catenoide

Superficie de revolución de una catenaria

una catenoide

Una catenoide obtenida de la rotación de una catenaria.

En geometría , una catenoide es un tipo de superficie que surge al girar una curva catenaria alrededor de un eje (una superficie de revolución ). ^[1] Es una superficie mínima , lo que significa que ocupa la menor área cuando está delimitada por un espacio cerrado. ^[2] Fue descrito formalmente en 1744 por el matemático Leonhard Euler .

La película de jabón unida a anillos circulares gemelos tomará la forma de una catenoide. ^[2] Debido a que son miembros de la misma familia asociada de superficies, una catenoide se puede doblar en una porción de un helicoidal y viceversa.

Geometría

La catenoide fue la primera superficie mínima no trivial en el espacio euclidiano tridimensional descubierta aparte del plano . La catenoide se obtiene haciendo girar una catenaria alrededor de su directriz . ^[2] Leonhard Euler lo encontró y demostró que era mínimo en 1744. ^{[3] [4]}

Los primeros trabajos sobre el tema también fueron publicados por Jean Baptiste Meusnier . ^{[5] [4] : 11106} Sólo hay dos superficies mínimas de revolución ( superficies de revolución que también son superficies mínimas): el plano y la catenoide. ^[6]

La catenoide puede definirse mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=c\cosh {\frac {v}{c}}\cos u\\y&=c\cosh {\frac {v}{c}}\sin u\\z&=v\end{aligned}}}$$

${\displaystyle u\in [-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c}$

En coordenadas cilíndricas:

$${\displaystyle \rho =c\cosh {\frac {z}{c}},}$$

${\displaystyle c}$

Se puede formar un modelo físico de una catenoide sumergiendo dos anillos circulares en una solución jabonosa y separando lentamente los círculos.

La catenoide también se puede definir aproximadamente mediante el método de la rejilla estirada como un modelo 3D de facetas.

Transformación helicoidal

Deformación de un helicoidal a catenoide.

Debido a que son miembros de la misma familia asociada de superficies, se puede doblar una catenoide en una porción de una helicoidal sin estirarla. En otras palabras, se puede realizar una deformación (mayoritariamente) continua e isométrica de una catenoide a una porción del helicoidal de manera que cada miembro de la familia de deformaciones sea mínimo (con una curvatura media de cero). Una parametrización de tal deformación viene dada por el sistema.

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=\cos \theta \,\sinh v\,\sin u+\sin \theta \,\cosh v\,\cos u\\y(u,v)&=-\cos \theta \,\sinh v\,\cos u+\sin \theta \,\cosh v\,\sin u\\z(u,v)&=u\cos \theta +v\sin \theta \end{aligned}}}$$

${\displaystyle (u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }$

• ${\displaystyle \theta =\pi }$corresponde a un helicoidal diestro,
• ${\displaystyle \theta =\pm \pi /2}$corresponde a una catenoide, y
• ${\displaystyle \theta =0}$Corresponde a un helicoidal zurdo.

Referencias

1. Dierkes, Ulrich; Hildebrandt, Stefan; Sauvigny, Friedrich (2010). Superficies mínimas. Medios de ciencia y negocios de Springer . pag. 141.ISBN​ 9783642116988.
2. Gullberg, enero (1997). Matemáticas: desde el nacimiento de los números . W. W. Norton & Company . pag. 538.ISBN​ 9780393040029.
3. Helveticae, Euler, Leonhard (1952) [reimpresión de la edición de 1744]. Carathëodory Constantin (ed.). Methodus inveniendi lineas curvas: maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu Accepti (en latín). Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 3-76431-424-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. Enfriamiento, TH; Minicozzi, WP (17 de julio de 2006). "Formas de superficies mínimas empotradas". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 103 (30): 11106–11111. Código bibliográfico : 2006PNAS..10311106C. doi : 10.1073/pnas.0510379103 . PMC 1544050 . PMID  16847265. 
5. Meusnier, JB (1881). Mémoire sur la courbure des Surfaces [ Memoria sobre la curvatura de las superficies. ] (PDF) (en francés). Bruselas: F. Hayez, Imprimeur De L'Acdemie Royale De Belgique. págs. 477–510. ISBN 9781147341744.
6. "Catenoide". Wolfram MathWorld . Consultado el 15 de enero de 2017 .

Otras lecturas

• Krivoshapko, Sergey; Ivanov, VN (2015). "Superficies mínimas". Enciclopedia de superficies analíticas . Saltador. ISBN 9783319117737.

enlaces externos

• "Catenoide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Catenoide – modelo WebGL
• Texto de Euler que describe el catenoide en la Universidad Carnegie Mellon
• Calcular el área de superficie de un catenoide
• Superficie mínima de revolución