBN978-0-13-612915-8.
^ KF Riley; el diputado Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para física e ingeniería (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN978-0-521-86153-3.
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