Louis Nirenberg (28 de febrero de 1925 - 26 de enero de 2020) fue un matemático canadiense-estadounidense , considerado uno de los matemáticos más destacados del siglo XX. [2] [3]
Casi todo su trabajo se centró en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales . Muchas de sus contribuciones ahora se consideran fundamentales para el campo, como su fuerte principio de máximo para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas de segundo orden y el teorema de Newlander-Nirenberg en geometría compleja . Se le considera una figura fundamental en el campo del análisis geométrico , y muchas de sus obras están estrechamente relacionadas con el estudio del análisis complejo y la geometría diferencial . [4]
Nirenberg nació en Hamilton, Ontario, de inmigrantes judíos ucranianos . Asistió a la escuela secundaria Baron Byng y a la Universidad McGill , completando su licenciatura en matemáticas y física en 1945. A través de un trabajo de verano en el Consejo Nacional de Investigación de Canadá , conoció a Sara Paul, la esposa de Ernest Courant . Habló con el padre de Courant, el eminente matemático Richard Courant , para pedirle consejo sobre dónde debería postularse Nirenberg para estudiar física teórica. Después de su discusión, Nirenberg fue invitado a ingresar a la escuela de posgrado en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Nueva York . En 1949 obtuvo su doctorado en matemáticas, bajo la dirección de James Stoker . En su trabajo doctoral resolvió el "problema de Weyl" en geometría diferencial , que era un problema abierto muy conocido desde 1916.
Tras su doctorado, se convirtió en profesor en el Instituto Courant, donde permaneció durante el resto de su carrera. Fue asesor de 45 estudiantes de doctorado y publicó más de 150 artículos con varios coautores, incluidas colaboraciones notables con Henri Berestycki , Haïm Brezis , Luis Caffarelli y Yanyan Li , entre muchos otros. Continuó realizando investigaciones matemáticas hasta los 87 años. El 26 de enero de 2020, Nirenberg murió a la edad de 94 años. [5] [6] [7]
El trabajo de Nirenberg fue ampliamente reconocido, incluidos los siguientes premios y distinciones:
Nirenberg es especialmente conocido por su colaboración con Shmuel Agmon y Avron Douglis en la que extendieron la teoría de Schauder , tal como se entendía anteriormente para las ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, al entorno general de los sistemas elípticos. Con Basilis Gidas y Wei-Ming Ni hizo usos innovadores del principio de máximo para demostrar la simetría de muchas soluciones de ecuaciones diferenciales. El estudio del espacio funcional BMO fue iniciado por Nirenberg y Fritz John en 1961; Si bien fue introducido originalmente por John en el estudio de materiales elásticos , también se ha aplicado a los juegos de azar conocidos como martingalas . [18] Su trabajo de 1982 con Luis Caffarelli y Robert Kohn hizo una contribución fundamental a la existencia y suavidad de Navier-Stokes , en el campo de la mecánica matemática de fluidos .
Otros logros incluyen la resolución del problema de Minkowski en dos dimensiones, la desigualdad de interpolación de Gagliardo-Nirenberg , el teorema de Newlander-Nirenberg en geometría compleja y el desarrollo de operadores pseudodiferenciales con Joseph Kohn .
Las ecuaciones de Navier-Stokes se desarrollaron a principios del siglo XIX para modelar la física de la mecánica de fluidos . Jean Leray , en un logro fundamental en la década de 1930, formuló una noción influyente de solución débil para las ecuaciones y demostró su existencia. [19] Su trabajo fue posteriormente presentado en el marco de un problema de valores en la frontera por Eberhard Hopf . [20]
Un gran avance se produjo con el trabajo de Vladimir Scheffer en los años 1970. Demostró que si una solución suave de las ecuaciones de Navier-Stokes se acerca a un tiempo singular, entonces la solución se puede extender continuamente al tiempo singular lejos de, en términos generales, una curva en el espacio. [21] Sin hacer una suposición tan condicional sobre la suavidad, estableció la existencia de soluciones de Leray-Hopf que son suaves lejos de una superficie bidimensional en el espacio-tiempo. [22] Estos resultados se denominan "regularidad parcial". Poco después, Luis Caffarelli , Robert Kohn y Nirenberg localizaron y agudizaron el análisis de Scheffer. [CKN82] La herramienta clave del análisis de Scheffer fue una desigualdad energética que proporcionaba un control integral localizado de las soluciones. No se satisface automáticamente con las soluciones de Leray-Hopf, pero Scheffer y Caffarelli-Kohn-Nirenberg establecieron teoremas de existencia para soluciones que satisfacen tales desigualdades. Con ese control "a priori" como punto de partida, Caffarelli-Kohn-Nirenberg pudieron demostrar un resultado puramente local sobre la suavidad lejos de una curva en el espacio-tiempo, mejorando la regularidad parcial de Scheffer.
