Flujo de curvatura media

Ecuación diferencial parcial parabólica

En el campo de la geometría diferencial en matemáticas , el flujo de curvatura media es un ejemplo de un flujo geométrico de hipersuperficies en una variedad de Riemann (por ejemplo, superficies lisas en un espacio euclidiano tridimensional ). Intuitivamente, una familia de superficies evoluciona bajo un flujo de curvatura media si la componente normal de la velocidad a la que se mueve un punto de la superficie está dada por la curvatura media de la superficie. Por ejemplo, una esfera redonda evoluciona bajo un flujo de curvatura media al contraerse hacia adentro de manera uniforme (ya que el vector de curvatura media de una esfera apunta hacia adentro). Salvo casos especiales, el flujo de curvatura media desarrolla singularidades .

Bajo la restricción de que el volumen encerrado es constante, esto se llama flujo de tensión superficial .

Es una ecuación diferencial parcial parabólica y puede interpretarse como "suavizado".

Existencia y unicidad

Michael Gage y Richard S. Hamilton demostraron lo siguiente como una aplicación del teorema de existencia general de Hamilton para flujos geométricos parabólicos. ^{[1] [2]}

Sea una variedad compacta y suave , sea una variedad Riemanniana completamente suave y sea una inmersión suave . Luego hay un número positivo , que podría ser infinito, y una aplicación con las siguientes propiedades: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M',g)}$ ${\displaystyle f:M\to M'}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F:[0,T)\times M\to M'}$

• ${\displaystyle F(0,\cdot )=f}$
• ${\displaystyle F(t,\cdot ):M\to M'}$Es una inmersión suave para cualquier ${\displaystyle t\in [0,T)}$
• como uno tiene en ${\displaystyle t\searrow 0,}$ ${\displaystyle F(t,\cdot )\to f}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$
• para cualquiera , la derivada de la curva en es igual al vector de curvatura media de en . ${\displaystyle (t_{0},p)\in (0,T)\times M}$ ${\displaystyle t\mapsto F(t,p)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F(t_{0},\cdot )}$ ${\displaystyle p}$
• si hay cualquier otro mapa con las cuatro propiedades anteriores, entonces y para cualquier ${\displaystyle {\widetilde {F}}:[0,{\widetilde {T}})\times M\to M'}$ ${\displaystyle {\widetilde {T}}\leq T}$ ${\displaystyle {\widetilde {F}}(t,p)=F(t,p)}$ ${\displaystyle (t,p)\in [0,{\widetilde {T}})\times M.}$

Necesariamente, la restricción de to es . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (0,T)\times M}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Uno se refiere al flujo de curvatura media (máximamente extendido) con datos iniciales . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

Soluciones convexas

Siguiendo el trabajo trascendental de Hamilton en 1982 sobre el flujo de Ricci , en 1984 Gerhard Huisken empleó los mismos métodos para el flujo de curvatura media para producir el siguiente resultado análogo: ^[3]

• Si es el espacio euclidiano , donde denota la dimensión de , entonces es necesariamente finito. Si la segunda forma fundamental de la 'inmersión inicial' es estrictamente positiva, entonces la segunda forma fundamental de la inmersión también es estrictamente positiva para cada , y además, si se elige la función tal que el volumen de la variedad de Riemann sea independiente de , entonces mientras las inmersiones convergen suavemente hacia una inmersión cuya imagen es una esfera redonda. ${\displaystyle (M',g)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(t,\cdot )}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle c:(0,T)\to (0,\infty )}$ ${\displaystyle (M,(c(t)F(t,\cdot ))^{\ast }g_{\text{Euc}})}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\nearrow T}$ ${\displaystyle c(t)F(t,\cdot ):M\to \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Tenga en cuenta que si y es una inmersión en hipersuperficie suave cuya segunda forma fundamental es positiva, entonces el mapa de Gauss es un difeomorfismo, por lo que se sabe desde el principio que es difeomórfico para y, desde la topología diferencial elemental, que todas las inmersiones consideradas anteriormente son incrustaciones. ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \nu :M\to S^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Gage y Hamilton ampliaron el resultado de Huisken al caso . Matthew Grayson (1987) demostró que si hay una incrustación suave, entonces el flujo de curvatura media con datos iniciales eventualmente consiste exclusivamente en incrustaciones con curvatura estrictamente positiva, en cuyo punto se aplica el resultado de Gage y Hamilton. ^[4] En resumen: ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle f:S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f}$

• Si se trata de una incrustación suave, considere el flujo de curvatura media con los datos iniciales . Entonces hay una incrustación suave para cada y existe una que tiene curvatura positiva (extrínseca) para cada . Si se selecciona la función como en el resultado de Huisken, entonces las incrustaciones convergen suavemente a una incrustación cuya imagen es un círculo redondo. ${\displaystyle f:S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle F:[0,T)\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(t,\cdot ):S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle t_{0}\in (0,T)}$ ${\displaystyle F(t,\cdot ):S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t\in (t_{0},T)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t\nearrow T}$ ${\displaystyle c(t)F(t,\cdot ):S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$

Propiedades

El flujo de curvatura media extremaliza el área de la superficie, y las superficies mínimas son los puntos críticos para el flujo de curvatura media; Los mínimos resuelven el problema isoperimétrico .

Para variedades incrustadas en una variedad de Kähler-Einstein , si la superficie es una subvariedad lagrangiana , el flujo de curvatura media es de tipo lagrangiano, por lo que la superficie evoluciona dentro de la clase de subvariedades lagrangianas.

