Teorema de la energía positiva

Resultado clave en la relatividad general

El teorema de la energía positiva (también conocido como teorema de la masa positiva ) se refiere a una colección de resultados fundamentales en relatividad general y geometría diferencial . Su forma estándar, en términos generales, afirma que la energía gravitacional de un sistema aislado no es negativa y sólo puede ser cero cuando el sistema no tiene objetos gravitantes. Aunque a menudo se piensa que estas afirmaciones son principalmente de naturaleza física, pueden formalizarse como teoremas matemáticos que pueden demostrarse utilizando técnicas de geometría diferencial , ecuaciones diferenciales parciales y teoría de medidas geométricas .

Richard Schoen y Shing-Tung Yau , en 1979 y 1981, fueron los primeros en dar pruebas del teorema de la masa positiva. Edward Witten , en 1982, dio las líneas generales de una demostración alternativa, que luego fueron completadas rigurosamente por los matemáticos. Witten y Yau recibieron la medalla Fields en matemáticas en parte por su trabajo en este tema.

Una formulación imprecisa del teorema de la energía positiva de Schoen-Yau/Witten establece lo siguiente:

Dado un conjunto de datos inicial asintóticamente plano, se puede definir la energía-momento de cada región infinita como un elemento del espacio de Minkowski . Siempre que el conjunto de datos inicial sea geodésicamente completo y satisfaga la condición de energía dominante , cada uno de esos elementos debe estar en el futuro causal del origen. Si cualquier región infinita tiene energía-momento nula, entonces el conjunto de datos inicial es trivial en el sentido de que puede incrustarse geométricamente en el espacio de Minkowski.

El significado de estos términos se analiza a continuación. Existen formulaciones alternativas y no equivalentes para diferentes nociones de energía-momento y para diferentes clases de conjuntos de datos iniciales. No todas estas formulaciones han sido probadas rigurosamente y actualmente es un problema abierto si la formulación anterior es válida para conjuntos de datos iniciales de dimensión arbitraria.

Panorama historico

La demostración original del teorema de la masa ADM fue proporcionada por Richard Schoen y Shing-Tung Yau en 1979 utilizando métodos variacionales y superficies mínimas . Edward Witten dio otra prueba en 1981 basada en el uso de espinores , inspirados en teoremas de energía positiva en el contexto de la supergravedad . Ludvigsen y James Vickers, Gary Horowitz y Malcolm Perry , y Schoen y Yau dieron una extensión del teorema para la masa de Bondi.

Gary Gibbons , Stephen Hawking , Horowitz y Perry demostraron extensiones del teorema a los espaciotiempos asintóticamente anti-de Sitter y a la teoría de Einstein-Maxwell . La masa de un espaciotiempo asintóticamente anti-de Sitter no es negativa y solo es igual a cero para el espaciotiempo anti-de Sitter. En la teoría de Einstein-Maxwell, para un espaciotiempo con carga eléctrica y carga magnética , la masa del espaciotiempo satisface (en unidades gaussianas ) ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle M\geq {\sqrt {Q^{2}+P^{2}}},}$

con igualdad para las soluciones de agujeros negros extremos Majumdar – Papapetrou .

Conjuntos de datos iniciales

Un conjunto de datos inicial consta de una variedad de Riemann ( M , g ) y un campo simétrico de 2 tensores k en M . Se dice que un conjunto de datos inicial ( M , g , k ) :

• es simétrico en el tiempo si k es cero
• es máximo si tr ^g k = 0 ^[1]
• satisface la condición de energía dominante si

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g},}$

donde R ^g denota la curvatura escalar de g . ^[2]

Tenga en cuenta que un conjunto de datos iniciales simétrico en el tiempo ( M , g , 0) satisface la condición de energía dominante si y sólo si la curvatura escalar de g no es negativa. Se dice que una variedad de Lorentz ( M , g ) es un desarrollo de un conjunto de datos inicial ( M , g , k ) si hay una incrustación de hipersuperficie (necesariamente similar al espacio) de M en M , junto con un campo vectorial normal unitario continuo, tal que la métrica inducida es g y la segunda forma fundamental con respecto a la unidad normal dada es k .

