Desigualdad de Sobolev

Teorema sobre inclusiones entre espacios de Sobolev

En matemáticas , existe en el análisis matemático una clase de desigualdades de Sobolev , que relacionan normas que incluyen las de los espacios de Sobolev . Estos se utilizan para demostrar el teorema de incrustación de Sobolev , que proporciona inclusiones entre ciertos espacios de Sobolev , y el teorema de Rellich-Kondrachov que muestra que, en condiciones ligeramente más fuertes, algunos espacios de Sobolev están incrustados de forma compacta en otros. Llevan el nombre de Sergei Lvovich Sobolev .

Teorema de incrustación de Sobolev

Representación gráfica de las condiciones de incrustación. El espacio W ^3,p , representado por un punto azul en el punto (1/ p , 3) ​​, se incrusta en los espacios indicados por puntos rojos, todos sobre una línea con pendiente n . El círculo blanco en (0,0) indica la imposibilidad de incrustaciones óptimas en L ^∞ .

Sea W ^k,p ( R ⁿ ) el espacio de Sobolev que consta de todas las funciones con valores reales en R ⁿ cuyas primeras k derivadas débiles son funciones en L p . Aquí k es un número entero no negativo y 1 ≤ p < ∞ . La primera parte del teorema de incrustación de Sobolev establece que si k > ℓ , p < n y 1 ≤ p < q < ∞ son dos números reales tales que

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}},}$

entonces

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})}$

y la incrustación es continua. En el caso especial de k = 1 y ℓ = 0 , la incrustación de Sobolev da

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$

donde p ^∗ es el conjugado de Sobolev de p , dado por

${\displaystyle {\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}.}$

Este caso especial de incorporación de Sobolev es una consecuencia directa de la desigualdad Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. El resultado debe interpretarse en el sentido de que si una función in tiene una derivada in , entonces ella misma ha mejorado su comportamiento local, lo que significa que pertenece al espacio donde . (Tenga en cuenta que , de modo que .) Por lo tanto, cualquier singularidad local en debe ser más suave que para una función típica en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p^{*}}}$ ${\displaystyle p^{*}>p}$ ${\displaystyle 1/p^{*}<1/p}$ ${\displaystyle p^{*}>p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Si la línea de la imagen de arriba cruza el eje y en s = r + α , la incrustación en un espacio de Hölder C ^{r, α} (rojo) se cumple. Los círculos blancos indican puntos de intersección en los que las incrustaciones óptimas no son válidas.

La segunda parte del teorema de incrustación de Sobolev se aplica a las incrustaciones en espacios de Hölder C ^r,α ( R ⁿ ) . Si n < pk y

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ or, equivalently, }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}}$

con α ∈ (0, 1) entonces se tiene la incrustación

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).}$

Esta parte de la incorporación de Sobolev es una consecuencia directa de la desigualdad de Morrey. Intuitivamente, esta inclusión expresa el hecho de que la existencia de suficientes derivadas débiles implica cierta continuidad de las derivadas clásicas. Si entonces por cada . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \gamma \in (0,1)}$

En particular, siempre que , el criterio de incrustación se mantenga con algún valor positivo de . Es decir, para una función en , si tiene derivadas en y , entonces será continua (y en realidad Hölder continua con algún exponente positivo ). ${\displaystyle pk>n}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle pk>n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$

Generalizaciones

El teorema de incrustación de Sobolev es válido para espacios de Sobolev W ^k,p ( M ) en otros dominios adecuados M . En particular (Aubin 1982, Capítulo 2; Aubin 1976), ambas partes de la incrustación de Sobolev se mantienen cuando

• M es un conjunto abierto acotado en R ⁿ con límite de Lipschitz (o cuyo límite satisface la condición del cono ; Adams 1975, Teorema 5.4)
• M es una variedad riemanniana compacta
• M es una variedad de Riemann compacta con límite y el límite es Lipschitz (lo que significa que el límite se puede representar localmente como una gráfica de una función continua de Lipschitz).
• M es una variedad de Riemann completa con radio de inyectividad δ > 0 y curvatura seccional acotada .

