problema de signorini

Problema de elastostática en elasticidad lineal.

El problema de Signorini es un problema de elastostática en elasticidad lineal : consiste en encontrar la configuración de equilibrio elástico de un cuerpo elástico anisotrópico , no homogéneo , apoyado sobre una superficie rígida sin fricción y sujeto únicamente a sus fuerzas de masa . El nombre fue acuñado por Gaetano Fichera en honor a su maestro, Antonio Signorini : el nombre original acuñado por él es un problema con condiciones de contorno ambiguas .

Historia

El problema clásico de Signorini: ¿cuál será la configuración de equilibrio del cuerpo elástico de forma esférica naranja que descansa sobre el plano rígido azul sin fricción ?

• -"Il mio discepolo Fichera mi ha dato una grande soddisfazione"
• -"Ma Lei ne ha avute tante, Professore, durante la Sua vita" , responde el Dottor Aprile, ma Signorini responde nuevo:
• -"Ma questa è la più grande." E queste furono le sue ultime parole. ^[1]

—  Gaetano Fichera , (Fichera 1995, p. 49)

El problema fue planteado por Antonio Signorini durante un curso impartido en el Istituto Nazionale di Alta Matematica en 1959, publicado posteriormente como artículo (Signorini 1959), ampliando una breve exposición anterior que dio en una nota publicada en 1933. Signorini (1959, p. 128) lo llamó problema con condiciones de contorno ambiguas , ^[2] ya que hay dos conjuntos alternativos de condiciones de contorno que la solución debe satisfacer en cualquier punto de contacto dado . El planteamiento del problema implica no sólo igualdades sino también desigualdades , y no se sabe a priori cuál de los dos conjuntos de condiciones de contorno se satisface en cada punto . Signorini pidió determinar si el problema está bien planteado o no en un sentido físico, es decir, si su solución existe y es única o no: invitó explícitamente a jóvenes analistas a estudiar el problema. ^[3]

Gaetano Fichera y Mauro Picone asistieron al curso, y Fichera comenzó a investigar el problema: como no encontró referencias a problemas similares en la teoría de los problemas de valores en la frontera , ^[4] decidió abordarlo partiendo de los primeros principios , específicamente de los principio de trabajo virtual .

Durante las investigaciones de Fichera sobre el problema, Signorini comenzó a sufrir graves problemas de salud: sin embargo, deseaba saber la respuesta a su pregunta antes de morir. Picone, vinculado por una fuerte amistad con Signorini, comenzó a perseguir a Fichera para encontrar una solución: el propio Fichera, vinculado también a Signorini por sentimientos similares, percibió los últimos meses de 1962 como días preocupantes. ^[5] Finalmente, en los primeros días de enero de 1963, Fichera pudo dar una prueba completa de la existencia de una solución única para el problema con condición de frontera ambigua, a la que llamó "problema de Signorini" en honor a su maestro. Un anuncio de investigación preliminar, publicado más tarde como (Fichera 1963), fue redactado y enviado a Signorini exactamente una semana antes de su muerte. Signorini expresó gran satisfacción por ver una solución a su pregunta.
Unos días más tarde, Signorini mantuvo con su médico de familia , Damiano Aprile, la conversación citada anteriormente. ^[6]

La solución del problema de Signorini coincide con el nacimiento del campo de las desigualdades variacionales . ^[7]

Declaración formal del problema.

El contenido de esta sección y de las siguientes subsecciones sigue de cerca el tratamiento de Gaetano Fichera en Fichera 1963, Fichera 1964b y también Fichera 1995: su derivación del problema es diferente de la de Signorini en que no considera sólo cuerpos incompresibles y una superficie de descanso plana , como hace Signorini. ^[8] El problema consiste en encontrar el vector de desplazamiento a partir de la configuración natural de un cuerpo elástico anisotrópico no homogéneo que se encuentra en un subconjunto del espacio euclidiano tridimensional cuya frontera es y cuya normal interior es el vector , apoyado sobre una superficie rígida superficie sin fricción cuya superficie de contacto (o más generalmente conjunto de contacto ) está sujeta únicamente a las fuerzas de su cuerpo , y fuerzas superficiales aplicadas sobre la superficie libre (es decir, que no está en contacto con la superficie de reposo) : el conjunto y la superficie de contacto caracterizan la configuración natural del cuerpo y se conocen a priori. Por tanto, el cuerpo debe satisfacer las ecuaciones de equilibrio general. ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\left(u_{1}({\boldsymbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})=\left(f_{1}({\boldsymbol {x}}),f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {x}})=\left(g_{1}({\boldsymbol {x}}),g_{2}({\boldsymbol {x}}),g_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial A\setminus \Sigma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma }$

