Flujo de acortamiento de curvas

Movimiento de una curva en función de su curvatura.

Convergencia de una curva convexa a un círculo bajo el flujo de acortamiento de la curva. Las curvas interiores (color más claro) son versiones fluidas de las curvas exteriores. Los pasos de tiempo entre curvas no son uniformes.

En matemáticas, el flujo de acortamiento de curvas es un proceso que modifica una curva suave en el plano euclidiano moviendo sus puntos perpendicularmente a la curva a una velocidad proporcional a la curvatura . El flujo de acortamiento de curva es un ejemplo de flujo geométrico y es el caso unidimensional del flujo de curvatura media . Otros nombres para el mismo proceso incluyen flujo de acortamiento euclidiano , flujo de calor geométrico , ^[1] y evolución de la longitud del arco .

A medida que los puntos de cualquier curva cerrada simple y suave se mueven de esta manera, la curva permanece simple y suave. Pierde área a un ritmo constante y su perímetro disminuye lo más rápido posible para cualquier evolución continua de la curva. Si la curva no es convexa, su curvatura absoluta total disminuye monótonamente, hasta volverse convexa. Una vez convexa, la relación isoperimétrica de la curva disminuye a medida que la curva converge hacia una forma circular, antes de colapsar en un único punto de singularidad. Si dos curvas cerradas, suaves y disjuntas evolucionan, permanecen disjuntas hasta que una de ellas colapsa hasta convertirse en un punto. El círculo es la única curva cerrada simple que mantiene su forma bajo el flujo de acortamiento de la curva, pero algunas curvas que se cruzan entre sí o tienen una longitud infinita mantienen su forma, incluida la curva de la Parca, una curva infinita que se traslada hacia arriba y espirales que giran. manteniendo el mismo tamaño y forma.

Se puede calcular numéricamente una aproximación al flujo de acortamiento de la curva, aproximando la curva como un polígono y utilizando el método de diferencias finitas para calcular el movimiento de cada vértice del polígono. Los métodos alternativos incluyen calcular una convolución de los vértices del polígono y luego volver a muestrear los vértices en la curva resultante, o aplicar repetidamente un filtro mediano a una imagen digital cuyos píxeles blancos y negros representan el interior y el exterior de la curva.

El flujo de acortamiento de curvas se estudió originalmente como modelo para el recocido de láminas metálicas. Posteriormente, se aplicó en el análisis de imágenes para dar una representación de formas a múltiples escalas. También puede modelar sistemas de reacción-difusión y el comportamiento de autómatas celulares . El flujo de acortamiento de curvas se puede utilizar para encontrar geodésicas cerradas en variedades de Riemann y como modelo para el comportamiento de flujos de dimensiones superiores.

Definiciones

Un flujo es un proceso en el que los puntos de un espacio cambian continuamente sus ubicaciones o propiedades a lo largo del tiempo. Más específicamente, en un flujo geométrico unidimensional como el flujo de acortamiento de curvas, los puntos que experimentan el flujo pertenecen a una curva , y lo que cambia es la forma de la curva, su inserción en el plano euclidiano determinado por las ubicaciones de cada uno. de sus puntos. ^[2] En el flujo de acortamiento de curvas, cada punto de una curva se mueve en la dirección de un vector normal a la curva, a una velocidad proporcional a la curvatura . Para una curva en evolución representada por una función de dos parámetros C ( s , t ) donde s parametriza la longitud del arco a lo largo de la curva y t parametriza un tiempo en la evolución de la curva, el flujo de acortamiento de la curva se puede describir mediante la curva parcial parabólica. ecuación diferencial

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}C}{\partial s^{2}}}=\kappa n,}$

una forma de la ecuación del calor , donde κ es la curvatura y n es el vector normal unitario. ^[3]

Debido a que los ingredientes de esta ecuación, la longitud del arco, la curvatura y el tiempo, no se ven afectados por las traslaciones y rotaciones del plano euclidiano, se deduce que el flujo definido por esta ecuación es invariante bajo traslaciones y rotaciones (o más precisamente, equivariante ). . Si el avión se escala mediante un factor de dilatación constante, el flujo permanece esencialmente sin cambios, pero se desacelera o acelera por el mismo factor. ^[4]

Curvas no suaves

Para que el flujo esté bien definido, la curva dada debe ser lo suficientemente suave como para tener una curvatura continua. Sin embargo, una vez que comienza el flujo, la curva se vuelve analítica y permanece así hasta alcanzar una singularidad en la que la curvatura explota. Para una curva suave sin cruces, la única singularidad posible ocurre cuando la curva colapsa hasta un punto, pero las curvas sumergidas pueden tener otros tipos de singularidad. ^[5] En tales casos, con cierto cuidado es posible continuar el flujo más allá de estas singularidades hasta que toda la curva se reduzca a un solo punto. ^[6]

Para una curva cerrada simple, utilizando una extensión del flujo a curvas no suaves basada en el método de ajuste de niveles , solo hay dos posibilidades. Las curvas con medida de Lebesgue cero (incluidos todos los polígonos y las curvas suaves por partes) evolucionan instantáneamente a curvas suaves, después de lo cual evolucionan como lo haría cualquier curva suave. Sin embargo, las curvas de Osgood con medidas distintas de cero evolucionan inmediatamente hacia un anillo topológico con un área distinta de cero y límites suaves. ^[7] La ​​curva sinusoidal del topólogo es un ejemplo que instantáneamente se vuelve suave, a pesar de no estar siquiera conectada localmente ; Ejemplos como este muestran que la evolución inversa del flujo de acortamiento de curvas puede llevar curvas de buen comportamiento a singularidades complicadas en un período de tiempo finito. ^[8]

Superficies no euclidianas

El flujo de acortamiento de curvas y muchos de los resultados sobre el flujo de acortamiento de curvas se pueden generalizar desde el plano euclidiano a cualquier variedad de Riemann bidimensional . Para evitar tipos adicionales de singularidad, es importante que la variedad sea convexa en el infinito ; esto se define en el sentido de que cada conjunto compacto tiene un casco convexo compacto , como se define mediante la convexidad geodésica . El flujo que acorta la curva no puede hacer que una curva se aparte de su casco convexo, por lo que esta condición evita que partes de la curva alcancen el límite de la variedad. ^[9]

Curvas espaciales

El flujo de acortamiento de curvas también se ha estudiado para curvas en el espacio euclidiano tridimensional . El vector normal en este caso se puede definir (como en el plano) como la derivada del vector tangente con respecto a la longitud del arco, normalizado para ser un vector unitario; es uno de los componentes del marco Frenet-Serret . No está bien definido en los puntos de curvatura cero, pero el producto de la curvatura y el vector normal permanece bien definido en esos puntos, lo que permite definir el flujo de acortamiento de la curva. Las curvas en el espacio pueden cruzarse entre sí o entre sí según este flujo, y el flujo puede conducir a singularidades en las curvas; toda singularidad es asintótica a un plano. ^[10] Sin embargo, se sabe que las curvas esféricas y las curvas que pueden proyectarse ortogonalmente en una curva plana convexa regular siguen siendo simples. ^[11] El flujo de acortamiento de curvas para curvas espaciales se ha utilizado como una forma de definir el flujo más allá de singularidades en curvas planas. ^[12]

Más allá de las curvas

Es posible ampliar la definición del flujo a entradas más generales que las curvas, por ejemplo utilizando variedades rectificables o el método de conjunto de niveles . Sin embargo, estas definiciones ampliadas pueden permitir que partes de las curvas desaparezcan instantáneamente o se engorden en conjuntos de áreas distintas de cero. ^[13]

Para redes de curvas, extender el flujo de acortamiento de curvas más allá de una singularidad puede resultar en ambigüedad o engordamiento.

Una variación del problema comúnmente estudiada involucra redes de curvas suaves interiores disjuntas, con uniones donde se encuentran tres o más curvas. Cuando todas las uniones tienen exactamente tres curvas que se encuentran en ángulos de 2 π /3 (las mismas condiciones que se observan en un árbol de Steiner óptimo o en la espuma bidimensional de pompas de jabón ), el flujo está bien definido a corto plazo. Sin embargo, eventualmente puede alcanzar un estado singular con cuatro o más curvas que se encuentran en un cruce, y puede haber más de una forma de continuar el flujo más allá de dicha singularidad. ^[14]

Comportamiento

Principio de evitación, radio y factor de estiramiento.

