Desigualdad variacional

En matemáticas , una desigualdad variacional es una desigualdad que involucra un funcional , que debe resolverse para todos los valores posibles de una variable dada , que generalmente pertenece a un conjunto convexo . La teoría matemática de las desigualdades variacionales se desarrolló inicialmente para abordar problemas de equilibrio , precisamente el problema de Signorini : en ese modelo de problema, el funcional involucrado se obtenía como la primera variación de la energía potencial involucrada . Tiene por tanto un origen variacional , recordado con el nombre de problema abstracto general. Desde entonces, la aplicabilidad de la teoría se ha ampliado para incluir problemas de economía , finanzas , optimización y teoría de juegos .

Historia

El primer problema que involucraba una desigualdad variacional fue el problema de Signorini , planteado por Antonio Signorini en 1959 y resuelto por Gaetano Fichera en 1963, según las referencias (Antman 1983, pp. 282-284) y (Fichera 1995): los primeros artículos de la teoría fueron (Fichera 1963) y (Fichera 1964a), (Fichera 1964b). Posteriormente, Guido Stampacchia demostró su generalización al teorema de Lax-Milgram en (Stampacchia 1964) para estudiar el problema de regularidad de ecuaciones diferenciales parciales y acuñó el nombre de "desigualdad variacional" para todos los problemas que involucran desigualdades de este tipo. Georges Duvaut animó a sus estudiantes de posgrado a estudiar y ampliar el trabajo de Fichera, después de asistir a una conferencia en Brixen en 1965 donde Fichera presentó su estudio del problema de Signorini, como Antman 1983, p. 283 informes: así la teoría se vuelve ampliamente conocida en toda Francia . También en 1965, Stampacchia y Jacques-Louis Lions ampliaron resultados anteriores de (Stampacchia 1964), anunciándolos en el artículo (Lions & Stampacchia 1965): pruebas completas de sus resultados aparecieron más adelante en el artículo (Lions & Stampacchia 1967).

Definición

Siguiendo a Antman (1983, p. 283), la definición de desigualdad variacional es la siguiente.

Definición 1. Dado un espacio de Banach , un subconjunto de y un funcional de al espacio dual del espacio , el problema de desigualdad variacional es el problema de resolver la variable que pertenece a la siguiente desigualdad : ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ ${\displaystyle F\colon {\boldsymbol {K}}\to {\boldsymbol {E}}^{\ast }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{\ast }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$

${\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in {\boldsymbol {K}}}$

¿ Dónde está el emparejamiento de dualidad ? ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon {\boldsymbol {E}}^{\ast }\times {\boldsymbol {E}}\to \mathbb {R} }$

En general, el problema de desigualdad variacional se puede formular en cualquier espacio de Banach finito o de dimensión infinita . Los tres pasos obvios en el estudio del problema son los siguientes:

1. Probar la existencia de una solución: este paso implica la corrección matemática del problema, demostrando que existe al menos una solución.
2. Demostrar la unicidad de la solución dada: este paso implica la corrección física del problema, mostrando que la solución se puede utilizar para representar un fenómeno físico. Es un paso particularmente importante ya que la mayoría de los problemas modelados mediante desigualdades variacionales son de origen físico.
3. Encuentre la solución o demuestre su regularidad.

Ejemplos

El problema de encontrar el valor mínimo de una función de valor real de variable real

Este es un problema de ejemplo estándar, reportado por Antman (1983, p. 283): considere el problema de encontrar el valor mínimo de una función diferenciable en un intervalo cerrado . Sea un punto en el que se produce el mínimo. Pueden ocurrir tres casos: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I=[a,b]}$ ${\displaystyle x^{\ast }}$ ${\displaystyle I}$

1. si entonces ${\displaystyle a<x^{\ast }<b,}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })=0;}$
2. si entonces ${\displaystyle x^{\ast }=a,}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\geq 0;}$
3. si entonces ${\displaystyle x^{\ast }=b,}$ ${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })\leq 0.}$

Estas condiciones necesarias se pueden resumir como el problema de encontrar condiciones tales que ${\displaystyle x^{\ast }\in I}$

${\displaystyle f^{\prime }(x^{\ast })(y-x^{\ast })\geq 0\quad }$para ${\displaystyle \quad \forall y\in I.}$

El mínimo absoluto debe buscarse entre las soluciones (si hay más de una) de la desigualdad anterior : tenga en cuenta que la solución es un número real , por lo tanto, se trata de una desigualdad variacional de dimensión finita .

La desigualdad variacional general de dimensión finita

Una formulación del problema general es la siguiente: dado un subconjunto de y un mapeo , el problema de desigualdad variacional de dimensión finita asociado con consiste en encontrar un vector de dimensión perteneciente a tal que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F\colon K\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle F(x),y-x\rangle \geq 0\qquad \forall y\in K}$

¿Dónde está el producto interno estándar en el espacio vectorial ? ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La desigualdad variacional para el problema de Signorini.

El problema clásico de Signorini : ¿cuál será la configuración de equilibrio del cuerpo elástico de forma esférica naranja que descansa sobre el plano rígido azul sin fricción ?