Más tarde, Michael Struwe encontró resultados similares , y Fang-Hua Lin encontró más tarde una versión simplificada del análisis de Caffarelli-Kohn-Nirenberg . [23] [24] En 2014, la Sociedad Estadounidense de Matemáticas reconoció el artículo de Caffarelli-Kohn-Nirenberg con el Premio Steele por su contribución fundamental a la investigación , diciendo que su trabajo era un "hito" que proporcionaba una "fuente de inspiración para una generación de matemáticos". ". El análisis más detallado de la teoría de la regularidad de las ecuaciones de Navier-Stokes es, a partir de 2021, un problema abierto bien conocido .
En la década de 1930, Charles Morrey encontró la teoría básica de la regularidad de ecuaciones diferenciales parciales elípticas cuasilineales para funciones en dominios bidimensionales. [25] Nirenberg, como parte de su doctorado. tesis, amplió los resultados de Morrey al establecimiento de ecuaciones elípticas completamente no lineales. [N53a] Los trabajos de Morrey y Nirenberg hicieron un uso extensivo de la bidimensionalidad, y la comprensión de ecuaciones elípticas con dominios de dimensiones superiores fue un problema abierto pendiente.
La ecuación de Monge-Ampère , en la forma de prescribir el determinante de la arpillera de una función, es uno de los ejemplos estándar de una ecuación elíptica completamente no lineal. En una conferencia invitada en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1974 , Nirenberg anunció los resultados obtenidos con Eugenio Calabi sobre el problema de valores en la frontera para la ecuación de Monge-Ampère, basado en estimaciones de regularidad de fronteras y un método de continuidad . [26] Sin embargo, pronto se dieron cuenta de que sus pruebas estaban incompletas. [26] En 1977, Shiu-Yuen Cheng y Shing-Tung Yau resolvieron la existencia y la regularidad interior de la ecuación de Monge-Ampère , mostrando en particular que si el determinante de la arpillera de una función es suave, entonces la función misma debe ser suave también. [27] Su trabajo se basó en la relación a través de la transformada de Legendre con el problema de Minkowski , que habían resuelto previamente mediante estimaciones de geometría diferencial. [28] En particular, su trabajo no hizo uso de la regularidad de los límites, y sus resultados dejaron tales preguntas sin resolver.
En colaboración con Luis Caffarelli y Joel Spruck , Nirenberg resolvió tales cuestiones, estableciendo directamente la regularidad de los límites y utilizándola para construir un enfoque directo de la ecuación de Monge-Ampère basado en el método de continuidad. [CNS84] Calabi y Nirenberg habían demostrado con éxito un control uniforme de los dos primeros derivados; La clave para el método de continuidad es la continuidad uniforme de Hölder, más poderosa, de las segundas derivadas. Caffarelli, Nirenberg y Spruck establecieron una versión delicada de esto a lo largo de la frontera, [29] que pudieron establecer como suficiente utilizando las estimaciones de la tercera derivada de Calabi en el interior. [30] Con Joseph Kohn , encontraron resultados análogos en el establecimiento de la compleja ecuación de Monge-Ampère. [C+85] En tales situaciones generales, la teoría de Evans-Krylov [29] es una herramienta más flexible que los cálculos basados en computación de Calabi.