Si dos curvas cerradas simples, suaves y disjuntas se someten simultáneamente al flujo de acortamiento de la curva, permanecen disjuntas a medida que avanza el flujo. La razón es que, si dos curvas suaves se mueven de una manera que crea un cruce, entonces en el momento del primer cruce las curvas necesariamente serían tangentes entre sí, sin cruzarse. Pero, en tal situación, las curvaturas de las dos curvas en el punto de tangencia necesariamente las separarían en lugar de juntarlas hasta formar un cruce. Por la misma razón, una única curva cerrada simple nunca puede evolucionar hasta cruzarse a sí misma. Este fenómeno se conoce como principio de evitación. ^[15]

El principio de evitación implica que cualquier curva cerrada suave debe eventualmente alcanzar una singularidad, como un punto de curvatura infinita. Porque, si una curva suave dada C está rodeada por un círculo, ambas permanecerán disjuntas mientras existan. Pero el círculo circundante se contrae bajo el flujo de curvatura, permaneciendo circular, hasta colapsar, y por el principio de evitación C debe permanecer contenido dentro de él. Entonces, si C nunca alcanzara una singularidad, quedaría atrapado en un solo punto en el momento en que el círculo colapsa, lo cual es imposible para una curva suave. Esto se puede cuantificar observando que el radio del círculo más pequeño que encierra a C debe disminuir a una velocidad que es al menos tan rápida como la disminución del radio de un círculo que experimenta el mismo flujo. ^[dieciséis]

Huisken (1998) cuantifica el principio de evitación para una sola curva en términos de la relación entre la longitud del arco (del más corto de dos arcos) y la distancia euclidiana entre pares de puntos, a veces llamado factor de estiramiento . Demuestra que el factor de estiramiento es estrictamente decreciente en cada uno de sus máximos locales, excepto en el caso de los dos extremos de un diámetro de un círculo en cuyo caso el factor de estiramiento es constante en π . Esta propiedad de monotonicidad implica el principio de evitación, ya que si la curva alguna vez se tocara a sí misma, el factor de estiramiento se volvería infinito en los dos puntos de contacto. ^[17]

Longitud

A medida que una curva sufre el flujo de acortamiento de la curva, su longitud L disminuye a una velocidad dada por la fórmula

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=-\int \kappa ^{2}\,ds,}$

donde la integral se toma sobre la curva, κ es la curvatura y s es la longitud del arco a lo largo de la curva. El integrando siempre es no negativo, y para cualquier curva cerrada suave existen arcos dentro de los cuales es estrictamente positivo, por lo que la longitud disminuye monótonamente. De manera más general, para cualquier evolución de curvas cuya velocidad normal es f , la tasa de cambio de longitud es

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=-\int f\kappa \,ds,}$

que puede interpretarse como un producto interno negado entre la evolución dada y el flujo de acortamiento de la curva. Por lo tanto, el flujo que acorta la curva puede describirse como el flujo gradiente de longitud, el flujo que (localmente) disminuye la longitud de la curva lo más rápido posible en relación con la norma L 2 del flujo. Esta propiedad es la que da nombre al flujo de acortamiento de curvas. ^[18]

Área

Para una curva cerrada simple, el área encerrada por la curva se contrae, a una tasa constante de 2 π unidades de área por unidad de tiempo, independientemente de la curva. Por lo tanto, el tiempo total para que una curva se reduzca a un punto es proporcional a su área, independientemente de su forma inicial. ^[19] Debido a que el área de una curva se reduce a un ritmo constante y (por la desigualdad isoperimétrica ) un círculo tiene el área más grande posible entre las curvas cerradas simples de una longitud determinada, se deduce que los círculos son las curvas más lentas en colapsar. un punto debajo del flujo de acortamiento de la curva. Todas las demás curvas tardan menos en colapsar que un círculo de la misma longitud. ^[20]

La tasa constante de reducción del área es la única ley de conservación que satisface el flujo que acorta la curva. Esto implica que no es posible expresar el "punto de fuga" donde la curva eventualmente colapsa como una integral sobre la curva de cualquier función de sus puntos y sus derivadas, porque tal expresión conduciría a una segunda ley de conservación prohibida. ^[21] Sin embargo, al combinar la tasa constante de pérdida de área con el principio de evitación, es posible demostrar que el punto de fuga siempre se encuentra dentro de un círculo, concéntrico con el círculo circundante mínimo, cuya área es la diferencia de áreas entre los círculos circundantes. círculo y la curva dada. ^[22]

Curvatura absoluta total

La curvatura absoluta total de una curva suave es la integral del valor absoluto de la curvatura a lo largo de la longitud del arco de la curva,

${\displaystyle K=\int |\kappa |\,ds.}$

También se puede expresar como la suma de los ángulos entre los vectores normales en pares consecutivos de puntos de inflexión . Es 2 π para curvas convexas y mayor para curvas no convexas, lo que sirve como medida de la no convexidad de una curva. ^[23]

El flujo de acortamiento de curvas no puede crear nuevos puntos de inflexión. ^[24] Cada uno de los ángulos en la representación de la curvatura absoluta total como suma disminuye monótonamente, excepto en los instantes en que dos puntos de inflexión consecutivos alcanzan el mismo ángulo o posición entre sí y ambos son eliminados. Por lo tanto, la curvatura absoluta total nunca puede aumentar a medida que evoluciona la curva. Para curvas convexas es constante en 2 π y para curvas no convexas disminuye monótonamente. ^[25]

Teorema de Gage-Hamilton-Grayson

Si una curva cerrada simple y suave sufre el flujo de acortamiento de la curva, permanece incrustada suavemente sin autointersecciones. Con el tiempo se volverá convexo y, una vez que lo haga, permanecerá convexo. Después de este tiempo, todos los puntos de la curva se moverán hacia adentro y la forma de la curva convergerá en un círculo a medida que toda la curva se reduce a un solo punto. Este comportamiento a veces se resume diciendo que cada curva cerrada simple se reduce a un "punto redondo". ^[26]

Este resultado se debe a Michael Gage , Richard S. Hamilton y Matthew Grayson. Gage (1983, 1984) demostró la convergencia a un círculo para curvas convexas que se contraen hasta un punto. Más específicamente, Gage demostró que la relación isoperimétrica (la relación entre la longitud de la curva al cuadrado y el área, un número que es 4 π para un círculo y mayor para cualquier otra curva convexa) disminuye de forma monótona y rápida. Gage y Hamilton (1986) demostraron que todas las curvas convexas suaves eventualmente se contraen hasta un punto sin formar otras singularidades, y Grayson (1987) demostraron que toda curva no convexa eventualmente se volverá convexa. ^[27] Andrews y Bryan (2011) proporcionan una prueba más simple del resultado de Grayson, basada en la monotonicidad del factor de estiramiento.

La forma límite para todas las redes de dos rayos colineales y dos curvas que conectan los puntos finales de los dos rayos. El cristalino central tiene forma de vesica piscis .

Se pueden extender resultados similares desde curvas cerradas a curvas ilimitadas que satisfacen una condición de Lipschitz local . Para tales curvas, si ambos lados de la curva tienen un área infinita, entonces la curva evolucionada permanece suave y libre de singularidades para siempre. Sin embargo, si un lado de una curva ilimitada tiene un área finita y la curva tiene una curvatura absoluta total finita, entonces su evolución alcanza una singularidad en el tiempo proporcional al área en el lado de área finita de la curva, con una curvatura ilimitada cerca de la singularidad. . ^[28] Para curvas que son gráficas de funciones con un comportamiento suficientemente bueno, asintóticas a un rayo en cada dirección, la solución converge en forma a una forma única que es asintótica a los mismos rayos. ^[29] Para redes formadas por dos rayos separados en la misma línea, junto con dos curvas suaves que conectan los puntos finales de los dos rayos, se cumple un análogo del teorema de Gage-Hamilton-Grayson, bajo el cual la región entre las dos curvas se vuelve convexa. y luego converge a una forma de vesica piscis . ^[30]

Singularidades de las curvas que se autocruzan.

