En la década de 1880, Schwarz y su alumno E. R. Neovius describieron superficies mínimas periódicas. [1] [2] Más tarde, Alan Schoen las denominó en su informe seminal que describió la giroide y otras superficies mínimas triplemente periódicas. [3]
Las superficies se generaron utilizando argumentos de simetría: dada una solución al problema de Plateau para un polígono, las reflexiones de la superficie a través de las líneas de contorno también producen superficies mínimas válidas que pueden unirse de forma continua a la solución original. Si una superficie mínima se encuentra con un plano en ángulos rectos, entonces la imagen especular en el plano también puede unirse a la superficie. Por lo tanto, dado un polígono inicial adecuado inscrito en una celda unitaria, se pueden construir superficies periódicas. [4]
Las superficies de Schwarz tienen género topológico 3, el género mínimo de superficies mínimas triplemente periódicas. [5]
Se han considerado como modelos para nanoestructuras periódicas en copolímeros en bloque , superficies equipotenciales electrostáticas en cristales, [6] y fases hipotéticas de grafito curvadas negativamente. [7]
Schwarz P ("Primitivo")
Superficie Schwarz P
Schoen denominó a esta superficie "primitiva" porque tiene dos laberintos congruentes entrelazados, cada uno con la forma de una versión tubular inflada de la red cúbica simple. Si bien la superficie P estándar tiene simetría cúbica, la celda unitaria puede ser cualquier caja rectangular, lo que produce una familia de superficies mínimas con la misma topología. [8]
Puede aproximarse mediante la superficie implícita
. [9]
La superficie P se ha considerado para la creación de prototipos de estructuras de tejido con una alta relación superficie-volumen y porosidad. [10]
Schwarz D ("Diamante")
Superficie Schwarz D
Schoen denominó a esta superficie "diamante" porque tiene dos laberintos congruentes entrelazados, cada uno con la forma de una versión tubular inflada de la estructura de enlace de diamante . A veces se la denomina superficie F en la literatura.
Puede aproximarse mediante la superficie implícita
^ Alan H. Schoen, Superficies mínimas periódicas infinitas sin autointersecciones, Nota técnica de la NASA TN D-5541 (1970)[1]
^ Hermann Karcher, Konrad Polthier, "Construcción de superficies mínimas triplemente periódicas", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 16 de septiembre de 1996 vol. 354 núm. 1715 2077–2104
^ "Geometría de Alan Schoen".
^ Mackay, Alan L. (abril de 1985). «Superficies periódicas mínimas». Nature . 314 (6012): 604–606. Código Bibliográfico :1985Natur.314..604M. doi :10.1038/314604a0. S2CID 4267918.
^ Terrones, H.; Mackay, AL (diciembre de 1994). "Grafito de curvatura negativa y superficies mínimas triplemente periódicas". Journal of Mathematical Chemistry . 15 (1): 183–195. doi :10.1007/BF01277558. S2CID 123561096.
^ WH Meeks. La teoría de superficies mínimas triplemente periódicas. Indiana University Math. Journal, 39 (3):877-936, 1990.
^ "Superficies de nivel triplemente periódicas". Archivado desde el original el 12 de febrero de 2019. Consultado el 10 de febrero de 2019 .
^ Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim y Junseok Kim, Análisis de elementos finitos de geometrías de poros superficiales de Schwarz P para andamios de ingeniería tisular, Problemas matemáticos en ingeniería, volumen 2012, ID de artículo 694194, doi:10.1155/2012/694194
^ Paul JF Gandy, Djurdje Cvijović, Alan L. Mackay, Jacek Klinowski, Cálculo exacto de la superficie mínima triplemente periódica D («diamante»), Chemical Physics Letters, volumen 314, números 5 y 6, 10 de diciembre de 1999, páginas 543-551