La fórmula de monotonicidad de Huisken proporciona una propiedad de monotonicidad de la convolución de un núcleo de calor invertido en el tiempo con una superficie que sufre el flujo de curvatura media.

Los flujos relacionados son:

• Flujo de acortamiento de curva , el caso unidimensional del flujo de curvatura media
• el flujo de tensión superficial
• el flujo de curvatura media lagrangiana
• el flujo de curvatura media inversa

Flujo de curvatura media de una superficie tridimensional.

La ecuación diferencial para el flujo de curvatura media de una superficie dada por está dada por ${\displaystyle z=S(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=2D\ H(x,y){\sqrt {1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}}}}$

siendo una constante que relaciona la curvatura y la velocidad de la superficie normal, y siendo la curvatura media ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x,y)&={\frac {1}{2}}{\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}}$

En los límites y , de modo que la superficie sea casi plana con su normal casi paralela al eje z, esto se reduce a una ecuación de difusión ${\displaystyle \left|{\frac {\partial S}{\partial x}}\right|\ll 1}$ ${\displaystyle \left|{\frac {\partial S}{\partial y}}\right|\ll 1}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=D\ \nabla ^{2}S}$

Si bien la ecuación de difusión convencional es una ecuación diferencial parcial parabólica lineal y no desarrolla singularidades (cuando se avanza en el tiempo), el flujo de curvatura media puede desarrollar singularidades porque es una ecuación parabólica no lineal. En general, es necesario imponer restricciones adicionales a una superficie para evitar singularidades bajo flujos de curvatura media.

Cada superficie convexa lisa colapsa hasta un punto bajo el flujo de curvatura media, sin otras singularidades, y converge a la forma de una esfera mientras lo hace. Para superficies de dimensión dos o más este es un teorema de Gerhard Huisken ; ^[5] para el flujo unidimensional de acortamiento de curvas es el teorema de Gage-Hamilton-Grayson. Sin embargo, existen superficies incrustadas de dos o más dimensiones distintas de la esfera que permanecen autosimilares a medida que se contraen hasta un punto bajo el flujo de curvatura media, incluido el toro de Angenent . ^[6]

Ejemplo: flujo de curvatura media de esferas de m dimensiones

Un ejemplo simple de flujo de curvatura media lo da una familia de hiperesferas redondas concéntricas en . La curvatura media de una esfera de radio de dos dimensiones es . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H=m/R}$

Debido a la simetría rotacional de la esfera (o en general, debido a la invariancia de la curvatura media bajo isometrías ), la ecuación de flujo de curvatura media se reduce a la ecuación diferencial ordinaria , para una esfera inicial de radio , ${\displaystyle \partial _{t}F=-H\nu }$ ${\displaystyle R_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}R(t)&=-{\frac {m}{R(t)}},\\R(0)&=R_{0}.\end{aligned}}}$

La solución de esta EDO (obtenida, por ejemplo, por separación de variables ) es

${\displaystyle R(t)={\sqrt {R_{0}^{2}-2mt}}}$,

que existe para . ^[7] ${\displaystyle t\in (-\infty ,R_{0}^{2}/2m)}$

Referencias

1. Medidor, M.; Hamilton, RS (1986). "La ecuación del calor que reduce las curvas planas convexas". J. Geometría diferencial . 23 (1): 69–96. doi : 10.4310/jdg/1214439902 .
2. Hamilton, Richard S. (1982). "Tres variedades con curvatura de Ricci positiva". Revista de Geometría Diferencial . 17 (2): 255–306. doi : 10.4310/jdg/1214436922 .
3. Huisken, Gerhard (1984). "Flujo por curvatura media de superficies convexas en esferas". J. Geometría diferencial . 20 (1): 237–266. doi : 10.4310/jdg/1214438998 .
4. Grayson, Mateo A. (1987). "La ecuación del calor reduce las curvas planas incrustadas a puntos redondos". J. Geometría diferencial . 26 (2): 285–314. doi : 10.4310/jdg/1214441371 .
5. Huisken, Gerhard (1990), "Comportamiento asintótico para singularidades del flujo de curvatura media", Journal of Differential Geometry , 31 (1): 285–299, doi :10.4310/jdg/1214444099, hdl : 11858/00-001M- 0000-0013-5CFD-5 , SEÑOR  1030675.
6. Angenent, Sigurd B. (1992), "Shrinking donuts" (PDF) , Ecuaciones de difusión no lineales y sus estados de equilibrio, 3 (Gregynog, 1989) , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, vol. 7, Boston, MA: Birkhäuser, págs. 21–38, SEÑOR  1167827.
7. Ecker, Klaus (2004), Teoría de la regularidad para el flujo de curvatura media , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, vol. 57, Boston, MA: Birkhäuser, doi :10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, señor  2024995.

• Ecker, Klaus (2004), Teoría de la regularidad para el flujo de curvatura media , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, vol. 57, Boston, MA: Birkhäuser, doi :10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, señor  2024995.
• Mantegazza, Carlo (2011), Apuntes de conferencias sobre el flujo de curvatura media , Progress in Mathematics, vol. 290, Basilea: Birkhäuser/Springer, doi :10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, señor  2815949.
• Lu, Conglin; Cao, Yan; Mumford, David (2002), "Evolución de la superficie bajo flujos de curvatura", Journal of Visual Communication and Image Representation , 13 (1–2): 65–81, CiteSeerX  10.1.1.679.6535 , doi :10.1006/jvci.2001.0476, S2CID  7341932. Véanse en particular las ecuaciones 3a y 3b.