Las curvas que tienen autocruces pueden alcanzar singularidades antes de contraerse hasta un punto. Por ejemplo, si una lemniscata (cualquier curva sumergida suave con un solo cruce, que se asemeja a una figura de 8 o un símbolo de infinito ) tiene áreas desiguales en sus dos lóbulos, eventualmente el lóbulo más pequeño colapsará hasta convertirse en un punto. Sin embargo, si los dos lóbulos tienen áreas iguales, permanecerán iguales durante toda la evolución de la curva y la relación isoperimétrica divergirá a medida que la curva colapse hasta convertirse en una singularidad. ^[4]

Cuando una curva autocruzada localmente convexa se acerca a una singularidad a medida que uno de sus bucles se contrae, se contrae de forma autosemejante o se aproxima asintóticamente a la curva de la Parca (descrita a continuación) a medida que se contrae. Cuando un bucle colapsa hasta convertirse en una singularidad, la cantidad de curvatura absoluta total que se pierde es al menos 2 π o exactamente π . ^[31]

Sobre variedades de Riemann

En una variedad de Riemann, cualquier curva cerrada simple y suave seguirá siendo suave y simple a medida que evoluciona, al igual que en el caso euclidiano. O colapsará hasta cierto punto en un período de tiempo finito o permanecerá suave y simple para siempre. En el último caso, la curva converge necesariamente a una geodésica cerrada de la superficie. ^[32]

Las curvas inmersas en variedades de Riemann, con un número finito de autocruces, se vuelven autotangentes sólo en un conjunto discreto de momentos, en cada uno de los cuales pierden un cruce. Como consecuencia de ello, el número de puntos de autocruce no aumenta. ^[33]

una pelota de tenis

El acortamiento de curvas en una esfera se puede utilizar como parte de la demostración del teorema de la pelota de tenis . Este teorema establece que cada curva suave, simple y cerrada en la esfera que divide la superficie de la esfera en dos áreas iguales (como la costura de una pelota de tenis ) debe tener al menos cuatro puntos de inflexión . La prueba proviene de la observación de que el acortamiento de la curva preserva la suavidad y las propiedades de bisección del área de la curva, y no aumenta su número de puntos de inflexión. Por lo tanto, permite reducir el problema al problema de curvas cercanas a la forma límite de acortamiento de la curva, un círculo máximo . ^[34]

Fórmula de monotonicidad de Huisken

Según la fórmula de monotonicidad de Huisken , la convolución de una curva evolutiva con un núcleo de calor invertido en el tiempo no es creciente. Este resultado puede utilizarse para analizar las singularidades de la evolución. ^[35]

Curvas específicas

Curvas con evolución autosemejante

La curva de la Parca y sus copias traducidas producidas por el flujo de acortamiento de la curva

Debido a que todas las demás curvas cerradas simples convergen en un círculo, el círculo es la única curva cerrada simple que mantiene su forma bajo el flujo de acortamiento de la curva. Sin embargo, hay muchos otros ejemplos de curvas que no son simples (incluyen autocruces) o no cerradas (se extienden hasta el infinito) y mantienen su forma. En particular, ^[36]

• Cada línea permanece sin cambios debido al flujo de acortamiento de la curva. Las líneas son las únicas curvas que no se ven afectadas por el flujo de acortamiento de curvas, ^[36] aunque existen redes de curvas estables más complejas, como el mosaico hexagonal del plano.
• La curva de la Parca y = − log cos x se mueve hacia arriba sin cambiar su forma. De la misma manera, cualquier curva similar a la parca es trasladada por el flujo de acortamiento de la curva, desplazada en la dirección del eje de simetría de la curva sin cambiar su forma u orientación. La Parca es la única curva con esta propiedad. ^[36] También se le llama modelo de horquilla en la literatura de física. ^[37]
• Una familia de curvas cerradas que se cruzan solas, derivadas de proyecciones de nudos toroidales , se contraen homotéticamente pero permanecen autosimilares bajo el flujo de acortamiento de curvas. ^[36] Estas han llegado a conocerse como curvas de Abresch-Langer, después del trabajo de Abresch y Langer (1986), ^[38] aunque fueron mencionadas anteriormente por Mullins (1956) y redescubiertas de forma independiente por Epstein y Weinstein (1987). . Estas curvas son localmente convexas y, por lo tanto, pueden describirse mediante sus funciones de soporte . Las versiones adecuadamente escaladas de estas funciones de soporte obedecen a la ecuación diferencial

  ${\displaystyle h''+h={\frac {1}{h}},}$

que tiene soluciones periódicas positivas (correspondientes a curvas con evolución autosemejante) para cualquier período que esté estrictamente entre π y . ^[38] ${\displaystyle \pi {\sqrt {2}}}$

• Otras curvas, incluidas algunas espirales infinitas , siguen siendo autosimilares con movimientos más complicados que incluyen rotación o combinaciones de rotación, contracción o expansión y traslación. ^[36]
• Para redes de curvas suaves, que se encuentran de tres en tres en uniones con ángulos de 2 π /3, las soluciones de contracción autosemejantes incluyen una doble burbuja que rodea dos áreas iguales, una forma de lente ( vesica piscis ) delimitada por dos arcos de círculos congruentes junto con dos rayos colineales que tienen sus vértices en las esquinas de la lente y una red en forma de pez delimitada por un segmento de línea, dos rayos y una curva convexa. Cualquier otra red encogible autosemejante implica un mayor número de curvas. ^[39] Otra familia de redes crece homotéticamente y permanece autosimilar; se trata de redes de curvas en forma de árbol, que se encuentran en ángulos de 2 π /3 en uniones triples, asintóticas a un abanico de dos o más rayos que se encuentran en un punto final común. El caso de dos rayos de estas formas es una curva suave e ilimitada; para tres o más rayos, la evolución de estas formas se puede definir utilizando variantes generalizadas del flujo de acortamiento de curvas, como la de los varifolds. Un abanico dado de cuatro o más rayos puede ser asintótico para más de una solución diferente de este tipo, por lo que estas soluciones no proporcionan una definición única para el flujo que acorta la curva a partir de un abanico de rayos. ^[40]

Soluciones antiguas

Una antigua solución a un problema de flujo es una curva cuya evolución se puede extrapolar hacia atrás para todos los tiempos, sin singularidades. Todas las soluciones autosemejantes que se reducen o mantienen el mismo tamaño en lugar de crecer son soluciones antiguas en este sentido; se pueden extrapolar hacia atrás invirtiendo la transformación de autosimilitud que sufrirían mediante el flujo de acortamiento de la curva hacia adelante. Así, por ejemplo, el círculo, la parca y las curvas de Abresch-Langer son todas soluciones antiguas. ^[41]

También hay ejemplos que no son autosemejantes. Un ejemplo explícito es la solución ovalada de Angenent basada en el trabajo de Angenent (1992). Esta familia de curvas se puede parametrizar especificando la curvatura en función del ángulo tangente usando la fórmula

${\displaystyle k(\theta ,t)={\sqrt {\cos 2\theta -\operatorname {coth} 2t}}}$

y tienen como forma limitante en evolución inversa un par de curvas de la muerte que se acercan entre sí desde direcciones opuestas. ^[42] En el sistema de coordenadas cartesiano , pueden venir dadas por la ecuación de curva implícita ^[43]

${\displaystyle \cosh y-e^{-t}\cos x=0.}$

En la literatura de física, las mismas formas se conocen como modelo de clip . ^[37]

Las soluciones del óvalo de Angenent y del círculo que se contrae son las únicas soluciones antiguas cuyos cortes de tiempo unían conjuntos convexos acotados. ^[41] Las soluciones Grim Reaper, medio espacio estacionario y franja estacionaria son los únicos ejemplos cuyos cortes de tiempo unen conjuntos convexos ilimitados. ^[44] Existen muchos ejemplos adicionales localmente convexos (no incrustados), así como muchos ejemplos adicionales incrustados (no convexos). ^{[45] [46]}

Aproximaciones numéricas

Para calcular eficientemente el flujo de acortamiento de la curva, tanto una curva continua como la evolución continua de la curva deben reemplazarse por una aproximación discreta.

Seguimiento frontal

Los métodos de seguimiento de frentes se han utilizado durante mucho tiempo en dinámica de fluidos para modelar y rastrear el movimiento de los límites entre diferentes materiales, de gradientes pronunciados en las propiedades de los materiales, como los frentes climáticos , o de ondas de choque dentro de un solo material. Estos métodos implican derivar las ecuaciones de movimiento del límite y usarlas para simular directamente el movimiento del límite, en lugar de simular el fluido subyacente y tratar el límite como una propiedad emergente del fluido. ^[47] Los mismos métodos también se pueden utilizar para simular el flujo de acortamiento de la curva, incluso cuando la curva que sufre el flujo no es un límite o un choque.

En los métodos de seguimiento frontal para el acortamiento de curvas, la curva que sufre la evolución se discretiza como un polígono. El método de diferencias finitas se utiliza para derivar fórmulas para el vector normal aproximado y la curvatura en cada vértice del polígono, y estos valores se utilizan para determinar cómo mover cada vértice en cada paso de tiempo. ^[48] ​​Aunque el flujo de acortamiento de la curva se define por el movimiento de una curva perpendicularmente a sí misma, algunas parametrizaciones del flujo de acortamiento de la curva pueden permitir que los vértices que se aproximan a la curva se muevan de manera no perpendicular. De hecho, esto permite que los vértices se muevan a lo largo de la curva, a medida que ésta evoluciona. Elegir una reparametrización cuidadosa puede ayudar a redistribuir los vértices de manera más uniforme a lo largo de la curva en situaciones donde el movimiento perpendicular haría que se agruparan. ^[49] Merriman, Bence y Osher (1992) escriben que estos métodos son rápidos y precisos, pero que es mucho más complicado extenderlos a versiones del flujo de acortamiento de curvas que se aplican a entradas más complicadas que las curvas cerradas simples, donde Es necesario hacer frente a singularidades y cambios de topología.