Caffarelli, Nirenberg y Spruck pudieron extender sus métodos a clases más generales de ecuaciones diferenciales parciales elípticas completamente no lineales, en las que se estudian funciones para las cuales se prescriben ciertas relaciones entre los valores propios de la arpillera. [CNS85] Como caso particular de su nueva clase de ecuaciones, pudieron resolver parcialmente el problema de valores en la frontera para lagrangianos especiales .
La obra más famosa de Nirenberg de la década de 1950 trata sobre la "regularidad elíptica". Con Avron Douglis, Nirenberg amplió las estimaciones de Schauder , descubiertas en la década de 1930 en el contexto de las ecuaciones elípticas de segundo orden, a sistemas elípticos generales de orden arbitrario. [DN55] En colaboración con Shmuel Agmon y Douglis, Nirenberg demostró la regularidad de límites para ecuaciones elípticas de orden arbitrario. [ADN59] Posteriormente ampliaron sus resultados a sistemas elípticos de orden arbitrario. [ADN64] Con Morrey, Nirenberg demostró que las soluciones de sistemas elípticos con coeficientes analíticos son en sí mismas analíticas, extendiéndose hasta los límites de trabajos conocidos anteriormente. [MN57] Estas contribuciones a la regularidad elíptica ahora se consideran parte de un "paquete estándar" de información y se tratan en muchos libros de texto. Las estimaciones de Douglis-Nirenberg y Agmon-Douglis-Nirenberg, en particular, se encuentran entre las herramientas más utilizadas en ecuaciones diferenciales parciales elípticas. [31]
Con Yanyan Li , y motivado por los materiales compuestos en la teoría de la elasticidad, Nirenberg estudió sistemas elípticos lineales en los que los coeficientes de Hölder son continuos en el interior pero posiblemente discontinuos en el límite. Su resultado es que el gradiente de la solución es continuo de Hölder, con una estimación L ∞ para el gradiente que es independiente de la distancia desde el límite. [LN03]
En el caso de las funciones armónicas , el principio de máximo se conoció en el siglo XIX y fue utilizado por Carl Friedrich Gauss . [32] [33] A principios de 1900, Sergei Bernstein , Leon Lichtenstein y Émile Picard encontraron extensiones complicadas a las ecuaciones diferenciales parciales elípticas generales de segundo orden ; No fue hasta la década de 1920 que Eberhard Hopf encontró la prueba moderna y sencilla . [34] En uno de sus primeros trabajos, Nirenberg adaptó la prueba de Hopf a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas de segundo orden , estableciendo así el principio del máximo fuerte en ese contexto. [N53b] Como en el trabajo anterior, tal resultado tenía varios teoremas de unicidad y comparación como corolarios. El trabajo de Nirenberg ahora se considera uno de los fundamentos del campo de las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y está omnipresente en los libros de texto estándar. [35] [36] [37] [38] [39] [40]
En la década de 1950, AD Alexandrov introdujo un elegante método de reflexión de "plano móvil", que utilizó como contexto para aplicar el principio de máximo para caracterizar la esfera estándar como la única hipersuperficie cerrada del espacio euclidiano con curvatura media constante . En 1971, James Serrin utilizó la técnica de Alexandrov para demostrar que las soluciones altamente simétricas de ciertas ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden deben apoyarse en dominios simétricos. Nirenberg se dio cuenta de que el trabajo de Serrin podría reformularse para demostrar que las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden heredan simetrías de su dominio y de la ecuación misma. Estos resultados no se mantienen automáticamente y no es trivial identificar qué características especiales de un problema determinado son relevantes. Por ejemplo, hay muchas funciones armónicas en el espacio euclidiano que no logran ser rotacionalmente simétricas, a pesar de la simetría rotacional del espacio laplaciano y euclidiano.
Los primeros resultados de Nirenberg sobre este problema se obtuvieron en colaboración con Basilis Gidas y Wei-Ming Ni . Desarrollaron una forma precisa de la técnica de Alexandrov y Serrin, aplicable incluso a ecuaciones elípticas y parabólicas totalmente no lineales. [GNN79] En un trabajo posterior, desarrollaron una versión del lema de Hopf aplicable en dominios ilimitados, mejorando así su trabajo en el caso de ecuaciones en dichos dominios. [GNN81] Sus principales aplicaciones tienen que ver con la simetría rotacional. Debido a tales resultados, en muchos casos de interés geométrico o físico, es suficiente estudiar ecuaciones diferenciales ordinarias en lugar de ecuaciones diferenciales parciales.
