Fórmula de monotonicidad de Huisken

En geometría diferencial , la fórmula de monotonicidad de Huisken establece que, si una superficie de n dimensiones en el espacio euclidiano de ( n + 1) dimensiones sufre el flujo de curvatura media , entonces su convolución con un núcleo de calor adecuadamente escalado y con tiempo invertido no aumenta. ^{[1] [2]} El resultado lleva el nombre de Gerhard Huisken , quien lo publicó en 1990. ^[3]

Específicamente, el núcleo de calor invertido en el tiempo ( n + 1) dimensional que converge a un punto x ₀ en el tiempo t ₀ puede estar dado por la fórmula ^[1]

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{(4\pi (t_{0}-t))^{n/2}}}\exp \left(-{\frac {|x-x_{0}|^{2}}{4(t_{0}-t)}}\right).}$

Entonces la fórmula de monotonicidad de Huisken da una expresión explícita para la derivada de

${\displaystyle \int u(x,t)d\mu ,}$

donde μ es el elemento de área de la superficie en evolución en el momento t . La expresión implica la negación de otra integral, cuyo integrando no es negativo, por lo que la derivada no es positiva.

Normalmente, x ₀ y t ₀ se eligen como el tiempo y la posición de una singularidad de la superficie en evolución, y la fórmula de monotonicidad se puede utilizar para analizar el comportamiento de la superficie a medida que evoluciona hacia esta singularidad. En particular, las únicas superficies para las cuales la convolución con el núcleo de calor permanece constante en lugar de disminuir son aquellas que permanecen autosimilares a medida que evolucionan, y la fórmula de monotonicidad se puede utilizar para clasificar estas superficies.

Grigori Perelman derivó fórmulas análogas para el flujo de Ricci . ^{[4] [5]}

Referencias

1. Mantegazza, Carlo (2011), "3.1 La fórmula de monotonicidad para el flujo de curvatura media", Apuntes de conferencias sobre el flujo de curvatura media, Progress in Mathematics, vol. 290, Basilea: Birkhäuser/Springer, págs. 49–52, CiteSeerX  10.1.1.205.9269 , doi :10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, señor  2815949.
2. Bellettini, Giovanni (2013), "Fórmula de monotonicidad de 4 Huisken", Apuntes de conferencias sobre flujo de curvatura media, barreras y perturbaciones singulares , Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa (Nuova Serie) [Notas de la conferencia. Scuola Normale Superiore di Pisa (Nueva Serie)], vol. 12, Pisa: Edizioni della Normale, págs. 59–68, doi :10.1007/978-88-7642-429-8, ISBN 978-88-7642-428-1, SEÑOR  3155251.
3. Huisken, Gerhard (1990), "Comportamiento asintótico para singularidades del flujo de curvatura media", Journal of Differential Geometry , 31 (1): 285–299, doi : 10.4310/jdg/1214444099 , hdl : 11858/00-001M- 0000-0013-5CFE-3 , SEÑOR  1030675.
4. Perelman, Grigori (2002), La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas , arXiv : math/0211159 , Bibcode : 2002math..... 11159P.
5. Cao, Huai-Dong ; Hamilton, Richard S .; Ilmanen, Tom (2004), Densidades gaussianas y estabilidad para algunos solitones de Ricci , arXiv : math/0404165 , Bibcode : 2004math......4165C. También hay dos fórmulas de monotonicidad de tipo contracción o localización... Cualquiera de estas puede verse como un análogo de la fórmula de monotonicidad de Huisken para el flujo de curvatura media..