Para la mayoría de estos métodos, Cao (2003) advierte que "las condiciones de estabilidad no pueden determinarse fácilmente y el paso del tiempo debe elegirse ad hoc". ^[50] Otro método de diferenciación finita de Crandall & Lions (1996) modifica la fórmula para la curvatura en cada vértice añadiéndole un pequeño término basado en el operador de Laplace . Esta modificación se denomina regularización elíptica y puede utilizarse para ayudar a probar la existencia de flujos generalizados, así como en su simulación numérica. ^[51] Utilizándolo, se puede demostrar que el método de Crandall y Lions converge y es el único método numérico enumerado por Cao que está equipado con límites en su tasa de convergencia. ^[52] Para una comparación empírica de los métodos de Euler directo , Euler inverso y de diferencias finitas más precisos de Crank-Nicolson , consulte Balažovjech y Mikula (2009).

Convolución remuestreada

Mokhtarian y Mackworth (1992) sugieren un método numérico para calcular una aproximación al flujo de acortamiento de la curva que mantiene una aproximación discreta a la curva y alterna entre dos pasos:

• Vuelva a muestrear la curva actual colocando nuevos puntos de muestra con una separación uniforme, medida por la longitud del arco normalizado.
• Convoluciona las ubicaciones de los puntos con una función gaussiana con una pequeña desviación estándar, reemplazando de hecho la ubicación de cada punto con un promedio ponderado de las ubicaciones de los puntos cercanos a lo largo de la curva, con pesos gaussianos. La desviación estándar del gaussiano debe elegirse para que sea lo suficientemente pequeña como para que, después de este paso, los puntos de muestra todavía tengan un espaciado casi uniforme.

Como muestran, este método converge a la distribución de acortamiento de la curva en el límite a medida que crece el número de puntos de muestra y se reduce la longitud del arco normalizado del radio de convolución. ^[53]

Filtrado mediano

Merriman, Bence y Osher (1992) describen un esquema que opera en una cuadrícula cuadrada bidimensional (en realidad, una matriz de píxeles) . La curva a evolucionar se representa asignando el valor 0 (negro) a los píxeles exteriores a la curva y 1 (blanco) a los píxeles interiores a la curva, dando la función indicadora para el interior de la curva. Esta representación se actualiza alternando dos pasos:

• Convolucione la imagen pixelada con un núcleo de calor para simular su evolución bajo la ecuación de calor durante un breve paso de tiempo. El resultado es un desenfoque gaussiano de la imagen, o equivalentemente la transformada de Weierstrass de la función indicadora, con un radio proporcional a la raíz cuadrada del paso de tiempo.
• Establezca cada píxel con un valor numérico inferior a 1/2 a 0, y cada píxel con un valor numérico superior a 1/2 a 1, restableciendo el umbral de la imagen a sus valores originales en nuevas posiciones.

Para que este esquema sea preciso, el paso de tiempo debe ser lo suficientemente grande como para hacer que la curva se mueva al menos un píxel incluso en puntos de baja curvatura, pero lo suficientemente pequeño como para hacer que el radio de desenfoque sea menor que el radio mínimo. de curvatura. Por lo tanto, el tamaño de un píxel debe ser O (min κ /max κ ² ) , lo suficientemente pequeño como para permitir elegir un paso de tiempo intermedio adecuado. ^[54]

El método se puede generalizar a la evolución de redes de curvas, que se encuentran en los cruces y dividen el plano en más de tres regiones, aplicando el mismo método simultáneamente a cada región. ^[54] En lugar de difuminar y establecer umbrales, este método se puede describir alternativamente como la aplicación de un filtro mediano con pesos gaussianos a cada píxel. Es posible utilizar núcleos distintos del núcleo térmico o refinar de forma adaptativa la cuadrícula para que tenga alta resolución cerca de la curva pero no pierda tiempo y memoria en píxeles alejados de la curva que no contribuyen al resultado. ^[55] En lugar de usar solo los dos valores en la imagen pixelada, una versión de este método que usa una imagen cuyos valores de píxeles representan la distancia con signo a la curva puede lograr una precisión de subpíxeles y requerir una resolución más baja. ^[56]

Aplicaciones

Recocido de chapas metálicas

Una referencia temprana al flujo de acortamiento de curvas hecha por William W. Mullins  (1956) lo motiva como modelo para el proceso físico de recocido , en el que el tratamiento térmico hace que los límites entre los granos de metal cristalizado se desplacen. A diferencia de las películas de jabón , que se ven obligadas por diferencias en la presión del aire a convertirse en superficies de curvatura media constante , los límites de los granos en el recocido están sujetos sólo a efectos locales, que los hacen moverse de acuerdo con el flujo de curvatura media. El caso unidimensional de este flujo, el flujo de acortamiento de curvas, corresponde al recocido de láminas de metal que son lo suficientemente delgadas como para que los granos se vuelvan efectivamente bidimensionales y sus límites se vuelvan unidimensionales. ^[57]

Análisis de forma

En procesamiento de imágenes y visión por computadora , Mokhtarian y Mackworth (1992) sugieren aplicar el flujo de acortamiento de curvas al contorno de una forma derivada de una imagen digital, para eliminar el ruido de la forma y proporcionar un espacio de escala que proporcione una descripción simplificada. de la forma en diferentes niveles de resolución. El método de Mokhtarian y Mackworth implica calcular el flujo de acortamiento de la curva, rastrear los puntos de inflexión de la curva a medida que avanzan a través del flujo y dibujar un gráfico que traza las posiciones de los puntos de inflexión alrededor de la curva frente al parámetro de tiempo. Los puntos de inflexión normalmente se eliminarán de la curva en pares a medida que la curva se vuelve convexa (según el teorema de Gage-Hamilton-Grayson) y la vida útil de un par de puntos corresponde a la prominencia de una característica de la forma. Debido al método de convolución remuestreado que describen para calcular una aproximación numérica del flujo de acortamiento de curvas, llaman a su método espacio de escala de curvatura remuestreado . Observan que este espacio de escala es invariante bajo transformaciones euclidianas de la forma dada y afirman que determina de forma única la forma y es robusto frente a pequeñas variaciones en la forma. Lo comparan experimentalmente con varias definiciones alternativas relacionadas de un espacio de escala para formas, y encuentran que el espacio de escala de curvatura remuestreado es menos intensivo desde el punto de vista computacional, más robusto contra el ruido no uniforme y menos influenciado por diferencias de forma a pequeña escala. ^[58]

Reacción-difusión

En los sistemas de reacción-difusión modelados por la ecuación de Allen-Cahn , el comportamiento limitante para una reacción rápida, una difusión lenta y dos o más mínimos locales de energía con el mismo nivel de energía entre sí es que el sistema se asiente en regiones de diferente nivel local. mínimos, con los frentes que delimitan los límites entre estas regiones evolucionando de acuerdo con el flujo de acortamiento de la curva. ^[59]

Autómata celular

El autómata celular Anneal, 1600 pasos después de un inicio aleatorio

En un autómata celular , cada celda en una cuadrícula infinita de celdas puede tener uno de un conjunto finito de estados, y todas las celdas actualizan sus estados simultáneamente basándose únicamente en la configuración de un pequeño conjunto de celdas vecinas. Una regla de autómata celular realista es aquella en la que la cuadrícula es la red cuadrada infinita, hay exactamente dos estados de celda, el conjunto de vecinos de cada celda son los ocho vecinos de la vecindad de Moore y la regla de actualización depende solo de la número de vecinos de cada uno de los dos estados, en lugar de cualquier función más complicada de esos estados. En una regla realista particular, introducida por Gerard Vichniac y llamada regla de mayoría retorcida o regla de recocido, la regla de actualización establece que el nuevo valor para cada celda sea la mayoría entre las nueve celdas dadas por ella y sus ocho vecinas, excepto cuando estas celdas se dividen entre cuatro con un estado y cinco con el otro estado, en cuyo caso el nuevo valor de la celda es minoría en lugar de mayoría. La dinámica detallada de esta regla es complicada, incluida la existencia de pequeñas estructuras estables. ^[60] Sin embargo, en conjunto (cuando se inicia con todas las celdas en estados aleatorios) tiende a formar grandes regiones de celdas que están todas en el mismo estado entre sí, y los límites entre estas regiones evolucionan de acuerdo con el acortamiento de la curva. fluir. ^[61]

Construcción de geodésicas cerradas.

