Desigualdades logarítmicas de Sobolev

Clase de desigualdades

En matemáticas , las desigualdades logarítmicas de Sobolev son una clase de desigualdades que involucran la norma de una función f , su logaritmo y su gradiente . Estas desigualdades fueron descubiertas y nombradas por Leonard Gross , quien las estableció en forma independiente de las dimensiones, ^{[1] [2]} en el contexto de la teoría constructiva de campos cuánticos . Otros matemáticos descubrieron resultados similares antes y se conocen muchas variaciones de tales desigualdades. ${\displaystyle \nabla f}$

Gross ^[3] demostró la desigualdad:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}f(x){\big |}^{2}\log {\big |}f(x){\big |}\,d\nu (x)\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\nu (x)+\|f\|_{2}^{2}\log \|f\|_{2},}$

¿Dónde está la norma de , siendo una medida gaussiana estándar ? A diferencia de las desigualdades de Sobolev clásicas , la desigualdad log-Sobolev de Gross no tiene ninguna constante dependiente de la dimensión, lo que la hace aplicable en el límite de dimensión infinita. ${\displaystyle \|f\|_{2}}$ ${\displaystyle L^{2}(\nu )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

En particular, se dice que una medida de probabilidad en satisface la desigualdad de log-Sobolev con un si constante para cualquier función suave f ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle \operatorname {Ent} _{\mu }(f^{2})\leq C\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\big |}\nabla f(x){\big |}^{2}\,d\mu (x),}$

¿Dónde es funcional la entropía? ${\displaystyle \operatorname {Ent} _{\mu }(f^{2})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\log {\frac {f^{2}}{\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{2}\,d\mu (x)}}\,d\mu (x)}$

Notas

1. Bruto 1975a
2. Bruto 1975b
3. Bruto 1975a

Referencias

• Gross, Leonard (1975a), "Desigualdades logarítmicas de Sobolev", American Journal of Mathematics , 97 (4): 1061–1083, doi :10.2307/2373688, JSTOR  2373688
• Gross, Leonard (1975b), "Hipercontractividad y desigualdades logarítmicas de Sobolev para la forma Clifford-Dirichlet", Duke Journal of Mathematics , 42 (3): 383–396, doi :10.1215/S0012-7094-75-04237-4