Ecuaciones de Gauss-Codazzi

Fórmulas fundamentales que vinculan el tensor métrico y de curvatura de una variedad

En la geometría riemanniana y la geometría pseudoriemanniana , las ecuaciones de Gauss-Codazzi (también llamadas ecuaciones de Gauss-Codazzi-Weingarten-Mainardi o fórmulas de Gauss-Peterson-Codazzi ^[1] ) son fórmulas fundamentales que vinculan la métrica inducida y la segunda forma fundamental. de una subvariedad de (o inmersión en) una variedad riemanniana o pseudoriemanniana .

Las ecuaciones se descubrieron originalmente en el contexto de superficies en el espacio euclidiano tridimensional . En este contexto, la primera ecuación, a menudo llamada ecuación de Gauss (en honor a su descubridor Carl Friedrich Gauss ), dice que la curvatura de Gauss de la superficie, en cualquier punto dado, está dictada por las derivadas del mapa de Gauss en ese punto, como codificado por la segunda forma fundamental . ^[2] La segunda ecuación, llamada ecuación de Codazzi o ecuación de Codazzi-Mainardi , establece que la derivada covariante de la segunda forma fundamental es completamente simétrica. Lleva el nombre de Gaspare Mainardi (1856) y Delfino Codazzi (1868-1869), quienes obtuvieron el resultado de forma independiente, ^[3] aunque fue descubierto antes por Karl Mikhailovich Peterson . ^{[4] [5]}

Declaración formal

Sea una subvariedad incrustada de n dimensiones de una variedad de Riemann P de dimensión . Hay una inclusión natural del paquete tangente de M en el de P mediante el empuje hacia adelante , y el cokernel es el paquete normal de M : ${\displaystyle i\colon M\subset P}$ ${\displaystyle n+p}$

${\displaystyle 0\rightarrow T_{x}M\rightarrow T_{x}P|_{M}\rightarrow T_{x}^{\perp }M\rightarrow 0.}$

La métrica divide esta secuencia corta y exacta , y así

${\displaystyle TP|_{M}=TM\oplus T^{\perp }M.}$

En relación con esta división, la conexión Levi-Civita de P se descompone en componentes tangenciales y normales. Para cada campo vectorial Y en M , ${\displaystyle \nabla '}$ ${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle \nabla '_{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right)+\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).}$

Dejar

${\displaystyle \nabla _{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right),\quad \alpha (X,Y)=\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).}$

La fórmula de Gauss ^[6] ahora afirma que es la conexión de Levi-Civita para M , y es una forma vectorial simétrica con valores en el paquete normal. A menudo se la conoce como la segunda forma fundamental . ${\displaystyle \nabla _{X}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Un corolario inmediato es la ecuación de Gauss para el tensor de curvatura . Para , ${\displaystyle X,Y,Z,W\in TM}$

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle }$

donde es el tensor de curvatura de Riemann de P y R es el de M. ${\displaystyle R'}$

La ecuación de Weingarten es análoga a la fórmula de Gauss para una conexión en el fibrado normal. Sea y un campo vectorial normal. Luego descomponga la derivada covariante ambiental de X en componentes tangenciales y normales: ${\displaystyle X\in TM}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \nabla '_{X}\xi =\top \left(\nabla '_{X}\xi \right)+\bot \left(\nabla '_{X}\xi \right)=-A_{\xi }(X)+D_{X}(\xi ).}$

Entonces

1. La ecuación de Weingarten : ${\displaystyle \langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle }$
2. D _X es una conexión métrica en el paquete normal.

Hay, por tanto, un par de conexiones: ∇, definida en el fibrado tangente de M ; y D , definido en el paquete normal de M . Estos se combinan para formar una conexión en cualquier producto tensorial de copias de T M y T ^⊥ M. En particular, definieron la derivada covariante de : ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha \left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right).}$

La ecuación de Codazzi-Mainardi es

${\displaystyle \bot \left(R'(X,Y)Z\right)=\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)-\left({\tilde {\nabla }}_{Y}\alpha \right)(X,Z).}$

Dado que cada inmersión es en particular una incrustación local, las fórmulas anteriores también son válidas para las inmersiones.