El flujo de acortamiento de curvas se puede utilizar para demostrar una desigualdad isoperimétrica para superficies cuya curvatura gaussiana es una función no creciente de la distancia desde el origen , como el paraboloide . En dicha superficie, el conjunto compacto liso que tiene un área determinada y un perímetro mínimo para esa área es necesariamente un círculo centrado en el origen. La prueba aplica el flujo de acortamiento de curvas a dos curvas, un círculo métrico y el límite de cualquier otro conjunto compacto, y compara el cambio en el perímetro de las dos curvas a medida que el flujo las reduce a un punto. ^[62] El flujo de acortamiento de curvas también se puede utilizar para demostrar el teorema de las tres geodésicas , que cada variedad de Riemann suave topológicamente equivalente a una esfera tiene tres geodésicas que forman curvas cerradas simples . ^[63]

Flujos relacionados

Otros flujos geométricos relacionados con el flujo de acortamiento de curvas incluyen los siguientes.

• Para simular el comportamiento de cristales u otros materiales anisotrópicos , es importante tener variantes del flujo de acortamiento de curvas para las cuales la velocidad del flujo depende de la orientación de una curva así como de su curvatura. Una forma de hacer esto es definir la energía de una curva como la integral de una función suave γ de sus vectores normales, y formar el flujo gradiente de esta energía, según el cual la velocidad normal a la que fluye la curva es proporcional a un análogo anisotrópico de la curvatura. Este flujo se puede simular discretizando la curva como un polígono. En experimentos numéricos, las curvas iniciales parecen converger a la forma de Wulff para γ antes de reducirse a un punto. ^[64] Alternativamente, se puede dejar que la curva fluya con velocidad a ( θ ) κ + b ( θ ) donde κ es la curvatura (habitual) y a y b son funciones suaves de la orientación θ . Cuando a ( θ + π ) = a ( θ ) y b ( θ + π ) = − b ( θ ) (de modo que el flujo es invariante bajo reflexión puntual ), se puede demostrar que el flujo resultante obedece al principio de evitación y un análogo del teorema de Gage-Hamilton-Grayson. ^{[sesenta y cinco]}
• El flujo afín de acortamiento de la curva fue investigado por primera vez por Alvarez et al. (1993) y Sapiro y Tannenbaum (1993). En este flujo, la velocidad normal de la curva es proporcional a la raíz cúbica de la curvatura. ^[66] El flujo resultante es invariante (con una escala de tiempo correspondiente) bajo las transformaciones afines del plano euclidiano, un grupo de simetría más grande que las transformaciones de similitud bajo las cuales el flujo de acortamiento de la curva es invariante. Bajo este flujo, se aplica un análogo del teorema de Gage-Hamilton-Grayson, según el cual cualquier curva cerrada simple eventualmente se vuelve convexa y luego converge en una elipse a medida que colapsa en un punto. ^[67]
• La transformación de una curva con velocidades normales iguales en todos los puntos se ha denominado transformación de hierba . Las curvas desarrolladas de esta manera desarrollarán en general esquinas agudas, cuyo trazo forma el eje medio de la curva. ^[68] Una evolución de curva estrechamente relacionada que mueve segmentos rectos de una curva poligonal a velocidades iguales pero permite que las esquinas cóncavas se muevan más rápidamente que la velocidad unitaria forma en cambio un tipo diferente de esqueleto topológico de la curva dada, su esqueleto recto . ^[69]
• Para superficies en dimensiones superiores, existe más de una definición de curvatura, incluidas medidas extrínsecas (dependientes de la incrustación) como la curvatura media y medidas intrínsecas como la curvatura escalar y la curvatura de Ricci . En consecuencia, hay varias formas de definir flujos geométricos basados ​​en la curvatura, incluido el flujo de curvatura media (en el que la velocidad normal de una superficie incrustada es su curvatura media), el flujo de Ricci (un flujo intrínseco en la métrica de un espacio basado en su curvatura de Ricci), el flujo de curvatura de Gauss y el flujo de Willmore (el flujo de gradiente para un funcional de energía que combina la curvatura media y la curvatura gaussiana). El flujo de acortamiento de curvas es un caso especial del flujo de curvatura media y del flujo de curvatura de Gauss para curvas unidimensionales. ^[20]
• En la planificación de rutas en tiempo real para robots móviles , se ha utilizado una versión modificada del flujo de acortamiento de curvas con fuerzas adicionales para encontrar rutas que logren un equilibrio entre ser cortas y mantenerse libres de obstáculos. ^[70]
• Inspirándose en el flujo de acortamiento de curvas en curvas suaves, los investigadores han estudiado métodos para hacer fluir polígonos de modo que permanezcan poligonales, con aplicaciones que incluyen la formación de patrones y la sincronización en sistemas distribuidos de robots. ^[71] Los flujos poligonales que preservan la longitud se pueden utilizar para resolver el problema de la regla de carpintero . ^[72]
• En visión por computadora , el modelo de contorno activo para la detección de bordes y la segmentación de imágenes se basa en el acortamiento de curvas y evoluciona las curvas en función de una combinación de su curvatura y las características de una imagen. ^[73]

Notas

1. La frase "flujo de calor geométrico" también se ha utilizado para flujos en otros tipos de objetos además de las curvas, como las formas diferenciales .
2. Devadoss & O'Rourke (2011), p.140: "un flujo geométrico [es] una evolución de la geometría de C en el tiempo t ".
3. Devadoss y O'Rourke (2011), pág. 140.
4. Grayson (1989a).
5. Grayson (1989a); Blanco (2002).
6. Angenente (1991a); Altschuler y Grayson (1992).
7. Lauer (2013).
8. Lam y Lauer (2016).
9. Ritoré y Sinestrari (2010), pág. 72.
10. Altschuler (1991).
11. Minarčík y Beneš (2020).
12. Altschuler y Grayson (1992).
13. Brake (1978); Blanco (1989); Cao (2003), "4.7.1 Solución variada de Brakke", p. 100. Lauer (2013).
14. Ilmanen, Neves y Schulze (2014).
15. Blanco (2002), pág. 526.
16. Blanco (2002), pág. 527.
17. Huisken (1998).
18. Chou y Zhu (2001), pág. viii; Blanco (2002), pág. 526.
19. Brakke (1978), Apéndice B, Proposición 1, p. 230; Chou y Zhu (2001), pág. viii; White (2002), Teorema 1, pág. 527.
20. Blanco (1989).
21. Bryant y Griffiths (1995).
22. Kimmel (2004), págs. 182-183.
23. Brook, Bruckstein y Kimmel (2005).
24. Cao (2003), pág. 143.
25. Brakke (1978), Apéndice B, Proposición 2, p. 230; Chou y Zhu (2001), Lema 5.5, pág. 130; "6.1 La disminución de la curvatura absoluta total", págs. 144-147.
26. Chou y Zhu (2001), pág. viii; White (2002), Teoremas 2 y 3, págs. 527–528; Cao (2003), Teorema 3.26, pág. 47; Devadoss y O'Rourke (2011), pág. 141.
27. Chou y Zhu (2001), pág. viii; Cao (2003), pág. 47; Devadoss y O'Rourke (2011), pág. 141.
28. Chou y Zhu (1998).
29. Ishimura (1995).
30. Schnürer y col. (2011); Bellettini y Novaga (2011).
31. Angenente (1991b).
32. Grayson (1989b); Blanco (2002), pág. 528; Ritoré y Sinestrari (2010), Teorema 2.2.1, pág. 73. Este resultado ya fue planteado como una conjetura por Gage y Hamilton (1986).
33. Angenente (1991a).
34. Angenente (1999).
35. Huisken (1990).
36. Mullins (1956); Abresch y Langer (1986); Epstein y Weinstein (1987); Chou y Zhu (2001), "2. Soluciones invariantes para el flujo de acortamiento de la curva", págs. 27–44; Halldórsson (2012); Altschuler et al. (2013).
37. Lukyanov, Vitchev y Zamolodchikov (2004); Huisken y Sinestrari (2015).
38. Au (2010).
39. Schnürer y col. (2011).
40. Mullins (1956) ya describió el caso de los dos rayos. Para la generalización a dos o más rayos y cuestiones de no unicidad, consulte Brakke (1978), Apéndice C, págs. 235-237 e Ilmanen, Neves y Schulze (2014).
41. Daskalopoulos, Hamilton y Sesum (2010).
42. Angenente (1992).
43. Broadbridge y Vassiliou (2011).
44. Bourni, Langford y Tinaglia (2020).
45. Angenent y tú (2021).
46. Tú (2014).
47. Véase, por ejemplo, Scriven (1960); Holden y Risebro (2015).
48. Merriman, Bence y Osher (1992); Mikula y Ševčovič (1999); Cao (2003), "5.1.1 Métodos de diferencias finitas", págs.
49. Kimura (1994); Deckelnick y Dziuk (1995); Mikula y Ševčovič (2001); Barrett, Garcke y Núremberg (2011); Elliott y Fritz (2017).
50. Cao (2003), "5.1.1 Métodos de diferencias finitas", págs.
51. Ilmanen (1994), pág. 1.
52. Crandall y leones (1996); Deckelnick (2000); Cao (2003), "5.2.3 Un esquema monótono y convergente en diferencias finitas", p. 109.
53. Mokhtarian y Mackworth (1992), págs. 796–797; Cao (2003), págs. 10-11.
54. Merriman, Bence y Osher (1992).
55. Cao (2003), "5.2.4 Esquema de Bence, Merriman y Osher para el movimiento de curvatura media", págs. Para conocer la exactitud del filtrado mediano con otros núcleos isotrópicos, consulte la sección 4.4.1, págs. 90–92.
56. Esedoḡlu, Ruuth y Tsai (2010).
57. Mullins (1956); Rines, Craig y DeHoff (1974); Brakke (1978), Apéndice A, págs. 224–228.
58. Mokhtarian y Mackworth (1992).
59. Rubinstein, Sternberg y Keller (1989).
60. Recogida (1993).
61. Vichniac (1986); Chopard y Droz (1998).
62. Benjamini y Cao (1996); Ritoré y Sinestrari (2010), Teorema 2.3.1, pág. 75.
63. Grayson (1989b).
64. Dziuk (1999); Haußer y Voigt (2006).
65. Chou y Zhu (2001), Capítulo 6: Una clase de flujos anisotrópicos no convexos, págs.
66. Cao (2003), "3.2.3 El flujo invariante afín: el flujo de curva invariante afín más simple", págs.
67. Angenent, Sapiro y Tannenbaum (1998); Cao (2003), Teorema 3.28, pág. 47.
68. Sapiro y Tannenbaum (1993).
69. Aichholzer y col. (1995).
70. Huptych y Röck (2021).
71. Smith, Broucke y Francis (2007).
72. Cantarella y col. (2004).
73. Kichenassamy y col. (1995).