(1)      ${\displaystyle \qquad {\frac {\partial \sigma _{ik}}{\partial x_{k}}}-f_{i}=0\qquad {\text{for }}i=1,2,3}$

escrito usando la notación de Einstein como todo en el siguiente desarrollo, las condiciones de frontera ordinarias en ${\displaystyle \scriptstyle \partial A\setminus \Sigma }$

(2)      ${\displaystyle \qquad \sigma _{ik}n_{k}-g_{i}=0\qquad {\text{for }}i=1,2,3}$

y los siguientes dos conjuntos de condiciones de contorno en , donde está el tensor de tensión de Cauchy . Evidentemente, las fuerzas corporales y las fuerzas superficiales no pueden darse de forma arbitraria sino que deben satisfacer una condición para que el cuerpo alcance una configuración de equilibrio: esta condición será deducida y analizada en el siguiente desarrollo. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}})}$

Las condiciones de contorno ambiguas

Si es cualquier vector tangente al conjunto de contactos , entonces las condiciones de frontera ambiguas en cada punto de este conjunto se expresan mediante los siguientes dos sistemas de desigualdades ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\tau }}=(\tau _{1},\tau _{2},\tau _{3})}$ ${\displaystyle \Sigma }$

(3)      o (4) ${\displaystyle \quad {\begin{cases}u_{i}n_{i}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&\geq 0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$                ${\displaystyle {\begin{cases}u_{i}n_{i}&>0\\\sigma _{ik}n_{i}n_{k}&=0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{cases}}}$

Analicemos su significado:

• Cada conjunto de condiciones consta de tres relaciones , igualdades o desigualdades , y todos los segundos miembros son la función cero .
• Las cantidades en el primer miembro de cada primera relación son proporcionales a la norma de la componente del vector de desplazamiento dirigido a lo largo del vector normal . ${\displaystyle n}$
• Las cantidades en el primer miembro de cada segunda relación son proporcionales a la norma del componente del vector de tensión dirigido a lo largo del vector normal . ${\displaystyle n}$
• Las cantidades en el primer miembro de cada tercera relación son proporcionales a la norma de la componente del vector de tensión a lo largo de cualquier vector tangente en el punto dado al conjunto de contactos . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Sigma }$
• Las cantidades en el primer miembro de cada una de las tres relaciones son positivas si tienen el mismo sentido del vector al que son proporcionales , mientras que son negativas si no, por lo tanto las constantes de proporcionalidad son respectivamente y . ${\displaystyle \scriptstyle +1}$ ${\displaystyle \scriptstyle -1}$

Conociendo estos hechos, el conjunto de condiciones (3) se aplica a puntos de la frontera del cuerpo que no abandonan el contacto establecido en la configuración de equilibrio , ya que, según la primera relación , el vector de desplazamiento no tiene componentes dirigidas como la normal. vector , mientras que, según la segunda relación, el vector de tensión puede tener una componente dirigida como el vector normal y que tenga el mismo sentido . De manera análoga, el conjunto de condiciones (4) se aplica a puntos de la frontera del cuerpo que salen de ese conjunto en la configuración de equilibrio, ya que el vector de desplazamiento tiene una componente dirigida como el vector normal , mientras que el vector de tensión no tiene componentes dirigidas como el vector normal . Para ambos conjuntos de condiciones, el vector de tensión no tiene componente tangente al conjunto de contactos , según la hipótesis de que el cuerpo descansa sobre una superficie rígida sin fricción . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Cada sistema expresa una restricción unilateral , en el sentido de que expresan la imposibilidad física del cuerpo elástico de penetrar en la superficie donde descansa: la ambigüedad no está sólo en los valores desconocidos que las cantidades distintas de cero deben satisfacer en el conjunto de contactos sino también en el hecho de que no se sabe a priori si un punto perteneciente a ese conjunto satisface el sistema de condiciones de frontera (3) o (4) . El conjunto de puntos donde se satisface (3) se denomina área de apoyo del cuerpo elástico sobre , mientras que su complemento respecto de se denomina área de separación . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