Ecuaciones de Gauss-Codazzi en geometría diferencial clásica

Declaración de ecuaciones clásicas.

En la geometría diferencial clásica de superficies, las ecuaciones de Codazzi-Mainardi se expresan mediante la segunda forma fundamental ( L , M , N ):

${\displaystyle L_{v}-M_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{12}+M\left({\Gamma ^{2}}_{12}-{\Gamma ^{1}}_{11}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{11}}$

${\displaystyle M_{v}-N_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{22}+M\left({\Gamma ^{2}}_{22}-{\Gamma ^{1}}_{12}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{12}}$

La fórmula de Gauss, dependiendo de cómo se elija definir la curvatura gaussiana, puede ser una tautología . Se puede afirmar como

${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{eg-f^{2}}},}$

donde ( e , f , g ) son los componentes de la primera forma fundamental.

Derivación de ecuaciones clásicas.

Considere una superficie paramétrica en el espacio tridimensional euclidiano,

${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$

donde las tres funciones componentes dependen suavemente de pares ordenados ( u , v ) en algún dominio abierto U en el plano uv . Supongamos que esta superficie es regular , lo que significa que los vectores r _u y r _v son linealmente independientes . Complete esto hasta una base { r _u , r _v , n }, seleccionando un vector unitario n normal a la superficie. Es posible expresar las segundas derivadas parciales de r (vectores de ) con los símbolos de Christoffel y los elementos de la segunda forma fundamental. Elegimos los dos primeros componentes de la base porque son intrínsecos a la superficie y pretendemos demostrar la propiedad intrínseca de la curvatura gaussiana . El último término de la base es extrínseco. ${\displaystyle \mathbb {R^{3}} }$

${\displaystyle \mathbf {r} _{uu}={\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {r} _{uv}={\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{v}+M\mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {r} _{vv}={\Gamma ^{1}}_{22}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{22}\mathbf {r} _{v}+N\mathbf {n} }$

El teorema de Clairaut establece que las derivadas parciales conmutan:

${\displaystyle \left(\mathbf {r} _{uu}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_{u}}$

Si diferenciamos r _uu con respecto a v y r _uv con respecto a u , obtenemos:

${\displaystyle \left({\Gamma ^{1}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left({\Gamma ^{2}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{vv}+L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}}$ ${\displaystyle =\left({\Gamma ^{1}}_{12}\right)_{u}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}}$

Ahora sustituya las expresiones anteriores por las segundas derivadas e iguale los coeficientes de n :

${\displaystyle M{\Gamma ^{1}}_{11}+N{\Gamma ^{2}}_{11}+L_{v}=L{\Gamma ^{1}}_{12}+M{\Gamma ^{2}}_{12}+M_{u}}$

Reorganizando esta ecuación se obtiene la primera ecuación de Codazzi-Mainardi.

La segunda ecuación se puede derivar de manera similar.

Curvatura media

Sea M una variedad lisa de m dimensiones inmersa en la variedad lisa de dimensiones ( m  +  k ) P . Sea un marco ortonormal local de campos vectoriales normales a M. Entonces podemos escribir, ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}}$

${\displaystyle \alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}.}$

Si, ahora, hay un marco ortonormal local (de campos vectoriales tangentes) en el mismo subconjunto abierto de M , entonces podemos definir las curvaturas medias de la inmersión por ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}}$

${\displaystyle H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(E_{i},E_{i}).}$

En particular, si M es una hipersuperficie de P , es decir , entonces sólo hay una curvatura media de la que hablar. La inmersión se llama mínima si todos los elementos son idénticamente cero. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle H_{j}}$

Observe que la curvatura media es una traza, o promedio, de la segunda forma fundamental, para cualquier componente dado. A veces, la curvatura media se define multiplicando la suma del lado derecho por . ${\displaystyle 1/m}$

Ahora podemos escribir las ecuaciones de Gauss-Codazzi como

${\displaystyle \langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)\right).}$

Contratar los componentes nos da ${\displaystyle Y,Z}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)\right).}$