Referencias

• Abresch, U.; Langer, J. (1986), "La curva normalizada que acorta el flujo y las soluciones homotéticas", Journal of Differential Geometry , 23 (2): 175–196, doi : 10.4310/jdg/1214440025 , MR  0845704.
• Aichholzer, Oswin; Aurenhammer, Franz ; Alberts, David; Gärtner, Bernd (1995), "Un nuevo tipo de esqueleto para polígonos", Journal of Universal Computer Science , 1 (12): 752–761, CiteSeerX  10.1.1.135.9800 , doi :10.1007/978-3-642-80350 -5_65, SEÑOR  1392429.
• Altschuler, Steven J. (1991), "Singularidades del flujo de contracción de curvas para curvas espaciales", Journal of Differential Geometry , 34 (2): 491–514, doi : 10.4310/jdg/1214447218 , MR  1131441.
• Altschuler, Dylan J.; Altschuler, Steven J.; Angenent, Sigurd B .; Wu, Lani F. (2013), "El zoológico de solitones para el acortamiento de curvas ", No linealidad , 26 (5): 1189–1226, arXiv : 1207.4051 , Bibcode :2013Nonli..26.1189A, doi :10.1088/0951-7715 /26/5/1189, SEÑOR  3043378, S2CID  1959710 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Altschuler, Steven J.; Grayson, Matthew A. (1992), "Acortamiento de las curvas espaciales y flujo a través de singularidades", Journal of Differential Geometry , 35 (2): 283–298, doi : 10.4310/jdg/1214448076 , MR  1158337.
• Álvarez, Luis; Guichard, Federico; Leones, Pierre-Louis; Morel, Jean-Michel (1993), "Axiomas y ecuaciones fundamentales del procesamiento de imágenes", Archivo de análisis y mecánica racional , 123 (3): 199–257, Bibcode :1993ArRMA.123..199A, doi :10.1007/BF00375127, SEÑOR  1225209, S2CID  121702431.
• Andrés, Ben; Bryan, Paul (2011), "Curvatura ligada al flujo de acortamiento de la curva mediante comparación de distancias y una prueba directa del teorema de Grayson", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 2011 (653): 179–187, arXiv : 0908.2682 , doi : 10.1515 /CRELLE.2011.026, SEÑOR  2794630, S2CID  16124939.
• Angenent, Sigurd (1991a), "Ecuaciones parabólicas para curvas en superficies. II. Intersecciones, ampliaciones y soluciones generalizadas", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 133 (1): 171–215, doi :10.2307/2944327, JSTOR  2944327, señor  1087347.
• Angenent, Sigurd (1991b), "Sobre la formación de singularidades en el flujo de acortamiento de la curva", Journal of Differential Geometry , 33 (3): 601–633, doi : 10.4310/jdg/1214446558 , MR  1100205.
• Angenent, Sigurd B. (1992), "Shrinking donuts" (PDF) , Ecuaciones de difusión no lineales y sus estados de equilibrio, 3 (Gregynog, 1989) , Progreso en ecuaciones diferenciales no lineales y sus aplicaciones, vol. 7, Boston, MA: Birkhäuser, págs. 21–38, SEÑOR  1167827.
• Angenent, S. (1999), "Puntos de inflexión, puntos extáticos y acortamiento de curvas" (PDF) , Sistemas hamiltonianos con tres o más grados de libertad (S'Agaró, 1995) , NATO Adv. Ciencia. Inst. Ser. C Matemáticas. Física. Ciencia, vol. 533, Dordrecht: Kluwer Acad. Publicado, págs. 3 a 10, SEÑOR  1720878
• Angenent, Sigurd ; Sapiro, Guillermo ; Tannenbaum, Allen (1998), "Sobre la ecuación de calor afín para curvas no convexas", Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense , 11 (3): 601–634, doi : 10.1090/S0894-0347-98-00262-8 , hdl : 1853/32428 , señor  1491538
• Angenent, Sigurd ; Tú, Qian (2021), "Soluciones antiguas para el acortamiento de curvas con curvatura total finita", Transactions of the American Mathematical Society , 374 (2): 863–880, arXiv : 1803.01399 , doi : 10.1090/tran/8186, MR  4196380, S2CID  59366007
• Au, Thomas Kwok-Keung (2010), "Sobre la propiedad del punto de silla de las curvas de Abresch-Langer bajo el flujo de acortamiento de la curva", Communications in Analysis and Geometry , 18 (1): 1–21, arXiv : math/0102088 , doi :10.4310/CAG.2010.v18.n1.a1, SEÑOR  2660456, S2CID  16046863.
• Balažovjech, Martín; Mikula, Karol (2009), "Un esquema de orden superior para el flujo de acortamiento de curvas planas" (PDF) , Algoritmy 2009 , págs..
• Barrett, John W.; Garcke, Harald; Nürnberg, Robert (2011), "La aproximación de las evoluciones de curvas planas mediante esquemas estables de elementos finitos totalmente implícitos que se equidistribuyen" (PDF) , Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales , 27 : 1–30, doi :10.1002/num.20637, MR  2743598, S2CID  23031256.
• Bellettini, Giovanni; Novaga, Matteo (2011), "Evolución de la curvatura de dominios con forma de lente no convexa", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 2011 (656): 17–46, arXiv : 0906.0166 , doi : 10.1515/CRELLE.2011.041, MR  2818854, S2CID  14158286.
• Benjamini, Itaí ; Cao, Jianguo (1996), "Un nuevo teorema de comparación isoperimétrica para superficies de curvatura variable", Duke Mathematical Journal , 85 (2): 359–396, doi :10.1215/S0012-7094-96-08515-4, MR  1417620.
• Brakke, Kenneth A. (1978), El movimiento de una superficie según su curvatura media (PDF) , Mathematical Notes, vol. 20, Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, ISBN 0-691-08204-9, señor  0485012.
• Bourni, Teodora; Langford, Mat; Tinaglia, Giuseppe (2020), "Soluciones antiguas convexas para el flujo de acortamiento de curvas", Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales , 59 (4): 133, arXiv : 1903.02022 , doi : 10.1007/s00526-020-01784-8 , MR  4127403.
• Broadbridge, Felipe; Vassiliou, Peter (2011), "El papel de la simetría y la separación en la evolución de la superficie y el acortamiento de curvas", SIGMA , 7 : Paper 052, 19, arXiv : 1106.0092 , Bibcode : 2011SIGMA...7..052B, doi : 10.3842/ SIGMA.2011.052, SEÑOR  2804584, S2CID  8998552.
• Brook, Alejandro; Bruckstein, Alfred M.; Kimmel, Ron (2005), "Sobre medidas de equidad invariantes por similitud", en Kimmel, Ron ; Sochen, Nir A.; Weickert, Joachim (eds.), Scale Space y PDE Methods in Computer Vision: 5th International Conference, Scale-Space 2005, Hofgeismar, Alemania, 7 al 9 de abril de 2005, Actas , Lecture Notes in Computer Science, vol. 3459, Springer-Verlag, págs. 456–467, CiteSeerX  10.1.1.67.1807 , doi :10.1007/11408031_39, ISBN 978-3-540-25547-5.
• Bryant, Robert L .; Griffiths, Phillip A. (1995), "Cohomología característica de sistemas diferenciales. II. Leyes de conservación para una clase de ecuaciones parabólicas", Duke Mathematical Journal , 78 (3): 531–676, doi :10.1215/S0012-7094-95 -07824-7, SEÑOR  1334205. Véase en particular el Ejemplo 1, págs. 542–544 y 601–604.
• Cantarella, Jason H.; Demaine, Erik D .; Iben, Hayley N.; O'Brien, James F. (2004), "Un enfoque impulsado por la energía para el desarrollo de vínculos", Actas del vigésimo simposio anual sobre geometría computacional (SCG '04) , Nueva York, NY, EE. UU.: ACM, págs. 143, CiteSeerX  10.1.1.1001.9683 , doi :10.1145/997817.997840, ISBN 1-58113-885-7, S2CID  6694097.