Posteriormente, con Henri Berestycki , Nirenberg utilizó la estimación de Alexandrov-Bakelman-Pucci [29] para mejorar y modificar los métodos de Gidas-Ni-Nirenberg, reduciendo significativamente la necesidad de asumir regularidad del dominio. [BN91a] En un resultado importante con Srinivasa Varadhan , Berestycki y Nirenberg continuaron el estudio de dominios sin supuesta regularidad. Para los operadores lineales, relacionaron la validez del principio de máximo con la positividad de un primer valor propio y la existencia de una primera función propia. [BNV94] Con Luis Caffarelli , Berestycki y Nirenberg aplicaron sus resultados a la simetría de funciones en dominios cilíndricos. [BCN96] Obtuvieron en particular una resolución parcial de una conocida conjetura de Ennio De Giorgi sobre la simetría traslacional, que luego fue completamente resuelta en el doctorado de Ovidiu Savin . tesis. [BCN97b] [41] [42] Además, aplicaron su método para obtener fenómenos cualitativos en dominios generales ilimitados, ampliando trabajos anteriores de María Esteban y Pierre-Louis Lions . [BCN97a]
Nirenberg y Emilio Gagliardo demostraron de forma independiente desigualdades fundamentales para los espacios de Sobolev , ahora conocidas como desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev y desigualdades de interpolación de Gagliardo-Nirenberg . [N59] Se utilizan de forma ubicua en toda la literatura sobre ecuaciones diferenciales parciales; como tal, ha resultado de gran interés ampliarlos y adaptarlos a diversas situaciones. El propio Nirenberg aclararía posteriormente los posibles exponentes que pueden aparecer en la desigualdad de interpolación. [N66] Con Luis Caffarelli y Robert Kohn , Nirenberg establecería desigualdades correspondientes para ciertas normas ponderadas. [CKN84] Las normas de Caffarelli, Kohn y Nirenberg fueron posteriormente investigadas más a fondo en trabajos notables de Florin Catrina y Zhi-Qiang Wang. [43]
Inmediatamente después de la introducción por parte de Fritz John del espacio funcional de oscilación media acotada (BMO) en la teoría de la elasticidad , él y Nirenberg realizaron un estudio más detallado del espacio, demostrando en particular la "desigualdad de John-Nirenberg", que limita el tamaño de el conjunto en el que una función BMO está lejos de su valor medio. [JN61] Su trabajo, que es una aplicación de la descomposición de Calderón-Zygmund , se ha convertido en parte de la literatura matemática estándar. Las exposiciones están contenidas en libros de texto estándar sobre probabilidad, [44] análisis complejo, [45] análisis armónico, [46] análisis de Fourier, [47] y ecuaciones diferenciales parciales. [29] Entre otras aplicaciones, es particularmente fundamental para la desigualdad de Harnack de Jürgen Moser y su trabajo posterior. [48] [49] [29]
La desigualdad de John-Nirenberg y los fundamentos más generales de la teoría BMO fueron elaborados por Nirenberg y Haïm Brézis en el contexto de mapas entre variedades de Riemann . [BN95] Entre otros resultados, pudieron establecer que los mapas suaves que están cerca de la norma BMO tienen el mismo grado topológico y, por lo tanto, ese grado puede definirse de manera significativa para mapeos de oscilación media evanescente (VMO) .