La formulación anterior es general ya que el tensor de tensión de Cauchy , es decir, la ecuación constitutiva del cuerpo elástico, no se ha hecho explícita: es igualmente válida asumiendo las hipótesis de elasticidad lineal o las de elasticidad no lineal . Sin embargo, como quedará claro a partir de los siguientes desarrollos, el problema es inherentemente no lineal , por lo que asumir un tensor de tensión lineal no simplifica el problema .

La forma del tensor de tensiones en la formulación de Signorini y Fichera.

La forma asumida por Signorini y Fichera para la energía potencial elástica es la siguiente (como en los desarrollos anteriores se adopta la notación de Einstein ):

${\displaystyle W({\boldsymbol {\varepsilon }})=a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$

dónde

• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {x}})=\left(a_{ik,jh}({\boldsymbol {x}})\right)}$es el tensor de elasticidad
• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})=\left(\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {u}})\right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$es el tensor de deformación infinitesimal

Por tanto, el tensor de tensión de Cauchy tiene la siguiente forma

(5)      ${\displaystyle \sigma _{ik}=-{\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ik}}}\qquad {\text{for }}i,k=1,2,3}$

y es lineal con respecto a las componentes del tensor de deformación infinitesimal; sin embargo, no es homogéneo ni isotrópico .

Solución del problema

En cuanto a la sección sobre el planteamiento formal del problema de Signorini, el contenido de esta sección y las subsecciones incluidas siguen de cerca el tratamiento de Gaetano Fichera en Fichera 1963, Fichera 1964b, Fichera 1972 y también Fichera 1995: obviamente, la exposición se centra en el pasos básicos de la prueba de la existencia y unicidad para la solución de los problemas (1) , (2) , (3) , (4) y (5) , en lugar de los detalles técnicos.

La energía potencial

El primer paso del análisis de Fichera así como el primer paso del análisis de Antonio Signorini en Signorini 1959 es el análisis de la energía potencial , es decir, la siguiente función

(6)       ${\displaystyle I({\boldsymbol {u}})=\int _{A}W({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\varepsilon }})\mathrm {d} x-\int _{A}u_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }u_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma }$

donde pertenece al conjunto de desplazamientos admisibles, es decir, al conjunto de vectores de desplazamiento que satisfacen el sistema de condiciones de contorno (3) o (4) . El significado de cada uno de los tres términos es el siguiente ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

• el primero es la energía potencial elástica total del cuerpo elástico
• el segundo es la energía potencial total debida a las fuerzas del cuerpo , por ejemplo la fuerza gravitacional
• la tercera es la energía potencial debida a las fuerzas superficiales , por ejemplo las fuerzas ejercidas por la presión atmosférica.

Signorini (1959, pp. 129-133) pudo demostrar que el desplazamiento admisible que minimiza la integral es una solución del problema con condiciones de contorno ambiguas (1) , (2) , (3) , (4) y (5). ) , siempre que sea una función apoyada en el cierre del conjunto : sin embargo, Gaetano Fichera dio una clase de contraejemplos en (Fichera 1964b, pp. 619-620) mostrando que, en general, los desplazamientos admisibles no son funciones suaves de estas clases. Por lo tanto, Fichera intenta minimizar el funcional (6) en un espacio funcional más amplio : al hacerlo, primero calcula la primera variación (o derivada funcional ) del funcional dado en la vecindad del desplazamiento admisible minimizador buscado , y luego lo requiere. ser mayor o igual a cero ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle I(u)}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\bar {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {u}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I({\boldsymbol {u}}+t{\boldsymbol {v}})\right\vert _{t=0}=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x-\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

Definiendo las siguientes funcionales

${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x\qquad {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

y

${\displaystyle F({\boldsymbol {v}})=\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x+\int _{\partial A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \qquad {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

la desigualdad anterior se puede escribir como

(7)       ${\displaystyle B({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}})-F({\boldsymbol {v}})\geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma }}$

Esta desigualdad es la desigualdad variacional del problema de Signorini .

