stringtranslate.com

Energía de Möbius

En matemáticas , la energía de Möbius de un nudo es una energía de nudo particular , es decir, una función del espacio de nudos. Fue descubierta por Jun O'Hara , quien demostró que la energía aumenta a medida que las hebras del nudo se acercan entre sí. [1] Esta es una propiedad útil porque evita la autointersección y garantiza que el resultado bajo un descenso de gradiente sea del mismo tipo de nudo.

La invariancia de la energía de Möbius bajo las transformaciones de Möbius fue demostrada por Michael Freedman , Zheng-Xu He y Zhenghan Wang (1994), quienes la usaron para mostrar la existencia de un minimizador de energía en cada clase de isotopía de un nudo primo . También demostraron que la energía mínima de cualquier conformación de nudo se logra mediante un círculo redondo. [2]

Conjeturalmente, no existe un minimizador de energía para los nudos compuestos. Robert B. Kusner y John M. Sullivan han realizado experimentos informáticos con una versión discretizada de la energía de Möbius y han llegado a la conclusión de que no debería existir un minimizador de energía para la suma de nudos de dos tréboles (aunque esto no es una prueba).

Recordemos que las transformaciones de Möbius de la esfera tridimensional son el grupo de diez dimensiones de difeomorfismos que preservan el ángulo generados por inversión en esferas bidimensionales. Por ejemplo, la inversión en la esfera se define por

Considérese una curva simple rectificable en el espacio euclidiano 3 , donde pertenece a o . Defina su energía por

donde es la distancia de arco más corta entre y en la curva. El segundo término del integrando se llama regularización. Es fácil ver que es independiente de la parametrización y no cambia si se cambia por una semejanza de . Además, la energía de cualquier línea es 0, la energía de cualquier círculo es . De hecho, usemos la parametrización de longitud de arco. Denotemos por la longitud de la curva . Entonces

Sea un círculo unitario. Tenemos

y por consiguiente,

desde .

Nudo invariante

A la izquierda, el nudo deshacer y un nudo equivalente. Puede resultar más difícil determinar si los nudos complejos, como el de la derecha, son equivalentes al nudo deshacer.

Un nudo se crea comenzando con un segmento de línea unidimensional , envolviéndolo sobre sí mismo arbitrariamente y luego fusionando sus dos extremos libres para formar un bucle cerrado. [3] Matemáticamente, podemos decir que un nudo es una función inyectiva y continua con . Los topólogos consideran que los nudos y otros enredos como enlaces y trenzas son equivalentes si el nudo se puede empujar suavemente, sin intersecarse, para coincidir con otro nudo. La idea de la equivalencia de nudos es dar una definición precisa de cuándo dos nudos deben considerarse iguales incluso cuando están posicionados de manera bastante diferente en el espacio. Una definición matemática es que dos nudos son equivalentes si hay un homeomorfismo que preserva la orientación con , y se sabe que esto es equivalente a la existencia de isotopía ambiental .

El problema básico de la teoría de nudos, el problema de reconocimiento , es determinar la equivalencia de dos nudos. Existen algoritmos para resolver este problema, el primero de los cuales fue propuesto por Wolfgang Haken a fines de la década de 1960. [4] No obstante, estos algoritmos pueden consumir mucho tiempo, y una cuestión importante en la teoría es comprender cuán difícil es realmente este problema. [4] El caso especial de reconocer el nudo desenredado , llamado el problema de desenredado , es de particular interés. [5] Representaremos un nudo como una curva suave en lugar de como un polígono. Un nudo se representará mediante un diagrama plano. Las singularidades del diagrama plano se denominarán puntos de cruce y las regiones en las que subdivide las regiones planas del diagrama. En cada punto de cruce, dos de las cuatro esquinas estarán punteadas para indicar qué rama a través del punto de cruce se debe considerar como una que pasa por debajo de la otra. Numeramos cualquier región al azar, pero fijaremos los números de todas las regiones restantes de modo que siempre que crucemos la curva de derecha a izquierda debemos pasar de la región número a la región número . Claramente, en cualquier punto de cruce , hay dos esquinas opuestas del mismo número y dos esquinas opuestas de los números y , respectivamente. El número se conoce como el índice de . Los puntos de cruce se distinguen por dos tipos: los de mano derecha y los de mano izquierda, según qué rama a través del punto pasa por debajo o por detrás de la otra. En cualquier punto de cruce de índice dos esquinas punteadas son de los números y , respectivamente, dos sin punto de los números y . El índice de cualquier esquina de cualquier región de índice es un elemento de . Deseamos distinguir un tipo de nudo de otro por invariantes de nudo. Hay un invariante que es bastante simple. Es el polinomio de Alexander con coeficiente entero. El polinomio de Alexander es simétrico con grado : para todos los nudos de puntos de cruce. Por ejemplo, el invariante de una curva sin nudos es 1, el de un nudo de trébol es .

