La conjetura de Yau sobre el primer valor propio

En matemáticas, la conjetura de Yau sobre el primer valor propio es, a partir de 2018, una conjetura sin resolver propuesta por Shing-Tung Yau en 1982. Pregunta:

¿Es cierto que el primer valor propio del operador de Laplace-Beltrami en una hipersuperficie mínima incrustada de es ? ${\displaystyle S^{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

Si es cierto, implicará que el área de hipersuperficies mínimas incrustadas tendrá un límite superior que dependerá únicamente del género . ${\displaystyle S^{3}}$

Algunas posibles reformulaciones son las siguientes:

• El primer valor propio de cada hipersuperficie mínima incrustada cerrada en la esfera unitaria (1) es ${\displaystyle M^{n}}$ ${\displaystyle S^{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

• El primer valor propio de una hipersuperficie mínima compacta incrustada de la esfera estándar ( n  + 1) con curvatura seccional 1 es ${\displaystyle M^{n}}$ ${\displaystyle n}$

• Si es la esfera unitaria ( n  + 1) con su métrica redonda estándar, entonces el primer valor propio laplaciano en una hipersuperficie mínima incrustada cerrada es ${\displaystyle S^{n+1}}$ ${\displaystyle {\sum }^{n}\subset S^{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

La conjetura de Yau se verifica para varios casos especiales, pero aún está abierta en general.

Shiing-Shen Chern conjeturó que una hipersuperficie cerrada y mínimamente sumergida en (1), cuya segunda forma fundamental tiene longitud constante, es isoparamétrica. De ser cierto, habría establecido la conjetura de Yau para la hipersuperficie mínima cuya segunda forma fundamental tiene longitud constante. ${\displaystyle S^{n+1}}$

Una posible generalización de la conjetura de Yau:

Sea una subvariedad mínima cerrada en la esfera unitaria (1) con dimensión satisfactoria . ¿Es cierto que el primer valor propio de es ? ${\displaystyle M^{d}}$ ${\displaystyle S^{N+1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M^{d}}$ ${\displaystyle d\geq {\frac {2}{3}}n+1}$ ${\displaystyle M^{d}}$ ${\displaystyle d}$

Otras lecturas

• Yau, ST (1982). Seminario de Geometría Diferencial . Anales de estudios de matemáticas. vol. 102. Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 669–706. ISBN 0-691-08268-5.(Problema 100)
• Ge, J.; Tang, Z. (2012). "Conjetura de Chern e hipersuperficies isoparamétricas". Geometría diferencial: bajo la influencia de SS Chern . Beijing: Prensa de educación superior . ISBN 978-1-57146-249-7.
• Tang, Z.; Yan, W. (2013). "Foliación isoparamétrica y conjetura de Yau sobre el primer valor propio". Revista de Geometría Diferencial . 94 (3): 521–540. arXiv : 1201.0666 . doi : 10.4310/jdg/1370979337.