Esta definición está motivada a partir de la geometría lorentziana . Dada una variedad de Lorentz ( M , g ) de dimensión n + 1 y una inmersión espacial f desde una variedad M de n dimensiones conectada en M que tiene un paquete normal trivial, también se puede considerar la métrica de Riemann inducida g = f ^* g como la segunda forma fundamental k de f con respecto a cualquiera de las dos opciones de campo vectorial normal unitario continuo a lo largo de f . El triple ( M , g , k ) es un conjunto de datos inicial. Según las ecuaciones de Gauss-Codazzi , se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {G}}(\nu ,\nu )&={\frac {1}{2}}{\Big (}R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} ^{g}k)^{2}{\Big )}\\{\overline {G}}(\nu ,\cdot )&=d(\operatorname {tr} ^{g}k)-\operatorname {div} ^{g}k.\end{aligned}}}$

donde G denota el tensor de Einstein Ric ^g -1/2R ^g g de g y ν denota el campo vectorial normal unitario continuo a lo largo de f utilizado para definir k . Entonces, la condición de energía dominante dada anteriormente es, en este contexto lorentziano, idéntica a la afirmación de que G ( ν , ⋅) , cuando se ve como un campo vectorial a lo largo de f , es temporal o nulo y está orientado en la misma dirección que ν . ^[3]

Los extremos de conjuntos de datos iniciales asintóticamente planos

En la literatura existen varias nociones diferentes de "asintóticamente plano" que no son mutuamente equivalentes. Generalmente se define en términos de espacios ponderados de Hölder o espacios ponderados de Sobolev.

Sin embargo, existen algunas características que son comunes a prácticamente todos los enfoques. Se considera un conjunto de datos inicial ( M , g , k ) que puede tener o no un límite; Sea n su dimensión. Se requiere que haya un subconjunto compacto K de M tal que cada componente conectado del complemento M − K sea difeomorfo al complemento de una bola cerrada en el espacio euclidiano ℝ ⁿ . Estos componentes conectados se denominan extremos de M.

Declaraciones formales

Schoen y Yau (1979)

Sea ( M , g , 0) un conjunto de datos iniciales simétricos en el tiempo que satisfacen la condición de energía dominante. Supongamos que ( M , g ) es una variedad con límite de Riemann suave tridimensional orientada, y que cada componente del límite tiene una curvatura media positiva. Supongamos que tiene un extremo y es asintóticamente Schwarzschild en el siguiente sentido:

Supongamos que K es un subconjunto precompacto abierto de M tal que existe un difeomorfismo Φ : ℝ ³ − B ₁ (0) → M − K , y supongamos que existe un número m tal que el 2-tensor simétrico

${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}-{\frac {m}{2|x|}}\delta _{ij}}$

en ℝ ³ − B ₁ (0) es tal que para cualquier i , j , p , q , las funciones y están todas acotadas. ${\displaystyle |x|^{2}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$

El teorema de Schoen y Yau afirma que m debe ser no negativo. Si, además, las funciones y están acotadas para cualquiera , entonces m debe ser positiva a menos que el límite de M esté vacío y ( M , g ) sea isométrico a ℝ ³ con su métrica estándar de Riemann. ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q,r,s,t,}$

Tenga en cuenta que las condiciones sobre h afirman que h , junto con algunas de sus derivadas, son pequeñas cuando x es grande. Dado que h mide el defecto entre g en las coordenadas Φ y la representación estándar de t = segmento constante de la métrica de Schwarzschild , estas condiciones son una cuantificación del término "asintóticamente Schwarzschild". Esto puede interpretarse en un sentido puramente matemático como una forma fuerte de "asintóticamente plano", donde el coeficiente de | x | ⁻¹ parte de la expansión de la métrica se declara como un múltiplo constante de la métrica euclidiana, a diferencia de un 2-tensor simétrico general.

Tenga en cuenta también que el teorema de Schoen y Yau, como se indicó anteriormente, es en realidad (a pesar de las apariencias) una forma fuerte del caso de "extremos múltiples". Si ( M , g ) es una variedad de Riemann completa con múltiples extremos, entonces el resultado anterior se aplica a cualquier extremo, siempre que haya una esfera de curvatura media positiva en cada dos extremos. Esto está garantizado, por ejemplo, si cada extremo es asintóticamente plano en el sentido anterior; se puede elegir una esfera de coordenadas grande como límite y eliminar el resto correspondiente de cada extremo hasta tener una variedad con límite de Riemann con un solo extremo.

Schoen y Yau (1981)

Sea ( M , g , k ) un conjunto de datos inicial que satisface la condición de energía dominante. Supongamos que ( M , g ) es una variedad de Riemann completa, suave y tridimensional orientada (sin límite); supongamos que tiene un número finito de extremos, cada uno de los cuales es asintóticamente plano en el siguiente sentido.