En el estudio histórico (Fichera 1995), Gaetano Fichera describe la génesis de su solución al problema de Signorini : el problema consiste en encontrar la configuración de equilibrio elástico de un cuerpo elástico anisotrópico no homogéneo que se encuentra en un subconjunto del sistema euclidiano tridimensional . Espacio cuyo límite está apoyado sobre una superficie rígida sin fricción y sujeto únicamente a las fuerzas de su masa . La solución del problema existe y es única (bajo supuestos precisos) en el conjunto de desplazamientos admisibles , es decir, el conjunto de vectores de desplazamiento que satisfacen el sistema de condiciones de contorno ambiguas si y sólo si ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \partial A}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})-F({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {u}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

donde y son los siguientes funcionales , escritos usando la notación de Einstein ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})}$ ${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})}$

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\,\mathrm {d} x}$,    ,    ${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\,\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\,\mathrm {d} \sigma }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

donde, para todos , ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\in A}$

• ${\displaystyle \Sigma }$es la superficie de contacto (o más generalmente un conjunto de contactos ),
• ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$es la fuerza corporal aplicada al cuerpo,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$es la fuerza superficial aplicada a , ${\displaystyle \partial A\!\setminus \!\Sigma }$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$es el tensor de deformación infinitesimal ,
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left(\sigma _{ik}\right)}$es el tensor de tensión de Cauchy , definido como

${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad \forall i,k=1,2,3}$

donde es la energía potencial elástica y es el tensor de elasticidad . ${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ikjh}({\boldsymbol {x}})\right)}$

Ver también

• Teoría de la complementariedad
• Desigualdad variacional diferencial
• Programación Matemática Extendida para Problemas de Equilibrio
• Programación matemática con restricciones de equilibrio.
• problema de obstáculos
• Sistema dinámico proyectado.
• problema de signorini
• Contacto unilateral

Referencias

Referencias históricas

• Antman, Stuart (1983), "La influencia de la elasticidad en el análisis: desarrollos modernos", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 9 (3): 267–291, doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15185-6 , SEÑOR  0714990, Zbl  0533.73001. En el §5, páginas 282-284, se describe un artículo histórico sobre la fructífera interacción entre la teoría de la elasticidad y el análisis matemático : la creación de la teoría de las desigualdades variacionales por Gaetano Fichera .
• Duvaut, Georges (1971), "Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus", Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970, ICM Proceedings , vol. Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Volumen 3, París : Gauthier-Villars, págs. 71–78, archivado desde el original (PDF) el 25 de julio de 2015 , consultado el 25 de julio de 2015. Un breve estudio de investigación que describe el campo de las desigualdades variacionales, precisamente el subcampo de los problemas de mecánica continua con restricciones unilaterales.
• Fichera, Gaetano (1995), "La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni", Incontro Scientifico italo-spagnolo. Roma, 21 de octubre de 1993, Atti dei Convegni Lincei (en italiano), vol. 114, Roma : Accademia Nazionale dei Lincei , págs. 47-53. El nacimiento de la teoría de las desigualdades variacionales recordado treinta años después (traducción al inglés del título) es un artículo histórico que describe el comienzo de la teoría de las desigualdades variacionales desde el punto de vista de su fundador.

Trabajos científicos

• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Desigualdades variacionales y problemas de complementariedad de dimensión finita, vol. 1 , Springer Series in Operations Research, Berlín – Heidelberg – Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-95580-1, Zbl  1062.90001
• Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Desigualdades variacionales y problemas de complementariedad de dimensión finita, vol. 2 , Springer Series in Operations Research, Berlín – Heidelberg – Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-95581-X, Zbl  1062.90001
• Fichera, Gaetano (1963), "Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno" [Sobre el problema elastostático de Signorini con condiciones de contorno ambiguas], Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 ( en italiano), 34 (2): 138–142, MR  0176661, Zbl  0128.18305. Una breve nota de investigación que anuncia y describe (sin pruebas) la solución del problema de Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964a), "Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno" [Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas], Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (en italiano), 7 (2): 91–140, Zbl  0146.21204. El primer artículo donde se demuestra un teorema de existencia y unicidad para el problema de Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964b), "Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas", Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Roma : Edizioni Cremonese, págs.. Una traducción al inglés de (Fichera 1964a).
• Glowinski, Roland ; Leones, Jacques-Louis ; Trémolières, Raymond (1981), Análisis numérico de desigualdades variacionales. Traducido del francés , Estudios de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 8, Ámsterdam – Nueva York – Oxford : Holanda Septentrional , págs. xxix+776, ISBN 0-444-86199-8, SEÑOR  0635927, Zbl  0463.65046
• Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980), Introducción a las desigualdades variacionales y sus aplicaciones, Matemática pura y aplicada, vol. 88, Boston – Londres – Nueva York – San Diego – Sydney – Tokio – Toronto : Academic Press , ISBN 0-89871-466-4, Zbl  0457.35001.
• Leones, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1965), "Inéquations varianelles non coercives", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 261 : 25–27, Zbl  0136.11906, disponible en Gallica . Anuncios de los resultados del artículo (Lions & Stampacchia 1967).
• Leones, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1967), "Desigualdades variacionales", Communications on Pure and Applied Mathematics , 20 (3): 493–519, doi :10.1002/cpa.3160200302, Zbl  0152.34601, archivado desde el original el 5 de enero de 2013.. Un artículo importante que describe el enfoque abstracto de los autores de la teoría de las desigualdades variacionales.
• Roubíček, Tomáš (2013), Ecuaciones diferenciales parciales no lineales con aplicaciones , ISNM. Serie internacional de matemáticas numéricas, vol. 153 (2ª ed.), Basilea-Boston-Berlín: Birkhäuser Verlag , págs. xx+476, doi :10.1007/978-3-0348-0513-1, ISBN 978-3-0348-0512-4, SEÑOR  3014456, Zbl  1270.35005.
• Stampacchia, Guido (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 258 : 4413–4416, Zbl  0124.06401, disponible en Gallica . El artículo que contiene la generalización de Stampacchia del teorema de Lax-Milgram .

enlaces externos

• Panagiotopoulos, PD (2001) [1994], "Desigualdades variacionales", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Alessio Figalli, Sobre soluciones globales homogéneas al problema de Signorini,