Segunda forma fundamental

Forma cuadrática relacionada con curvaturas de superficies.

En geometría diferencial , la segunda forma fundamental (o tensor de forma ) es una forma cuadrática en el plano tangente de una superficie lisa en el espacio euclidiano tridimensional , generalmente denotada por (léase "dos"). Junto con la primera forma fundamental , sirve para definir invariantes extrínsecas de la superficie, sus curvaturas principales . De manera más general, esta forma cuadrática se define para una subvariedad sumergida suave en una variedad de Riemann . ${\displaystyle \mathrm {I\!I} }$

Superficie en R 3

Definición de segunda forma fundamental

Motivación

La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica S en R ³ fue introducida y estudiada por Gauss . Primero supongamos que la superficie es la gráfica de una función dos veces continuamente diferenciable , z = f ( x , y ) , y que el plano z = 0 es tangente a la superficie en el origen. Entonces f y sus derivadas parciales con respecto a x e y desaparecen en (0,0). Por lo tanto, la expansión de Taylor de f en (0,0) comienza con términos cuadráticos:

${\displaystyle z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+{\text{higher order terms}}\,,}$

y la segunda forma fundamental en el origen en las coordenadas ( x , y ) es la forma cuadrática

${\displaystyle L\,dx^{2}+2M\,dx\,dy+N\,dy^{2}\,.}$

Para un punto suave P en S , se puede elegir el sistema de coordenadas de manera que el plano z = 0 sea tangente a S en P , y definir la segunda forma fundamental de la misma manera.

Notación clásica

La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica general se define como sigue. Sea r = r ( u , v ) una parametrización regular de una superficie en R ³ , donde r es una función suave con valores vectoriales de dos variables. Es común denotar las derivadas parciales de r con respecto a u y v por r _u y r _v . La regularidad de la parametrización significa que r _u y r _v son linealmente independientes para cualquier ( u , v ) en el dominio de r y, por lo tanto, abarcan el plano tangente a S en cada punto. De manera equivalente, el producto vectorial r _u × r _v es un vector distinto de cero normal a la superficie. La parametrización define así un campo de vectores unitarios normales n :

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}\,.}$

La segunda forma fundamental generalmente se escribe como

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}\,,}$

su matriz en la base { r _u , r _v } del plano tangente es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}\,.}$

Los coeficientes L , M , N en un punto dado en el plano paramétrico uv están dados por las proyecciones de las segundas derivadas parciales de r en ese punto sobre la línea normal a S y se pueden calcular con la ayuda del producto escalar como sigue:

${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} \,,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} \,,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} \,.}$

Para un campo de distancia con signo de Hesse H , los coeficientes de la segunda forma fundamental se pueden calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle L=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{u}\,,\quad M=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,,\quad N=-\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,.}$

Notación física

La segunda forma fundamental de una superficie paramétrica general S se define como sigue.

Sea r = r ( u ¹ , u ² ) una parametrización regular de una superficie en R ³ , donde r es una función suave con valores vectoriales de dos variables. Es común denotar las derivadas parciales de r con respecto a u ^α por r _α , α = 1, 2 . La regularidad de la parametrización significa que r ₁ y r ₂ son linealmente independientes para cualquier ( u ¹ , u ² ) en el dominio de r y, por tanto, abarcan el plano tangente a S en cada punto. De manera equivalente, el producto vectorial r ₁ × r ₂ es un vector distinto de cero normal a la superficie. La parametrización define así un campo de vectores unitarios normales n :

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}\,.}$

La segunda forma fundamental generalmente se escribe como

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =b_{\alpha \beta }\,du^{\alpha }\,du^{\beta }\,.}$

La ecuación anterior utiliza la convención de suma de Einstein .

Los coeficientes b _αβ en un punto dado en el plano paramétrico u ¹ u ² están dados por las proyecciones de las segundas derivadas parciales de r en ese punto sobre la línea normal a S y se pueden calcular en términos del vector normal n como sigue:

${\displaystyle b_{\alpha \beta }=r_{,\alpha \beta }^{\ \ \,\gamma }n_{\gamma }\,.}$

Hipersuperficie en una variedad de Riemann

En el espacio euclidiano , la segunda forma fundamental viene dada por

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=-\langle d\nu (v),w\rangle \nu }$

donde está el mapa de Gauss y el diferencial de se considera una forma diferencial con valores vectoriales , y los corchetes denotan el tensor métrico del espacio euclidiano. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle d\nu }$ ${\displaystyle \nu }$

De manera más general, en una variedad de Riemann, la segunda forma fundamental es una forma equivalente de describir el operador de forma (denotado por S ) de una hipersuperficie,

${\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle n=-\langle \nabla _{v}n,w\rangle n=\langle n,\nabla _{v}w\rangle n\,,}$

donde ∇ _v w denota la derivada covariante de la variedad ambiental y n un campo de vectores normales en la hipersuperficie. (Si la conexión afín no tiene torsión , entonces la segunda forma fundamental es simétrica).

El signo de la segunda forma fundamental depende de la elección de la dirección de n (lo que se denomina coorientación de la hipersuperficie; para superficies en el espacio euclidiano, esto viene dado de manera equivalente por una elección de orientación de la superficie).

Generalización a codimensión arbitraria.

La segunda forma fundamental se puede generalizar a una codimensión arbitraria . En ese caso es una forma cuadrática en el espacio tangente con valores en el paquete normal y puede definirse por

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot }\,,}$

donde denota la proyección ortogonal de la derivada covariante sobre el paquete normal. ${\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }}$ ${\displaystyle \nabla _{v}w}$

En el espacio euclidiano , el tensor de curvatura de una subvariedad se puede describir mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .}$

Esto se llama ecuación de Gauss , ya que puede verse como una generalización del Teorema Egregium de Gauss .

Para las variedades riemannianas generales hay que añadir la curvatura del espacio ambiental; si N es una variedad incrustada en una variedad de Riemann ( M , g ) entonces el tensor de curvatura R _N de N con métrica inducida se puede expresar usando la segunda forma fundamental y R _M , el tensor de curvatura de M :

${\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle \,.}$

Ver también

• Primera forma fundamental
• curvatura gaussiana
• Ecuaciones de Gauss-Codazzi
• Operador de forma
• Tercera forma fundamental
• Forma única tautológica

Referencias

• Guggenheimer, Heinrich (1977). "Capítulo 10. Superficies". Geometría diferencial . Dover. ISBN 0-486-63433-7.
• Kobayashi, Shoshichi y Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 2 (Nueva edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
• Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 3) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-72-1.

enlaces externos

• Steven Verpoort (2008) Geometría de la segunda forma fundamental: propiedades de curvatura y aspectos variacionales de Katholieke Universiteit Leuven .