• Cao, Frédéric (2003), Evolución de curvas geométricas y procesamiento de imágenes , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1805, Berlín: Springer-Verlag, doi :10.1007/b10404, ISBN 3-540-00402-5, SEÑOR  1976551.
• Chopard, Bastien; Droz, Michel (1998), "2.2.4 La regla de recocido", Modelado de sistemas físicos con autómatas celulares , Colección Aléa-Saclay: Monografías y textos de física estadística, Cambridge University Press, Cambridge, págs. 37–38, doi :10.1017 /CBO9780511549755, ISBN 0-521-46168-5, señor  1669736.
• Chou, Kai-Seng; Zhu, Xi-Ping (1998), "Acortamiento de curvas planas completas", Journal of Differential Geometry , 50 (3): 471–504, doi : 10.4310/jdg/1214424967 , MR  1690737.
• Chou, Kai-Seng; Zhu, Xi-Ping (2001), El problema del acortamiento de curvas , Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, doi :10.1201/9781420035704, ISBN 1-58488-213-1, señor  1888641.
• Crandall, Michael G.; Lions, Pierre-Louis (1996), "Esquemas de diferencias convergentes para ecuaciones parabólicas no lineales y movimiento de curvatura media", Numerische Mathematik , 75 (1): 17–41, doi :10.1007/s002110050228, MR  1417861, S2CID  119792668.
• Daskalopoulos, Panagiota ; Hamilton, Ricardo ; Sesum, Natasa (2010), "Clasificación de soluciones antiguas compactas para el flujo de acortamiento de curvas", Journal of Differential Geometry , 84 (3): 455–464, arXiv : 0806.1757 , doi :10.4310/jdg/1279114297, MR  2669361, S2CID  18747005.
• Deckelnick, Klaus (2000), "Límites de error para un esquema de diferencia que aproxima soluciones de viscosidad de flujo de curvatura media", Interfaces and Free Boundaries , 2 (2): 117–142, doi : 10.4171/IFB/15 , MR  1760409.
• Deckelnick, K.; Dziuk, G. (1995), "Sobre la aproximación de la curva de acortamiento del flujo", Cálculo de variaciones, aplicaciones y cálculos (Pont-à-Mousson, 1994) , Pitman Res. Notas Matemáticas. Ser., vol. 326, Ciencia Longman. Tech., Harlow, págs. 100–108, SEÑOR  1419337.
• Devadoss, Satyan L .; O'Rourke, Joseph (2011), "5.5 Acortamiento de curvas", Geometría discreta y computacional , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 138-144, ISBN 978-0-691-14553-2, señor  2790764.
• Dziuk, Gerhard (1999), "Flujo de acortamiento de curva anisotrópica discreta", Revista SIAM de análisis numérico , 36 (6): 1808–1830, doi :10.1137/S0036142998337533, MR  1712165.
• Elliott, Charles M.; Fritz, Hans (2017), "Sobre aproximaciones del flujo de acortamiento de la curva y del flujo de curvatura media basadas en el truco de DeTurck", IMA Journal of Numerical Analysis , 37 (2): 543–603, arXiv : 1602.07143 , doi :10.1093 /imanum/drw020, señor  3649420.
• Epstein, CL ; Weinstein, MI (1987), "Un teorema de la variedad estable para la ecuación de acortamiento de curvas", Communications on Pure and Applied Mathematics , 40 (1): 119–139, doi :10.1002/cpa.3160400106, MR  0865360.
• Esedoḡlu, Selim; Ruuth, Steven; Tsai, Richard (2010), "Movimiento generado por difusión utilizando funciones de distancia con signo" (PDF) , Journal of Computational Physics , 229 (4): 1017–1042, Bibcode :2010JCoPh.229.1017E, doi :10.1016/j.jcp.2009.10 .002, SEÑOR  2576237.
• Gage, Michael E. (1983), "Una desigualdad isoperimétrica con aplicaciones al acortamiento de curvas", Duke Mathematical Journal , 50 (4): 1225–1229, doi :10.1215/S0012-7094-83-05052-4, MR  0726325.
• Gage, ME (1984), "El acortamiento de curvas hace circulares las curvas convexas", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 357–364, Bibcode :1984InMat..76..357G, doi :10.1007/BF01388602, MR  0742856, S2CID  121981987.
• calibre, M .; Hamilton, RS (1986), "La ecuación de calor que encoge las curvas planas convexas", Journal of Differential Geometry , 23 (1): 69–96, doi : 10.4310/jdg/1214439902 , MR  0840401.
• Grayson, Matthew A. (1987), "La ecuación del calor reduce las curvas planas incrustadas a puntos redondos", Journal of Differential Geometry , 26 (2): 285–314, doi : 10.4310/jdg/1214441371 , MR  0906392.
• Grayson, Matthew A. (1989a), "La forma de un ocho bajo la curva que acorta el flujo", Inventiones Mathematicae , 96 (1): 177–180, Bibcode :1989InMat..96..177G, doi :10.1007/ BF01393973, SEÑOR  0981740, S2CID  120965191.
• Grayson, Matthew A. (1989b), "Acortamiento de curvas integradas" (PDF) , Annals of Mathematics , Second Series, 129 (1): 71–111, doi :10.2307/1971486, JSTOR  1971486, MR  0979601.
• Halldórsson, Höskuldur P. (2012), "Soluciones autosemejantes para el flujo de acortamiento de la curva", Transactions of the American Mathematical Society , 364 (10): 5285–5309, arXiv : 1007.1617 , doi : 10.1090/S0002-9947-2012 -05632-7, SEÑOR  2931330, S2CID  54018685.
• Haußer, Frank; Voigt, Axel (2006), "Un esquema numérico para el flujo de acortamiento de curvas anisotrópicas regularizadas", Applied Mathematics Letters , 19 (8): 691–698, doi : 10.1016/j.aml.2005.05.011 , MR  2232241.
• Holden, Helge; Risebro, Nils Henrik (2015), Seguimiento frontal de leyes de conservación hiperbólicas , Ciencias Matemáticas Aplicadas, vol. 152 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3-662-47507-2.
• Huisken, Gerhard (1990), "Comportamiento asintótico para singularidades del flujo de curvatura media", Journal of Differential Geometry , 31 (1): 285–299, doi : 10.4310/jdg/1214444099 , hdl : 11858/00-001M-0000 -0013-5CFE-3 , SEÑOR  1030675.
• Huisken, Gerhard (1998), "Un principio de comparación de distancias para curvas en evolución", The Asian Journal of Mathematics , 2 (1): 127–133, doi : 10.4310/ajm.1998.v2.n1.a2 , hdl : 11858/ 00-001M-0000-0013-5965-2 , SEÑOR  1656553.
• Huisken, Gerhard ; Sinestrari, Carlo (2015), "Soluciones antiguas convexas del flujo de curvatura media", Journal of Differential Geometry , 101 (2): 267–287, arXiv : 1405.7509 , doi :10.4310/jdg/1442364652, MR  3399098, S2CID  119129510.
• Huptych, Marcel; Röck, Sascha (28 de enero de 2021), "Planificación de rutas en tiempo real en entornos dinámicos para vehículos aéreos no tripulados utilizando el método de flujo de acortamiento de curvas", Revista internacional de sistemas robóticos avanzados , 18 (1), doi : 10.1177/1729881420968687 , S2CID  232093372.
• Ilmanen, Tom (1994), "Regularización elíptica y regularidad parcial del movimiento por curvatura media", Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense , 108 (520), doi : 10.1090/memo/0520 , MR  1196160.
• Ilmanen, Tom; Neves, André ; Schulze, Felix (2014), Sobre la existencia en poco tiempo del flujo de red plana , arXiv : 1407.4756 , Bibcode :2014arXiv1407.4756I.
