En matemáticas , la teoría min-max de Almgren-Pitts (llamada así en honor a Frederick J. Almgren, Jr. y su alumno Jon T. Pitts ) es análoga a la teoría Morse para hipersuperficies .
La teoría comenzó con los esfuerzos por generalizar el método de George David Birkhoff para la construcción de geodésicas cerradas simples en la esfera, para permitir la construcción de superficies mínimas incrustadas en 3 variedades arbitrarias . [1]
Ha desempeñado un papel en las soluciones a una serie de conjeturas en geometría y topología encontradas por los propios Almgren y Pitts y también por otros matemáticos, como Mikhail Gromov , Richard Schoen , Shing-Tung Yau , Fernando Codá Marques , André Neves , Ian Agol. , entre otros. [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]
La teoría permite la construcción de hipersuperficies mínimas incrustadas mediante métodos variacionales. [11]
En su tesis doctoral, Almgren demostró que el m-ésimo grupo de homotopía del espacio de ciclos planos k-dimensionales en una variedad de Riemann cerrada es isomorfo al (m+k)-ésimo grupo de homología dimensional de M. Este resultado es una generalización del teorema de Dold-Thom , que puede considerarse como el caso k=0 del teorema de Almgren. La existencia de clases de homotopía no triviales en el espacio de ciclos sugiere la posibilidad de construir subvariedades mínimas como puntos silla de la función de volumen, como en la teoría de Morse . En su trabajo posterior, Almgren utilizó estas ideas para demostrar que para cada k=1,...,n-1 una variedad de Riemann n-dimensional cerrada contiene una variedad integral estacionaria k-dimensional , una generalización de la subvariedad mínima que puede tener singularidades. Allard demostró que estas subvariedades mínimas generalizadas son regulares en un subconjunto abierto y denso.
En la década de 1980, el estudiante de Almgren, Jon Pitts, mejoró enormemente la teoría de regularidad de subvariedades mínimas obtenida por Almgren en el caso de la codimensión 1. Demostró que cuando la dimensión n de la variedad está entre 3 y 6, la hipersuperficie mínima obtenida utilizando el método min-max de Almgren es suave. Una nueva idea clave en la prueba fue la noción de 1/j, casi minimizando las variedades. Richard Schoen y Leon Simon ampliaron este resultado a dimensiones superiores. Más específicamente, demostraron que cada variedad de Riemann de n dimensiones contiene una hipersuperficie mínima cerrada construida mediante el método min-max que se aleja suavemente de un conjunto cerrado de dimensión n-8.
Al considerar familias de parámetros superiores de ciclos de codimensión 1, se pueden encontrar hipersuperficies mínimas distintas. Dicha construcción fue utilizada por Fernando Codá Marques y André Neves en su prueba de la conjetura de Willmore . [12] [13]