Supongamos que es un subconjunto precompacto abierto que tiene un número finito de componentes conectados y para cada uno hay un difeomorfismo tal que el tensor 2 simétrico satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle K\subset M}$ ${\displaystyle M\smallsetminus K}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \Phi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$y están limitados para todos ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q.}$

Supongamos también que

• ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$y están limitados para cualquier ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$ ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$y para cualquier ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x)}$ ${\displaystyle p,q,i,j}$
• ${\displaystyle |x|^{3}((\Phi _{i}^{\ast }k)_{11}(x)+(\Phi ^{\ast }k)_{22}(x)+(\Phi _{i}^{\ast }k)_{33}(x))}$está ligado.

La conclusión es que la energía ADM de cada uno se define como ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

es no negativo. Además, suponiendo además que

• ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x)}$y están limitados para cualquier ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q,r,s,}$

la suposición de que para algunos implica que n = 1 , que M es difeomorfo a ℝ ³ y que el espacio de Minkowski ℝ ^3,1 es un desarrollo del conjunto de datos inicial ( M , g , k ) . ${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})=0}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$

Witten (1981)

Sea una variedad de Riemann completa, lisa, tridimensional y orientada (sin límite). Sea un tensor 2 simétrico suave tal que ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g}.}$

Supongamos que es un subconjunto precompacto abierto que tiene un número finito de componentes conectados y para cada uno hay un difeomorfismo tal que el tensor 2 simétrico satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle K\subset M}$ ${\displaystyle M\smallsetminus K}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \Phi _{\alpha }:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}=(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$ ${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$y están limitados para todos ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$ ${\displaystyle i,j,p,q.}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x)}$y están limitados para todos ${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x),}$ ${\displaystyle i,j,p.}$

Para cada uno, defina la energía ADM y el momento lineal mediante ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{\alpha })={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

${\displaystyle {\text{P}}(M_{\alpha })_{p}={\frac {1}{8\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{q=1}^{3}{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{pq}-{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{11}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{22}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{33}{\big )}\delta _{pq}{\big )}{\frac {x^{q}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x).}$

Para cada uno, considere esto como un vector en el espacio de Minkowski. La conclusión de Witten es que para cada uno es necesariamente un vector no espacial que apunta al futuro. Si este vector es cero para cualquiera, entonces es difeomorfo y el desarrollo hiperbólico global máximo del conjunto de datos inicial tiene curvatura cero. ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle ({\text{P}}(M_{\alpha })_{1},{\text{P}}(M_{\alpha })_{2},{\text{P}}(M_{\alpha })_{3},{\text{E}}(M_{\alpha }))}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle (M,g,k)}$

Extensiones y comentarios

Según las afirmaciones anteriores, la conclusión de Witten es más fuerte que la de Schoen y Yau. Sin embargo, un tercer artículo de Schoen y Yau ^[4] muestra que su resultado de 1981 implica el de Witten, manteniendo sólo el supuesto adicional de que y están acotados para cualquier resultado. También debe tenerse en cuenta que el resultado de Schoen y Yau de 1981 se basa en su resultado de 1979, que es probado por contradicción; por lo tanto, su extensión del resultado de 1981 también es contradictoria. Por el contrario, la prueba de Witten es lógicamente directa y muestra la energía ADM directamente como una cantidad no negativa. Además, la prueba de Witten en este caso se puede extender sin mucho esfuerzo a variedades de dimensiones superiores, bajo la condición topológica de que la variedad admita una estructura de espín. ^[5] El resultado y la prueba de Schoen y Yau de 1979 se pueden ampliar al caso de cualquier dimensión menor que ocho. ^[6] Más recientemente, el resultado de Witten, utilizando los métodos de Schoen y Yau (1981), se ha ampliado al mismo contexto. ^[7] En resumen: siguiendo los métodos de Schoen y Yau, el teorema de la energía positiva ha sido probado en dimensión menor que ocho, mientras que siguiendo a Witten, ha sido probado en cualquier dimensión pero con una restricción al establecimiento de variedades de espín. ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$ ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0}$

En abril de 2017, Schoen y Yau publicaron una preimpresión que demuestra el caso general de dimensiones superiores en el caso especial sin ninguna restricción de dimensión o topología. Sin embargo, aún no ha aparecido (a mayo de 2020) en una revista académica. ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0,}$

Aplicaciones

• En 1984 Schoen utilizó el teorema de la masa positiva en su trabajo que completó la solución del problema de Yamabe .
• El teorema de masa positiva se utilizó en la prueba de Hubert Bray de la desigualdad de Riemann de Penrose .