Si M es un conjunto abierto acotado en R ⁿ con frontera continua, entonces W ^1,2 ( M ) está incrustado de forma compacta en L ² ( M ) (Nečas 2012, Sección 1.1.5, Teorema 1.4).

Teorema de incorporación de Kondrachov

En una variedad compacta M con límite C ¹ , el teorema de incrustación de Kondrachov establece que si k > ℓ y

$${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}<{\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}}}$$

${\displaystyle W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)}$

es completamente continuo (compacto). ^[1] Tenga en cuenta que la condición es igual que en la primera parte del teorema de incrustación de Sobolev, con la igualdad reemplazada por una desigualdad, lo que requiere un espacio más regular W ^k,p ( M ) .

Desigualdad Gagliardo-Nirenberg-Sobolev

Supongamos que u es una función de valor real continuamente diferenciable en R ⁿ con soporte compacto . Entonces para 1 ≤ p < n existe una constante C que depende sólo de n y p tal que

${\displaystyle \|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

con . El caso se debe a Sobolev ^[2] y el caso a Gagliardo y Nirenberg de forma independiente. ^{[3] [4]} La desigualdad Gagliardo-Nirenberg-Sobolev implica directamente la incorporación de Sobolev ${\displaystyle 1/p*=1/p-1/n}$ ${\displaystyle 1<p<n}$ ${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).}$

Las incrustaciones en otros órdenes en R ⁿ se obtienen luego mediante una iteración adecuada.

Lema de Hardy-Littlewood-Sobolev

La prueba original de Sobolev del teorema de incrustación de Sobolev se basó en lo siguiente, a veces conocido como teorema de integración fraccional de Hardy-Littlewood-Sobolev . Un enunciado equivalente se conoce como lema de Sobolev en (Aubin 1982, Capítulo 2). Hay una prueba en (Stein 1970, Capítulo V, §1.3).

Sea 0 < α < n y 1 < p < q < ∞ . Sea I _α = (−Δ) ^{− α /2} el potencial de Riesz en R ⁿ . Entonces, para q definido por

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}}$

existe una constante C que depende sólo de p tal que

${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

Si p = 1 , entonces se tienen dos posibles estimaciones de reemplazo. La primera es la estimación de tipo débil más clásica:

${\displaystyle m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},}$

donde 1/ q = 1 − α / n . Alternativamente se tiene la estimación

$${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},}$$

transformada de Riesztransformadas de Riesz ${\displaystyle Rf}$

El lema de Hardy-Littlewood-Sobolev implica la incrustación de Sobolev esencialmente por la relación entre las transformadas de Riesz y los potenciales de Riesz.

La desigualdad de Morrey

Supongamos norte < p ≤ ∞ . Entonces existe una constante C , que depende sólo de p y n , tal que

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}}$

para todo u ∈ C ¹ ( R ⁿ ) ∩ L ^p ( R ⁿ ) , donde

${\displaystyle \gamma =1-{\frac {n}{p}}.}$

Por lo tanto, si u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ) , entonces u es de hecho una continua de Hölder de exponente γ , después de posiblemente haber sido redefinida en un conjunto de medida 0.

Un resultado similar se cumple en un dominio acotado U con límite de Lipschitz. En este caso,

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}}$

donde la constante C depende ahora de n , p y U. Esta versión de la desigualdad se deriva de la anterior al aplicar la extensión que preserva la norma de W ^{1, p} ( U ) a W ^{1, p} ( R ⁿ ) . La desigualdad lleva el nombre de Charles B. Morrey Jr.

Desigualdades generales de Sobolev

Sea U un subconjunto abierto acotado de R ⁿ , con una frontera C ¹ . ( U también puede ser ilimitado, pero en este caso su límite, si existe, debe comportarse lo suficientemente bien).

Supongamos que u ∈ W ^k,p ( U ) . Entonces consideramos dos casos:

k < norte / p

En este caso concluimos que u ∈ L ^q ( U ) , donde

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}.}$

Tenemos además el presupuesto.