Dejar

denota el elemento de superficie estándar de .

Tenemos

Para el nudo , ,

no cambia, si cambiamos el nudo en su clase de equivalencia.

Propiedad de invariancia de Möbius

Sea una curva cerrada en y una transformación de Möbius de . Si está contenido en entonces . Si pasa por entonces .

Teorema A. Entre todos los bucles rectificables , los círculos redondos tienen la menor energía y cualquiera de las energías más bajas parametriza un círculo redondo.

Demostración del teorema A. Sea una transformación de Möbius que envía un punto de a infinito. La energía con igualdad se cumple si y solo si es una línea recta. Aplicamos la propiedad de invariancia de Möbius y completamos la demostración.

Demostración de la propiedad de invariancia de Möbius. Basta con considerar cómo , una inversión en una esfera, transforma la energía. Sea el parámetro de longitud de arco de una curva cerrada rectificable , . Sea

y

Claramente, y . Es un cálculo corto (usando la ley de los cosenos) que los primeros términos se transforman correctamente, es decir,

Dado que la longitud del arco es para , el término de regularización de ( 1 ) es la integral elemental

Sea un parámetro de longitud de arco para . Entonces, donde denota el factor de expansión lineal de . Como es una función de Lipschitz y es suave, es Lipschitz, por lo tanto, tiene derivada débil .

donde y

y

Como está uniformemente acotado, tenemos

Similarmente,

Entonces por ( 4 )

Comparando ( 3 ) y ( 5 ), obtenemos por lo tanto, .

Para la segunda afirmación, enviemos un punto de al infinito. En este caso y, por lo tanto, el término constante 4 en ( 5 ) desaparece.

Conjetura de Freedman-He-Wang

La conjetura de Freedman–He–Wang (1994) afirmó que la energía de Möbius de los enlaces no triviales en se minimiza mediante la proyección estereográfica del enlace de Hopf estándar . Esto fue demostrado en 2012 por Ian Agol , Fernando C. Marques y André Neves , utilizando la teoría de mínimos y máximos de Almgren–Pitts . [6] Sea , un enlace de 2 componentes, es decir, un par de curvas cerradas rectificables en el espacio tridimensional euclidiano con . La energía cruzada de Möbius del enlace se define como

El número de enlace de se define dejando

No es difícil comprobar que . Si dos círculos están muy alejados entre sí, la energía cruzada puede hacerse arbitrariamente pequeña. Si el número de enlace no es cero, el enlace se llama no dividido y para el enlace no dividido, . Por lo tanto, nos interesa la energía mínima de los enlaces no divididos. Nótese que la definición de la energía se extiende a cualquier enlace de 2 componentes en . La energía de Möbius tiene la notable propiedad de ser invariante bajo transformaciones conformes de . Esta propiedad se explica de la siguiente manera. Sea denotado un mapa conforme. Entonces Esta condición se llama propiedad de invariancia conforme de la energía cruzada de Möbius.

Teorema principal. Sea , un enlace no dividido de 2 componentes. Entonces . Además, si entonces existe una función conforme tal que y (el enlace de Hopf estándar hasta la orientación y la reparametrización).

Dadas dos curvas diferenciables que no se intersecan , defina el mapa de Gauss desde el toro hasta la esfera mediante

El mapa de Gauss de un enlace en , denotado por , es el mapa de Lipschitz definido por Denotamos una bola abierta en , centrada en con radio , por . El límite de esta bola se denota por . Una bola abierta intrínseca de , centrada en con radio , se denota por . Tenemos

De este modo,

De ello se deduce que para casi cada , si la igualdad se cumple en , entonces

Si el enlace está contenido en un hiperplano afín orientado con un vector normal unitario compatible con la orientación, entonces

Referencias

Notas al pie

  1. ^ O'Hara, Jun (1991). "Energía de un nudo". Topología . 30 (2): 241–247. doi : 10.1016/0040-9383(91)90010-2 . MR  1098918.
  2. ^ Freedman, Michael H. ; He, Zheng-Xu; Wang, Zhenghan (enero de 1994). "Energía de Möbius de nudos y desanudos". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 139 (1): 1–50. doi :10.2307/2946626. JSTOR  2946626. MR  1259363.
  3. ^ Adams 2004; Sossinsky 2002.
  4. ^ desde Hass 1998.
  5. ^ Hoste, Jim (diciembre de 2005). "La enumeración y clasificación de nudos y eslabones". En William W. Menasco; Morwen B. Thistlethwaite (eds.). Manual de teoría de nudos (PDF) . Ámsterdam: Elsevier. págs. 209–232. doi :10.1016/B978-044451452-3/50006-X. ISBN. 9780444514523.
  6. ^ Agol, Ian ; Marques, Fernando C.; Neves, André (2012). "Teoría de mínimos y máximos y la energía de los enlaces". arXiv : 1205.0825 [math.GT].