En la década de 1880, Schwarz y su alumno E. R. Neovius describieron superficies mínimas periódicas. [1] [2] Posteriormente fueron nombrados por Alan Schoen en su informe fundamental que describía el giroide y otras superficies mínimas triplemente periódicas. [3]
Las superficies se generaron utilizando argumentos de simetría: dada una solución al problema de Plateau para un polígono, los reflejos de la superficie a través de las líneas límite también producen superficies mínimas válidas que se pueden unir continuamente a la solución original. Si una superficie mínima se encuentra con un plano en ángulo recto, entonces la imagen especular en el plano también se puede unir a la superficie. Por lo tanto, dado un polígono inicial adecuado inscrito en una celda unitaria, se pueden construir superficies periódicas. [4]
Las superficies de Schwarz tienen género topológico 3, el género mínimo de superficies mínimas triplemente periódicas. [5]
Se han considerado como modelos para nanoestructuras periódicas en copolímeros de bloques , superficies equipotenciales electrostáticas en cristales [6] y fases hipotéticas de grafito curvadas negativamente. [7]
Schwarz P ("Primitivo")
Superficie Schwarz P
Schoen llamó a esta superficie "primitiva" porque tiene dos laberintos congruentes entrelazados, cada uno con la forma de una versión tubular inflada de la simple red cúbica. Mientras que la superficie P estándar tiene simetría cúbica, la celda unitaria puede ser cualquier caja rectangular, produciendo una familia de superficies mínimas con la misma topología. [8]
Puede aproximarse por la superficie implícita.
. [9]
La superficie P se ha considerado para la creación de prototipos de estructuras de tejido con una alta relación superficie-volumen y porosidad. [10]
Schwarz D ("Diamante")
Superficie Schwarz D
Schoen llamó a esta superficie "diamante" porque tiene dos laberintos congruentes entrelazados, cada uno con la forma de una versión tubular inflada de la estructura de enlace del diamante . A veces se la denomina superficie F en la literatura.
^ Alan H. Schoen, Superficies mínimas periódicas infinitas sin autointersecciones, Nota técnica de la NASA TN D-5541 (1970) [1]
^ Hermann Karcher, Konrad Polthier, "Construcción de superficies mínimas triplemente periódicas", Phil. Trans. R. Soc. Londres. Un 16 de septiembre de 1996 vol. 354 núm. 1715 2077-2104
^ "Geometría de Alan Schoen".
^ Mackay, Alan L. (abril de 1985). "Superficies mínimas periódicas". Naturaleza . 314 (6012): 604–606. Código Bib :1985Natur.314..604M. doi :10.1038/314604a0. S2CID 4267918.
^ Terrones, H.; Mackay, AL (diciembre de 1994). "Grafito curvado negativamente y superficies mínimas triplemente periódicas". Revista de Química Matemática . 15 (1): 183-195. doi :10.1007/BF01277558. S2CID 123561096.
^ WH manso. La teoría de las superficies mínimas triplemente periódicas. Matemáticas de la Universidad de Indiana. Revista, 39 (3): 877-936, 1990.
^ "Superficies de nivel triplemente periódico". Archivado desde el original el 12 de febrero de 2019 . Consultado el 10 de febrero de 2019 .
^ Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim y Junseok Kim, Análisis de elementos finitos de geometrías de poros superficiales de Schwarz P para andamios de ingeniería de tejidos, Problemas matemáticos en ingeniería, volumen 2012, ID del artículo 694194, doi:10.1155/2012/694194
^ Paul JF Gandy, Djurdje Cvijović, Alan L. Mackay, Jacek Klinowski, Cálculo exacto de la superficie mínima triplemente periódica D ("diamante"), Chemical Physics Letters, volumen 314, números 5 a 6, 10 de diciembre de 1999, páginas 543– 551
