Lente (geometría)

Región plana convexa delimitada por dos arcos circulares

Una lente contenida entre dos arcos circulares de radio R y centros en O ₁ y O ₂

En geometría bidimensional , una lente es una región convexa delimitada por dos arcos circulares unidos entre sí en sus puntos finales. Para que esta forma sea convexa, ambos arcos deben arquearse hacia afuera (convexo-convexo). Esta forma puede formarse como la intersección de dos discos circulares . También puede formarse como la unión de dos segmentos circulares (regiones entre la cuerda de un círculo y el círculo mismo), unidos a lo largo de una cuerda común.

Tipos

Ejemplo de dos lentes asimétricas (izquierda y derecha) y una lente simétrica (en el medio)

La Vesica piscis es la intersección de dos discos con el mismo radio, R, y con la distancia entre centros también igual a R.

Si los dos arcos de una lente tienen el mismo radio se denomina lente simétrica , en caso contrario es lente asimétrica .

La vesica piscis es una forma de lente simétrica formada por arcos de dos círculos cuyos centros se encuentran en arcos opuestos. Los arcos se encuentran en ángulos de 120° en sus puntos finales.

Área

Simétrico

El área de una lente simétrica se puede expresar en términos del radio R y las longitudes de arco θ en radianes:

${\displaystyle A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right).}$

Asimétrico

El área de una lente asimétrica formada a partir de círculos de radios R y r con distancia d entre sus centros es ^[1]

${\displaystyle A=r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta }$

dónde

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}}}$

es el área de un triángulo con lados d , r y R .

Los dos círculos se superponen si . Para valores suficientemente grandes , la coordenada del centro de la lente se encuentra entre las coordenadas de los dos centros de los círculos: ${\displaystyle d<r+R}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$

Para los pequeños, la coordenada del centro de la lente se encuentra fuera de la línea que conecta los centros del círculo: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$

Al eliminar y de las ecuaciones del círculo y la abscisa de los bordes que se intersecan es ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle (x-d)^{2}+y^{2}=R^{2}}$

${\displaystyle x=(d^{2}+r^{2}-R^{2})/(2d)}$.

El signo de x , es decir, ser mayor o menor que , distingue los dos casos mostrados en las imágenes. ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle R^{2}-r^{2}}$

La ordenada de la intersección es

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={\frac {\sqrt {[(R-d)^{2}-r^{2}][r^{2}-(R+d)^{2}]}}{2d}}}$.

Los valores negativos bajo la raíz cuadrada indican que los bordes de los dos círculos no se tocan porque están demasiado separados o uno de los círculos se encuentra completamente dentro del otro.

El valor que se encuentra debajo de la raíz cuadrada es un polinomio bicuadrático de d . Las cuatro raíces de este polinomio están asociadas con y=0 y con los cuatro valores de d donde los dos círculos tienen solo un punto en común.

Los ángulos del triángulo azul de lados d , r y R son

${\displaystyle \sin a_{r}=y/r;\quad \sin a_{R}=y/R}$

donde y es la ordenada de la intersección. La rama del arco seno con se debe tomar si . ${\displaystyle a_{r}>\pi /2}$ ${\displaystyle d^{2}<R^{2}-r^{2}}$

El área del triángulo es . ${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}yd}$

El área de la lente asimétrica es , donde los dos ángulos se miden en radianes. [Esta es una aplicación del principio de inclusión-exclusión : los dos sectores circulares centrados en (0,0) y (d,0) con ángulos centrales y tienen áreas y . Su unión cubre el triángulo, el triángulo invertido con vértice en (x,-y) y el doble del área de la lente.] ${\displaystyle A=a_{r}r^{2}+a_{R}R^{2}-yd}$ ${\displaystyle 2a_{r}}$ ${\displaystyle 2a_{R}}$ ${\displaystyle 2a_{r}r^{2}}$ ${\displaystyle 2a_{R}R^{2}}$

Aplicaciones

Una lente con una forma diferente forma la respuesta al problema de la Sra. Miniver , al encontrar una lente con la mitad del área de la unión de los dos círculos.

Las lentes se utilizan para definir esqueletos beta , gráficos geométricos definidos en un conjunto de puntos conectando pares de puntos mediante un borde siempre que una lente determinada por los dos puntos esté vacía.

Véase también

• Intersección de círculo con círculo
• Luna , una forma no convexa relacionada formada por dos arcos circulares, uno que se inclina hacia afuera y el otro hacia adentro.
• Limón , creado por una lente rotada alrededor de un eje a través de sus puntas. ^[2]

Un limón .

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Lente". MundoMatemático .
2. Weisstein, Eric W. "Lemon". Wolfram MathWorld . Archivado desde el original el 24 de marzo de 2018 . Consultado el 4 de noviembre de 2019 .

• Pedoe, D. (1995). "Círculos: una visión matemática", ed. rev., Washington, DC: Math. Assoc. Amer . MR  1349339.
• Plummer, H. (1960). Tratado introductorio de astronomía dinámica . York: Dover. Bibcode :1960aitd.book.....P.
• Watson, GN (1966). Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel, 2.ª ed . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. MR  1349110.
• Fewell, MP (2006). «Área de superposición común de tres círculos». Organización de Ciencia y Tecnología de Defensa. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2022.
• Librion, Federico; Levorato, Marco; Zorzi, Michele (2012). "Una solución algorítmica para calcular áreas de intersección de círculos y su aplicación a las comunicaciones inalámbricas". Wirel. Commun. Mobile Comput . 14 (18): 1672–1690. arXiv : 1204.3569 . doi :10.1002/wcm.2305. S2CID  2828261.