El problema de Bernstein

Problema en geometría diferencial.

En geometría diferencial , el problema de Bernstein es el siguiente: si la gráfica de una función en R ^{n −1} es una superficie mínima en R ⁿ , ¿implica esto que la función es lineal? Esto es cierto para n como máximo 8, pero falso para n al menos 9. El problema lleva el nombre de Sergei Natanovich Bernstein , quien resolvió el caso  n  = 3 en 1914.

Declaración

Supongamos que f es función de n  − 1 variables reales. La gráfica de f es una superficie en R ⁿ , y la condición de que sea una superficie mínima es que f satisfaga la ecuación de superficie mínima

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}=0}$

El problema de Bernstein pregunta si una función completa (una función definida a lo largo de R ^{n −1} ) que resuelve esta ecuación es necesariamente un polinomio de grado 1.

Historia

Bernstein (1915-1917) demostró el teorema de Bernstein de que una gráfica de una función real en R ² que también es una superficie mínima en R ³ debe ser un plano.

Fleming (1962) dio una nueva prueba del teorema de Bernstein deduciéndolo del hecho de que no existe ningún cono no plano minimizador de área en R ³ .

De Giorgi (1965) demostró que si no hay un cono no plano que minimice el área en R ^{n −1} entonces el análogo del teorema de Bernstein es cierto para las gráficas en R ⁿ , lo que en particular implica que es cierto en R ⁴ .

Almgren (1966) demostró que no hay conos minimizadores no planos en R ⁴ , extendiendo así el teorema de Bernstein a R ⁵ .

Simons (1968) demostró que no hay conos minimizadores no planos en R ⁷ , extendiendo así el teorema de Bernstein a R ⁸ . También demostró que la superficie definida por

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}}$

es un cono localmente estable en R ⁸ , y se le preguntó si minimiza el área globalmente.

Bombieri, De Giorgi y Giusti (1969) demostraron que el cono de Simons es efectivamente minimizador global, y que en R ⁿ para n ≥9 hay gráficas que son mínimas, pero no hiperplanas. Combinado con el resultado de Simons, esto muestra que el análogo del teorema de Bernstein es verdadero en R ⁿ para n ≤8 y falso en dimensiones superiores.

Referencias

• Almgren, FJ (1966), "Algunos teoremas de regularidad interior para superficies mínimas y una extensión del teorema de Bernstein", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 84 (2): 277–292, doi :10.2307/1970520, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970520, SEÑOR  0200816
• Bernstein, SN (1915-1917), "Sur une théorème de géometrie et ses apps aux équations dérivées partielles du type elliptique", Comm. Soc. Matemáticas. Jarkov , 15 : 38–45Traducción al alemán en Bernstein, Serge (1927), "Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus", Mathematische Zeitschrift (en alemán), Springer Berlin / Heidelberg, 26 : 551–558, doi :10.1007/BF01475472 , ISSN  0025-5874
• Bombieri, Enrico ; De Giorgi, Ennio ; Giusti, E. (1969), "Los conos mínimos y el problema de Bernstein", Inventiones Mathematicae , 7 (3): 243–268, doi :10.1007/BF01404309, ISSN  0020-9910, MR  0250205, S2CID  59816096
• De Giorgi, Ennio (1965), "Una extensión del teorema di Bernstein", Ann. Norma de la escuela. Sorber. Pisa (3) , 19 : 79–85, SEÑOR  0178385
• Fleming, Wendell H. (1962), "Sobre el problema de la meseta orientada", Rediconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II , 11 : 69–90, doi : 10.1007/BF02849427, ISSN  0009-725X, SEÑOR  0157263
• Sabitov, I. Kh. (2001) [1994], "Teorema de Bernstein", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Simons, James (1968), "Variedades mínimas en variedades de Riemann", Annals of Mathematics , segunda serie, 88 (1): 62–105, doi :10.2307/1970556, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970556, SEÑOR  0233295
• Straume, E. (2001) [1994], "Problema de Bernstein en geometría diferencial", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

enlaces externos

• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre el teorema de Bernstein