Referencias

1. En coordenadas locales, esto dice g ^ij k _ij = 0
2. En coordenadas locales, esto dice R - g ^ik g ^jl k _ij k _kl + ( g ^ij k _ij ) ² ≥ 2( g ^pq ( g ^ij k _{pi ; j} - ( g ^ij k _ij ) _{; p} )( g ^kl k _{qk ; l} - ( g ^kl k _kl ) _{; q} )) ^1/2 o, en la notación habitual de "índice elevado y reducido", esto dice R - k ^ij k _ij + ( k _i ⁱ ) ² ≥ 2(( k _pi ^{; yo -} ( k _i ⁱ ) _; k ^pj ; _{j -} ( k ^j _j ) ^; _p )) ^1/2
3. Es típico suponer que M está orientado al tiempo y que ν se define específicamente como el campo vectorial normal unitario que apunta al futuro a lo largo de f ; en este caso, la condición de energía dominante dada anteriormente para un conjunto de datos inicial que surge de una inmersión espacial en M es automáticamente verdadera si se asume la condición de energía dominante en su forma espacio-temporal habitual .
4. Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (1981). "La energía y el momento lineal del espacio-tiempo en la relatividad general" (PDF) . Com. Matemáticas. Física . 79 (1): 47–51. Código bibliográfico : 1981CMaPh..79...47S. doi :10.1007/BF01208285. S2CID  120151656.
5. Bartnik, Robert (1986). "La masa de una variedad asintóticamente plana". Com. Pura aplicación. Matemáticas . 39 (5): 661–693. CiteSeerX 10.1.1.625.6978 . doi :10.1002/cpa.3160390505. 
6. Schoen, Richard M. (1989). "Teoría variacional de la curvatura escalar total funcional para métricas de Riemann y temas relacionados". Temas de cálculo de variaciones (Montecatini Terme, 1987) . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1365. Berlín: Springer. págs. 120-154.
7. Eichmair, Michael; Huang, Lan-Hsuan ; Lee, Dan A.; Schoen, Richard (2016). "El teorema de la masa positiva del espacio-tiempo en dimensiones menores que ocho". Revista de la Sociedad Matemática Europea . 18 (1): 83–121. arXiv : 1110.2087 . doi : 10.4171/JEMS/584 . S2CID  119633794.

• Schoen, Richard; Yau, Shing-Tung (1979). "Sobre la prueba de la conjetura de la masa positiva en la relatividad general". Comunicaciones en Física Matemática . 65 (1): 45–76. Código bibliográfico : 1979CMaPh..65...45S. doi :10.1007/bf01940959. ISSN  0010-3616. S2CID  54217085.
• Schoen, Richard; Yau, Shing-Tung (1981). "Demostración del teorema de la masa positiva. II". Comunicaciones en Física Matemática . 79 (2): 231–260. Código bibliográfico : 1981CMaPh..79..231S. doi :10.1007/bf01942062. ISSN  0010-3616. S2CID  59473203.
• Witten, Eduardo (1981). "Una nueva prueba del teorema de la energía positiva". Comunicaciones en Física Matemática . 80 (3): 381–402. Código bibliográfico : 1981CMaPh..80..381W. doi :10.1007/bf01208277. ISSN  0010-3616. S2CID  1035111.
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• Horowitz, Gary T.; Perry, Malcolm J. (8 de febrero de 1982). "La energía gravitacional no puede volverse negativa". Cartas de revisión física . 48 (6): 371–374. Código bibliográfico : 1982PhRvL..48..371H. doi :10.1103/physrevlett.48.371. ISSN  0031-9007.
• Schoen, Richard; Yau, Shing Tung (8 de febrero de 1982). "Prueba de que la masa de Bondi es positiva". Cartas de revisión física . 48 (6): 369–371. Código bibliográfico : 1982PhRvL..48..369S. doi :10.1103/physrevlett.48.369. ISSN  0031-9007.
• Gibbons, GW; Hawking, suroeste; Horowitz, GT; Perry, MJ (1983). "Teoremas de masas positivas para agujeros negros". Comunicaciones en Física Matemática . 88 (3): 295–308. Código Bib : 1983CMaPh..88..295G. doi :10.1007/BF01213209. SEÑOR  0701918. S2CID  121580771.

Libros de texto

• Choquet-Bruhat, Yvonne. La relatividad general y las ecuaciones de Einstein. Monografías de matemáticas de Oxford. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi+785 págs. ISBN 978-0-19-923072-3 
• Wald, Robert M. Relatividad general. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1984. xiii+491 págs. ISBN 0-226-87032-4