Problema de Yamabe

El problema de Yamabe se refiere a una conjetura en el campo matemático de la geometría diferencial , que se resolvió en la década de 1980. Es un enunciado sobre la curvatura escalar de las variedades de Riemann :

Sea ( M , g ) una variedad riemanniana cerrada y uniforme. Entonces existe una función positiva y uniforme f en M tal que la métrica riemanniana fg tiene una curvatura escalar constante.

Calculando una fórmula que explique cómo se relaciona la curvatura escalar de fg con la de g , esta afirmación se puede reformular de la siguiente forma:

Sea ( M , g ) una variedad riemanniana cerrada y uniforme. Entonces existe una función positiva y uniforme φ en M , y un número c , tal que

${\displaystyle {\frac {4(n-1)}{n-2}}\Delta ^{g}\varphi +R^{g}\varphi +c\varphi ^{(n+2)/(n-2)}=0.}$

Aquí n denota la dimensión de M , R ^g denota la curvatura escalar de g , y ∆ ^g denota el operador de Laplace-Beltrami de g .

El matemático Hidehiko Yamabe , en su artículo Yamabe (1960), presentó las afirmaciones anteriores como teoremas y proporcionó una prueba; sin embargo, Trudinger (1968) descubrió un error en su prueba. El problema de comprender si las afirmaciones anteriores son verdaderas o falsas se conoció como el problema de Yamabe. El trabajo combinado de Yamabe, Trudinger, Thierry Aubin y Richard Schoen proporcionó una resolución afirmativa al problema en 1984.

En la actualidad se considera un problema clásico en el análisis geométrico , y su prueba requiere nuevos métodos en los campos de la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales . Un punto decisivo en la resolución final del problema por parte de Schoen fue la aplicación del teorema de energía positiva de la relatividad general , que es un teorema matemático puramente geométrico diferencial demostrado por primera vez (en un contexto provisional) en 1979 por Schoen y Shing-Tung Yau .

Se han realizado trabajos más recientes debido a Simon Brendle , Marcus Khuri, Fernando Codá Marques y Schoen, que tratan sobre la colección de todas las funciones positivas y suaves f tales que, para una variedad de Riemann dada ( M , g ) , la métrica fg tiene una curvatura escalar constante. Además, el problema de Yamabe tal como se plantea en entornos similares, como para variedades de Riemann no compactas completas, aún no se comprende por completo.

El problema de Yamabe en casos especiales

Aquí, nos referimos a una "solución del problema de Yamabe" en una variedad de Riemann como una métrica de Riemann g en M para la cual existe una función suave positiva con ${\displaystyle (M,{\overline {g}})}$ ${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}.}$

En una variedad de Einstein cerrada

Sea una variedad riemanniana suave. Considérese una función suave positiva de modo que sea un elemento arbitrario de la clase conforme suave de Un cálculo estándar muestra ${\displaystyle (M,{\overline {g}})}$ ${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}}$ ${\displaystyle {\overline {g}}.}$

${\displaystyle {\overline {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}}_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{n}}Rg_{ij}+{\frac {n-2}{\varphi }}{\Big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{n}}g_{ij}\Delta \varphi {\Big )}.}$

Tomando el producto interno g con los resultados en ${\displaystyle \textstyle \varphi (\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg)}$

${\displaystyle \varphi \left\langle {\overline {\operatorname {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}},\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}=\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}_{g}^{2}+(n-2){\Big (}{\big \langle }\operatorname {Ric} ,\operatorname {Hess} \varphi {\big \rangle }_{g}-{\frac {1}{n}}R\Delta \varphi {\Big )}.}$

Si se supone que es Einstein, entonces el lado izquierdo se anula. Si se supone que es cerrado, entonces se puede hacer una integración por partes, recordando la identidad de Bianchi para ver ${\displaystyle {\overline {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}\nabla R,}$

${\displaystyle \int _{M}\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}^{2}\,d\mu _{g}=(n-2){\Big (}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}{\Big )}\int _{M}\langle \nabla R,\nabla \varphi \rangle \,d\mu _{g}.}$

Si g tiene una curvatura escalar constante, entonces el lado derecho se anula. La consiguiente anulación del lado izquierdo demuestra el siguiente hecho, debido a Obata (1971):

Toda solución al problema de Yamabe en una variedad de Einstein cerrada es Einstein.