En el ámbito de los espacios vectoriales topológicos , Ky Fan desarrolló un teorema minimax con aplicaciones en la teoría de juegos . [50] [51] Con Haïm Brezis y Guido Stampacchia , Nirenberg obtuvo resultados que ampliaban tanto la teoría de Fan como la generalización de Stampacchia del teorema de Lax-Milgram . [BNS72] [52] Su trabajo tiene aplicaciones al tema de las desigualdades variacionales . [53]
Al adaptar la energía de Dirichlet , es estándar reconocer soluciones de ciertas ecuaciones de onda como puntos críticos de funcionales. Con Brezis y Jean-Michel Coron , Nirenberg encontró una novela funcional cuyos puntos críticos pueden utilizarse directamente para construir soluciones de ecuaciones de onda. [BCN80] Pudieron aplicar el teorema del paso de montaña a su nuevo funcional, estableciendo así la existencia de soluciones periódicas de ciertas ecuaciones de onda, ampliando un resultado de Paul Rabinowitz . [54] Parte de su trabajo implicó pequeñas extensiones del teorema estándar del paso de montaña y la condición de Palais-Smale , que se han convertido en estándar en los libros de texto. [55] [56] [57] En 1991, Brezis y Nirenberg demostraron cómo el principio variacional de Ekeland podría aplicarse para extender el teorema del paso de montaña, con el efecto de que se pueden encontrar puntos casi críticos sin requerir la condición Palais-Smale. [BN91b] [57]
Una contribución fundamental de Brezis y Nirenberg a la teoría del punto crítico tuvo que ver con los minimizadores locales. [BN93] En principio, la elección del espacio funcional es muy relevante, y una función podría minimizarse entre funciones suaves sin minimizarse entre la clase más amplia de funciones de Sobolev . Haciendo uso de un resultado de regularidad anterior de Brezis y Tosio Kato , Brezis y Nirenberg descartaron tales fenómenos para una cierta clase de funcionales de tipo Dirichlet . [58] Su obra fue posteriormente ampliada por Jesús García Azorero, Juan Manfredi e Ireneo Peral. [59]
En uno de los artículos más citados de Nirenberg, él y Brézis estudiaron el problema de Dirichlet para ecuaciones de tipo Yamabe en espacios euclidianos, siguiendo parte del trabajo de Thierry Aubin sobre el problema de Yamabe . [BN83] Con Berestycki e Italo Capuzzo-Dolcetta, Nirenberg estudió ecuaciones superlineales de tipo Yamabe, dando varios resultados de existencia y no existencia. [BCN94]
Agmon y Nirenberg hicieron un extenso estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias en espacios de Banach, relacionando representaciones asintóticas y el comportamiento en infinidad de soluciones con
a las propiedades espectrales del operador A . Las aplicaciones incluyen el estudio de problemas parabólicos y elíptico-parabólicos bastante generales. [AN63]
Brezis y Nirenberg realizaron un estudio de la teoría de perturbaciones no lineales de transformaciones no invertibles entre espacios de Hilbert; las aplicaciones incluyen resultados de existencia para soluciones periódicas de algunas ecuaciones de ondas semilineales. [BN78a] [BN78b]
En el trabajo de John Nash sobre el problema de incrustación isométrica , el paso clave es un resultado de pequeña perturbación, que recuerda mucho a un teorema de función implícita ; su prueba utilizó una combinación novedosa del método de Newton (en forma infinitesimal) con operadores de suavizado. [60] Nirenberg fue uno de los muchos matemáticos que puso las ideas de Nash en marcos sistemáticos y abstractos, conocidos como teoremas de Nash-Moser . La formulación de Nirenberg es particularmente simple y aísla las ideas analíticas básicas que subyacen al análisis de la mayoría de los esquemas de iteración de Nash-Moser. [N72] Dentro de un marco similar, demostró una forma abstracta del teorema de Cauchy-Kowalevski , como un caso particular de un teorema sobre la solubilidad de ecuaciones diferenciales ordinarias en familias de espacios de Banach . [N72] Su trabajo fue posteriormente simplificado por Takaaki Nishida y utilizado en un análisis de la ecuación de Boltzmann . [61] [62]