Cuando M es una hipersuperficie, esto se simplifica a

${\displaystyle \operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)-Hh(X,W)}$

dónde y . En ese caso, se produce una contracción más, ${\displaystyle n=e_{1},}$ ${\displaystyle h=\alpha _{1}}$ ${\displaystyle H=H_{1}}$

${\displaystyle R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\|h\|^{2}-H^{2}}$

donde y son las curvaturas escalares de P y M respectivamente, y ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \|h\|^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i},E_{j})^{2}.}$

Si , la ecuación de curvatura escalar podría ser más complicada. ${\displaystyle k>1}$

Ya podemos utilizar estas ecuaciones para sacar algunas conclusiones. Por ejemplo, cualquier inmersión mínima ^[7] en la esfera redonda debe ser de la forma ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1}$

${\displaystyle \Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0}$

donde va de 1 a y ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m+k+1}$

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}}\nabla _{E_{i}}}$

es el laplaciano en M y es una constante positiva. ${\displaystyle \lambda >0}$

Ver también

• Marco Darboux

Notas

1. Toponogov (2006)
2. Esta ecuación es la base del teorema egregium de Gauss . Gauss 1828.
3. (Kline 1972, pag. 885).
4. Peterson (1853)
5. Ivánov 2001.
6. Terminología de Spivak, Volumen III.
7. Takahashi 1966

Referencias

Referencias históricas

• Bonnet, Ossian (1867), "Memoire sur la théorie des Surfaces applys sur une Surface donnee", Journal de l'École Polytechnique , 25 : 31–151
• Codazzi, Delfino (1868–1869), "Sulle coordinada curvilinee d'una superficie dello spazio", Ann. Estera. Pura aplicación. , 2 : 101–19, doi : 10.1007/BF02419605, S2CID  177803350
• Gauss, Carl Friedrich (1828), "Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas" [Discusiones generales sobre superficies curvas], Comm. Soc. Tengo. (en latín), 6("Discusiones generales sobre superficies curvas")
• Ivanov, AB (2001) [1994], "Ecuaciones de Peterson-Codazzi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kline, Morris (1972), Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos , Oxford University Press , ISBN 0-19-506137-3
• Mainardi, Gaspare (1856), "Su la teoría general delle superficie", Giornale Dell' Istituto Lombardo , 9 : 385–404
• Peterson, Karl Mikhailovich (1853), Über die Biegung der Flächen , tesis doctoral, Universidad de Dorpat.

Libros de texto

• do Carmo, Manfredo P. Geometría diferencial de curvas y superficies. Segunda edición revisada y actualizada. Dover Publications, Inc., Mineola, Nueva York, 2016. xvi+510 págs. ISBN 978-0-486-80699-0 , 0-486-80699-5 
• do Carmo, Manfredo Perdigão. Geometría riemanniana. Traducido de la segunda edición portuguesa por Francis Flaherty. Matemáticas: teoría y aplicaciones. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 págs. ISBN 0-8176-3490-8 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi. Fundamentos de la geometría diferencial. vol. II. Tratados intercientíficos sobre matemáticas puras y aplicadas, núm. 15, vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., Nueva York-Londres-Sydney 1969 xv+470 págs.
• O'Neill, Barrett. Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad. Matemáticas puras y aplicadas, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York, 1983. xiii+468 págs. ISBN 0-12-526740-1 
• Toponogov, Víctor Andreevich (2006). Geometría diferencial de curvas y superficies: una guía concisa . Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4384-3.

Artículos

• Takahashi, Tsunero (1966), "Inmersiones mínimas de variedades de Riemann", Revista de la Sociedad Matemática de Japón , 18 (4), doi : 10.2969/jmsj/01840380 , S2CID  122849496
• Simón, James. Variedades mínimas en variedades riemannianas. Ana. de Matemáticas. (2) 88 (1968), 62-105.
• [1]
• [2]
• [3]

enlaces externos

• Ecuaciones de Peterson-Mainardi-Codazzi - de Wolfram MathWorld
• Ecuaciones de Peterson-Codazzi