Obata luego pasó a demostrar que, excepto en el caso de la esfera estándar con su métrica de curvatura seccional constante habitual, las únicas métricas de curvatura escalar constante en la clase conforme de una métrica de Einstein (en una variedad cerrada) son múltiplos constantes de la métrica dada. La prueba procede mostrando que el gradiente del factor conforme es en realidad un campo de Killing conforme. Si el factor conforme no es constante, seguir las líneas de flujo de este campo de gradiente, comenzando en un mínimo del factor conforme, permite demostrar que la variedad está relacionada conformemente con el cilindro y, por lo tanto, tiene una curvatura de Weyl que se desvanece. ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$

El caso no compacto

Una pregunta estrechamente relacionada es el llamado "problema de Yamabe no compacto", que pregunta: ¿Es cierto que en cada variedad de Riemann completa y suave ( M , g ) que no es compacta, existe una métrica que es conforme a g , tiene curvatura escalar constante y también es completa? La respuesta es no, debido a los contraejemplos dados por Jin (1988). Se conocen varios criterios adicionales bajo los cuales se puede demostrar que existe una solución al problema de Yamabe para una variedad no compacta (por ejemplo, Aviles y McOwen (1988)); sin embargo, obtener una comprensión completa de cuándo se puede resolver el problema en el caso no compacto sigue siendo un tema de investigación.

Véase también

• Flujo de Yamabe
• Invariante de Yamabe

Referencias

Artículos de investigación

• Aubin, Thierry (1976), "Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire", J. Math. Pures Appl. , 55 : 269–296
• Aviles, P.; McOwen, RC (1988), "Deformación conforme a curvatura escalar negativa constante en variedades riemannianas no compactas", J. Differ. Geom. , 27 (2): 225–239, doi : 10.4310/jdg/1214441781 , MR  0925121
• Jin, Zhi Ren (1988), "Un contraejemplo del problema de Yamabe para variedades no compactas completas", Ecuaciones diferenciales parciales (Tianjin, 1986) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1306, Berlín: Springer, págs. 93–101, doi :10.1007/BFb0082927, MR  1032773
• Lee, John M.; Parker, Thomas H. (1987), "El problema de Yamabe", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 17 : 37–81, doi : 10.1090/s0273-0979-1987-15514-5.
• Obata, Morio (1971), "Las conjeturas sobre las transformaciones conformes de las variedades de Riemann", Journal of Differential Geometry , 6 : 247–258, doi : 10.4310/jdg/1214430407 , MR  0303464
• Schoen, Richard (1984), "Deformación conforme de una métrica de Riemann a una curvatura escalar constante", J. Differ. Geom. , 20 (2): 479–495, doi : 10.4310/jdg/1214439291
• Trudinger, Neil S. (1968), "Observaciones sobre la deformación conforme de las estructuras de Riemann en variedades compactas", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 22 : 265–274, MR  0240748
• Yamabe, Hidehiko (1960), "Sobre una deformación de estructuras de Riemann en variedades compactas", Osaka Journal of Mathematics , 12 : 21–37, ISSN  0030-6126, MR  0125546

Libros de texto

• Aubin, Thierry. Algunos problemas no lineales en geometría de Riemann. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlín, 1998. xviii+395 pp. ISBN 3-540-60752-8 
• Schoen, R.; Yau, S.-T. Conferencias sobre geometría diferencial. Notas de clase preparadas por Wei Yue Ding, Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang], Jia Qing Zhong y Yi Chao Xu. Traducido del chino por Ding y SY Cheng. Con un prefacio traducido del chino por Kaising Tso. Actas de conferencias y notas de clase sobre geometría y topología, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v+235 pp. ISBN 1-57146-012-8 
• Struwe, Michael. Métodos variacionales. Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales y sistemas hamiltonianos. Cuarta edición. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas afines. 3ª Serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas], 34. Springer-Verlag, Berlín, 2008. xx+302 págs. ISBN 978-3-540-74012-4