${\displaystyle \|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}}$,

la constante C depende sólo de k , p , n y U.

k > n / p

Aquí concluimos que u pertenece a un espacio de Hölder , más precisamente:

${\displaystyle u\in C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U),}$

dónde

${\displaystyle \gamma ={\begin{cases}\left[{\frac {n}{p}}\right]+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}}$

Tenemos además el presupuesto.

${\displaystyle \|u\|_{C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)},}$

la constante C depende sólo de k , p , n , γ y U. En particular, la condición garantiza que sea continua (y en realidad Hölder continua con algún exponente positivo). ${\displaystyle k>n/p}$ ${\displaystyle u}$

Caso p = n , k = 1

Si , entonces u es una función de la oscilación media acotada y ${\displaystyle u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})}$

${\displaystyle \|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},}$

para alguna constante C que depende solo de n . ^{[5] : §I.2} Esta estimación es un corolario de la desigualdad de Poincaré .

Desigualdad de Nash

La desigualdad de Nash, introducida por John Nash  (1958), establece que existe una constante C > 0 , tal que para todo u ∈ L ¹ ( R ⁿ ) ∩ W ^1,2 ( R ⁿ ) ,

${\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

La desigualdad se deriva de las propiedades básicas de la transformada de Fourier . De hecho, integrando sobre el complemento de la bola de radio ρ ,

porque . Por otra parte, uno tiene ${\displaystyle 1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}}$

${\displaystyle |{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}}$

que, cuando se integra sobre la bola de radio ρ da

donde ω _n es el volumen de la n -bola . Eligiendo ρ para minimizar la suma de ( 1 ) y ( 2 ) y aplicando el teorema de Parseval:

${\displaystyle \|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}}$

da la desigualdad.

En el caso especial de n = 1 , la desigualdad de Nash se puede extender al caso L ^p , en cuyo caso es una generalización de la desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev (Brezis 2011, Comentarios al capítulo 8). De hecho, si I es un intervalo acotado, entonces para todo 1 ≤ r < ∞ y todo 1 ≤ q ≤ p < ∞ se cumple la siguiente desigualdad

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},}$

dónde:

${\displaystyle a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.}$

Desigualdad logarítmica de Sobolev

El más simple de los teoremas de incorporación de Sobolev, descrito anteriormente, establece que si una función en tiene una derivada en , entonces ella misma está en , donde ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p^{*}}}$

${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n.}$

Podemos ver que cuando tiende al infinito, se aproxima a . Por lo tanto, si la dimensión del espacio en el que se define es grande, la mejora en el comportamiento local de tener una derivada en es pequeña ( es sólo ligeramente mayor que ). En particular, para funciones en un espacio de dimensión infinita, no podemos esperar ningún análogo directo de los teoremas de incorporación clásicos de Sobolev. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p^{*}}$ ${\displaystyle p}$

Sin embargo, existe un tipo de desigualdad de Sobolev, establecida por Leonard Gross (Gross 1975) y conocida como desigualdad de Sobolev logarítmica , que tiene constantes independientes de las dimensiones y, por lo tanto, continúa manteniéndose en el entorno de dimensiones infinitas. La desigualdad logarítmica de Sobolev dice, aproximadamente, que si una función está en con respecto a una medida gaussiana y tiene una derivada que también está en , entonces está en " -log", lo que significa que la integral de es finita. La desigualdad que expresa este hecho tiene constantes que no involucran la dimensión del espacio y, por lo tanto, la desigualdad se cumple en el establecimiento de una medida gaussiana en un espacio de dimensión infinita. Ahora se sabe que las desigualdades logarítmicas de Sobolev son válidas para muchos tipos diferentes de medidas, no sólo para medidas gaussianas. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle |f|^{p}\log |f|}$

Aunque podría parecer que la condición -log es una mejora muy pequeña con respecto a estar en , esta mejora es suficiente para derivar un resultado importante, a saber, hipercontractividad para el operador de forma de Dirichlet asociado . Este resultado significa que si una función está en el rango exponencial del operador de forma de Dirichlet, lo que significa que la función tiene, en cierto sentido, infinitas derivadas en , entonces la función pertenece a para algunos (Teorema 6 de Gross 1975) . ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle L^{p^{*}}}$ ${\displaystyle p^{*}>p}$

Referencias

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