Haciendo uso de su trabajo sobre ecuaciones elípticas totalmente no lineales [N53a] , el Ph.D. La tesis proporcionó una resolución del problema de Weyl y del problema de Minkowski en el campo de la geometría diferencial . [N53c] El primero pide la existencia de incrustaciones isométricas de métricas de Riemann curvadas positivamente en la esfera bidimensional en el espacio euclidiano tridimensional , mientras que el segundo pide superficies cerradas en el espacio euclidiano tridimensional para las cuales el mapa de Gauss prescribe el Curvatura gaussiana . La clave es que la "ecuación de Darboux" de la teoría de superficies es del tipo Monge-Ampère, por lo que la teoría de la regularidad de Nirenberg resulta útil en el método de la continuidad . Los conocidos teoremas de incrustación isométrica de John Nash , establecidos poco después, no tienen relación aparente con el problema de Weyl, que trata simultáneamente con incrustaciones de alta regularidad y baja codimensión. [63] [60] El trabajo de Nirenberg sobre el problema de Minkowski fue extendido a escenarios riemannianos por Aleksei Pogorelov . En dimensiones superiores, el problema de Minkowski fue resuelto por Shiu-Yuen Cheng y Shing-Tung Yau . [28] Otros enfoques al problema de Minkowski se han desarrollado a partir de las contribuciones fundamentales de Caffarelli, Nirenberg y Spruck a la teoría de ecuaciones elípticas no lineales. [CNS85]
En uno de sus pocos artículos no centrados en el análisis , Nirenberg y Philip Hartman caracterizaron los cilindros en el espacio euclidiano como las únicas hipersuperficies completas que son intrínsecamente planas. [HN59] Esto también puede verse como una solución a una cuestión sobre la incrustación isométrica de variedades planas como hipersuperficies. Estas cuestiones y generalizaciones naturales fueron retomadas más tarde por Cheng, Yau y Harold Rosenberg , entre otros. [64] [65]
Respondiendo a una pregunta planteada a Nirenberg por Shiing-Shen Chern y André Weil , Nirenberg y su estudiante de doctorado August Newlander demostraron lo que ahora se conoce como el teorema de Newlander-Nirenberg , que proporciona la condición algebraica precisa bajo la cual una estructura casi compleja surge de una estructura holomorfa. atlas de coordenadas. [NN57] El teorema de Newlander-Nirenberg ahora se considera un resultado fundamental en geometría compleja , aunque el resultado en sí es mucho más conocido que la demostración, que generalmente no se trata en los textos introductorios, ya que se basa en métodos avanzados en ecuaciones diferenciales parciales. . Nirenberg y Joseph Kohn , siguiendo trabajos anteriores de Kohn, estudiaron el problema de ∂ -Neumann en dominios pseudoconvexos y demostraron la relación de la teoría de la regularidad con la existencia de estimaciones subelípticas para el operador ∂ . [KN65b]
El modelo clásico de disco de Poincaré asigna la métrica del espacio hiperbólico a la bola unitaria. Nirenberg y Charles Loewner estudiaron los medios más generales para asignar naturalmente una métrica riemanniana completa a subconjuntos abiertos acotados del espacio euclidiano . [LN74] Los cálculos geométricos muestran que las soluciones de ciertas ecuaciones semilineales de tipo Yamabe se pueden usar para definir métricas de curvatura escalar constante, y que la métrica está completa si la solución diverge hasta el infinito cerca del límite. Loewner y Nirenberg comprobaron la existencia de tales soluciones en determinados ámbitos. De manera similar, estudiaron cierta ecuación de Monge-Ampère con la propiedad de que, para cualquier solución negativa que se extienda continuamente hasta cero en el límite, se puede definir una métrica de Riemann completa a través de la arpillera. Estas métricas tienen la propiedad especial de invariancia proyectiva, de modo que la transformación proyectiva de un dominio determinado a otro se convierte en una isometría de las métricas correspondientes.
Joseph Kohn y Nirenberg introdujeron la noción de operadores pseudodiferenciales . [KN65a] Nirenberg y François Trèves investigaron el famoso ejemplo de Lewy para una PDE lineal de segundo orden no solucionable y descubrieron las condiciones bajo las cuales es solucionable, tanto en el contexto de operadores diferenciales parciales como de operadores pseudodiferenciales. [NT63] [NT70] Su introducción de condiciones de solubilidad local con coeficientes analíticos se ha convertido en un foco de atención para investigadores como R. Beals, C. Fefferman, RD Moyer, Lars Hörmander y Nils Dencker , quienes resolvieron la condición pseudodiferencial de la ecuación de Lewy. . Esto abrió más puertas a la solubilidad local de ecuaciones diferenciales parciales lineales.
Libros y encuestas.
Artículos.