• Ishimura, Naoyuki (1995), "Evolución de la curvatura de curvas planas con ángulo de apertura prescrito", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana , 52 (2): 287–296, doi : 10.1017/S0004972700014714 , SEÑOR  1348488.
• Kichenassamy, S.; Kumar, A.; Olver, P .; Tannenbaum, A .; Yezzi, A. (1995), "Flujos de gradiente y modelos geométricos de contorno activo", Actas de la Conferencia internacional IEEE sobre visión por computadora , págs. 810–815, CiteSeerX  10.1.1.331.6675 , doi :10.1109/iccv.1995.466855, ISBN 0-8186-7042-8, S2CID  10355426.
• Kimmel, Ron (2004), Geometría numérica de imágenes: teoría, algoritmos y aplicaciones , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-21637-9, señor  2028182.
• Kimura, M. (1994), "Esquema numérico preciso para el flujo por curvatura", Applied Mathematics Letters , 7 (1): 69–73, doi : 10.1016/0893-9659(94)90056-6 , MR  1349897.
• Lam, Casey; Lauer, Joseph (2016), El flujo de nivel de la curva sinusoidal del topólogo es suave , arXiv : 1601.02442 , Bibcode :2016arXiv160102442L
• Lauer, Joseph (2013), "Una nueva estimación de longitud para el flujo de acortamiento de la curva y datos iniciales de baja regularidad", Análisis geométrico y funcional , 23 (6): 1934–1961, arXiv : 1102.5110 , doi :10.1007/s00039-013-0248 -1, SEÑOR  3132906, S2CID  119339054.
• Lukyanov, SL; Vitchev, ES; Zamolodchikov, AB (2004), "Modelo integrable de interacción de límites: el clip", Física Nuclear B , 683 (3): 423–454, arXiv : hep-th/0312168 , Bibcode : 2004NuPhB.683..423L, doi : 10.1016/j.nuclphysb.2004.02.010, S2CID  119124585.
• Merriman, Barry; Bence, James; Osher, Stanley (abril de 1992), Movimiento generado por difusión mediante curvatura media (PDF) , Informe CAM 92-18, Departamento de Matemáticas, Universidad de California, Los Ángeles. También publicado en Taylor, Jean E. (1992), Computational Crystal Growers Workshop: Proceedings of the Geometry Center Workshop celebrado en Minneapolis, Minnesota, del 22 al 28 de febrero de 1992 , Selected Lectures in Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, págs. 73–83, ISBN 0-8218-8072-1, señor  1224451.
• Mikula, Karol; Ševčovič, Daniel (1999), "Solución de la evolución de curvas planas impulsada por la curvatura no lineal", Matemáticas numéricas aplicadas , 31 (2): 191–207, doi :10.1016/S0168-9274(98)00130-5, SEÑOR  1708959.
• Mikula, Karol; Ševčovič, Daniel (2001), "Evolución de curvas planas impulsadas por una función no lineal de curvatura y anisotropía", Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas , 61 (5): 1473–1501 (electrónico), CiteSeerX  10.1.1.32.1138 , doi : 10.1137/S0036139999359288, SEÑOR  1824511.
• Minarčík, Jiří; Beneš, Michal (2020), "Comportamiento a largo plazo del flujo de acortamiento de curvas en ", Revista SIAM de análisis matemático , 52 (2): 1221–1231, arXiv : 2212.11907 , doi :10.1137/19M1248522, MR  4076813, S2CID  216464044 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
• Mokhtarian, F.; Mackworth, AK (1992), "Una teoría de representación de formas multiescala basada en curvatura para curvas planas" (PDF) , IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 14 (8): 789–805, doi :10.1109/34.149591.
• Mullins, WW (1956), "Movimiento bidimensional de límites de granos idealizados", Journal of Applied Physics , 27 (8): 900–904, Bibcode :1956JAP....27..900M, doi :10.1063/1.1722511. Reimpreso en Ball, John M .; Kinderlehrer, David ; Podio-Guidugli, Paulo; Slemrod, Marshall, eds. (1999), Contribuciones fundamentales a la teoría del continuo de las interfaces de fase en evolución en sólidos: una colección de reimpresiones de 14 artículos fundamentales , Springer-Verlag, págs. 70–74, doi :10.1007/978-3-642-59938-5_3, ISBN 978-3-642-59938-5.
• Pickover, Clifford A. (1993), "Lámparas de lava en el siglo XXI", The Visual Computer , 10 (3): 173–177, doi :10.1007/bf01900906, S2CID  29417478.
• Rines, Federico N.; Craig, Kenneth R.; DeHoff, Robert T. (1974), "Mecanismo de crecimiento de grano en estado estacionario en aluminio", Transacciones metalúrgicas , 5 (2): 413–425, Bibcode :1974MT......5..413R, doi :10.1007 /bf02644109, S2CID  136991523.
• Ritoré, Manuel; Sinestrari, Carlo (2010), "2.2 Flujo de acortamiento de curvas", Flujo de curvatura medio y desigualdades isoperimétricas , Cursos Avanzados en Matemáticas – CRM Barcelona, ​​Birkhäuser, págs. 72–75, doi :10.1007/978-3-0346-0213-6_13 , ISBN 978-3-0346-0213-6.
• Rubinstein, Jacob; Sternberg, Peter; Keller, Joseph B. (1989), "Reacción rápida, difusión lenta y acortamiento de curvas", Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas , 49 (1): 116–133, doi :10.1137/0149007, SEÑOR  0978829.
• Sapiro, Guillermo ; Tannenbaum, Allen (1993), "Espacio de escala invariante afín", Revista Internacional de Visión por Computadora , 11 (1): 25–44, doi :10.1007/bf01420591, S2CID  13163111.
• Schnürer, Oliver C.; Azouani, Abderrahim; Georgi, Marc; Demonios, Juliette; Jangle, Nihar; Koeller, Amós; Marxen, Tobías; Ritthaler, Sandra; Sáez, Mariel; Schulze, Félix; Smith, Brian (2011), "Evolución de redes convexas en forma de lentes bajo el flujo de acortamiento de la curva", Transactions of the American Mathematical Society , 363 (5): 2265–2294, arXiv : 0711.1108 , doi : 10.1090/S0002-9947- 2010-04820-2, SEÑOR  2763716, S2CID  16595310.
• Scriven, LE (1960), "Dinámica de una interfaz de fluido Ecuación de movimiento para fluidos superficiales newtonianos", Ciencias de la ingeniería química , 12 (2): 98–108, Bibcode :1960ChEnS..12...98S, doi :10.1016/ 0009-2509(60)87003-0.
• Smith, Stephen L.; Broucke, Mireille E .; Francis, Bruce A. (2007), "Acortamiento de curvas y problema de encuentro para robots autónomos móviles", IEEE Transactions on Automatic Control , 52 (6): 1154–1159, arXiv : cs/0605070 , doi :10.1109/tac.2007.899024 , S2CID  574140.
• Vichniac, Gérard Y. (1986), "Modelos de autómata celular de desorden y organización", en Bienenstock, E.; Fogelman Soulié, F.; Weisbuch, G. (eds.), Sistemas desordenados y organización biológica , Serie NATO ASI, vol. 20, Springer-Verlag, págs. 3–20, doi :10.1007/978-3-642-82657-3_1, ISBN 978-3-642-82659-7.
• White, Brian (1989), "Algunos desarrollos recientes en geometría diferencial", The Mathematical Intelligencer , 11 (4): 41–47, doi :10.1007/BF03025885, MR  1016106, S2CID  122335761.
• White, Brian (2002), "Evolución de curvas y superficies por curvatura media", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I (Beijing, 2002) , Ed. Superior. Press, Beijing, págs. 525–538, arXiv : math/0212407 , Bibcode : 2002math.....12407W, MR  1989203.
• You, Qian (2014), Algunas soluciones antiguas de acortamiento de curvas , Ph.D. tesis, Universidad de Wisconsin – Madison, ProQuest  1641120538.