Análisis geométrico

Campo de las matemáticas superiores.

Superficie mínima de la torre de silla de montar . Las superficies mínimas se encuentran entre los objetos de estudio del análisis geométrico.

El análisis geométrico es una disciplina matemática donde se utilizan herramientas de ecuaciones diferenciales , especialmente ecuaciones diferenciales parciales elípticas (PDE), para establecer nuevos resultados en geometría diferencial y topología diferencial . El uso de PDE elípticas lineales se remonta al menos a la teoría de Hodge . Más recientemente, se refiere en gran medida al uso de ecuaciones diferenciales parciales no lineales para estudiar propiedades geométricas y topológicas de espacios, como las subvariedades del espacio euclidiano , las variedades de Riemann y las variedades simplécticas . Este enfoque se remonta al trabajo de Tibor Radó y Jesse Douglas sobre superficies mínimas , John Forbes Nash Jr. sobre incrustaciones isométricas de variedades de Riemann en el espacio euclidiano, el trabajo de Louis Nirenberg sobre el problema de Minkowski y el problema de Weyl, y el trabajo de Aleksandr Danilovich. Aleksandrov y Aleksei Pogorelov sobre hipersuperficies convexas . En la década de 1980, las contribuciones fundamentales de Karen Uhlenbeck , ^[1] Clifford Taubes , Shing-Tung Yau , Richard Schoen y Richard Hamilton lanzaron una era particularmente emocionante y productiva de análisis geométrico que continúa hasta el día de hoy. Un logro celebrado fue la solución a la conjetura de Poincaré por parte de Grigori Perelman , completando un programa iniciado y llevado a cabo en gran medida por Richard Hamilton.

Alcance

El alcance del análisis geométrico incluye tanto el uso de métodos geométricos en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales (cuando también se conoce como "PDE geométrica") como la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a la geometría. Incorpora problemas que involucran curvas y superficies, o dominios con límites curvos, pero también el estudio de variedades de Riemann en dimensión arbitraria. El cálculo de variaciones a veces se considera parte del análisis geométrico, porque las ecuaciones diferenciales que surgen de principios variacionales tienen un fuerte contenido geométrico. El análisis geométrico también incluye el análisis global , que se refiere al estudio de ecuaciones diferenciales en variedades y la relación entre ecuaciones diferenciales y topología .

La siguiente es una lista parcial de los temas principales dentro del análisis geométrico:

• Teoría del calibre
• Mapas armónicos
• Métricas de Kähler-Einstein
• Flujo de curvatura media
• Subvariedades mínimas
• Teoremas de energía positiva
• Curvas pseudoholomórficas
• flujo de ricci
• problema de yamabe
• Ecuaciones de Yang-Mills

Referencias

1. Jackson, Allyn. (2019). Fundador del análisis geométrico galardonado con el Premio Abel. Consultado el 20 de marzo de 2019.

Otras lecturas

• Schoen, Richard ; Yau, Shing Tung (2010). Conferencias sobre Geometría Diferencial . Prensa Internacional de Boston. ISBN 978-1-571-46198-8.
• Andrews, Ben (2010). El flujo de Ricci en la geometría de Riemann: una prueba completa del teorema de la esfera de pellizco diferenciable de 1/4 (1ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-642-16285-5.
• Jost, Jürgen (2005). Geometría de Riemann y análisis geométrico (4ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-25907-7.
• Lee, Jeffrey M. (2009). Colectores y Geometría Diferencial . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4815-9.
• Helgason, Sigurdur (2000). Grupos y análisis geométrico (geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas) (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-2673-7.
• Helgason, Sigurdur (2008). Análisis geométrico de espacios simétricos (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4530-1.