Ver también

• Elasticidad lineal
• Desigualdad variacional

Notas

1. Traducción gratuita al inglés:
   • "Mi discípula Fichera me dio un gran contento".
   • "Pero usted tuvo muchas, profesor, durante su vida", respondió el doctor Aprile, pero luego Signorini volvió a responder:
   • "Pero este es el más grande". Y esas fueron sus últimas palabras.
2. Italiano : Problema con ambigue condizioni al contorno .
3. Como se afirma en (Signorini 1959, p. 129).
4. Ver (Fichera 1995, pag. 49).
5. Esta dramática situación es descrita por el propio Fichera (1995, p. 51).
6. Fichera (1995, p. 53) relata el episodio posterior a los recuerdos de Mauro Picone : véase la entrada " Antonio Signorini " para más detalles.
7. Según Antman (1983, p.282)
8. Véase Signorini 1959, pag. 127) para el enfoque original.

Referencias

Referencias históricas

• Antman, Stuart (1983), "La influencia de la elasticidad en el análisis: desarrollos modernos", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 9 (3): 267–291, doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15185-6 , SEÑOR  0714990, Zbl  0533.73001.
• Duvaut, Georges (1971), "Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus" (PDF) , Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970, ICM Proceedings , vol. Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Volumen 3, París : Gauthier-Villars, págs. 71–78. Un breve estudio de investigación que describe el campo de las desigualdades variacionales.
• Fichera, Gaetano (1972), "Problemas de elasticidad con valores de frontera con restricciones unilaterales", en Flügge, Siegfried ; Truesdell, Clifford A. (eds.), Festkörpermechanik/Mecánica de sólidos , Handbuch der Physik (Enciclopedia de física), vol. VIa/2 (rústica, edición de 1984), Berlín – Heidelberg –Nueva York: Springer-Verlag , págs. 391–424, ISBN 0-387-13161-2, Zbl  0277.73001. La entrada de la enciclopedia sobre problemas con restricciones unilaterales (la clase de problemas de valores en la frontera a la que pertenece el problema de Signorini) la escribió para el Handbuch der Physik por invitación de Clifford Truesdell .
• Fichera, Gaetano (1995), "La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni", Incontro Scientifico italo-spagnolo. Roma, 21 de octubre de 1993, Atti dei Convegni Lincei (en italiano), vol. 114, Roma : Accademia Nazionale dei Lincei , págs. 47-53. El nacimiento de la teoría de las desigualdades variacionales recordado treinta años después (traducción al inglés del título de la contribución) es un artículo histórico que describe el comienzo de la teoría de las desigualdades variacionales desde el punto de vista de su fundador.
• Fichera, Gaetano (2002), Opere storiche biografiche, divulgative [ Obras históricas, biográficas, divulgativas ] (en italiano), Napoli : Giannini, p. 491. Un volumen que recoge casi todas las obras de Gaetano Fichera en los campos de la historia de las matemáticas y la divulgación científica.
• Fichera, Gaetano (2004), Opere scelte [ Obras seleccionadas ], Firenze : Edizioni Cremonese (distribuida por Unione Matematica Italiana ), págs. XXIX+432 (vol. 1), págs. VI+570 (vol. 2), págs. VI+583 (vol. 3), archivado desde el original el 28 de diciembre de 2009, ISBN 88-7083-811-0 (vol. 1), ISBN 88-7083-812-9 (vol. 2), ISBN 88-7083-813-7 (vol. 3). Tres volúmenes que recopilan los artículos matemáticos más importantes de Gaetano Fichera, con una reseña biográfica de Olga A. Oleinik .   
• Signorini, Antonio (1991), Opere scelte [ Obras seleccionadas ], Firenze : Edizioni Cremonese (distribuido por Unione Matematica Italiana ), págs. XXXI + 695, archivado desde el original el 28 de diciembre de 2009. Un volumen que recoge las obras más importantes de Antonio Signorini con una introducción y un comentario de Giuseppe Grioli.

Trabajos de investigación

• Andersson, John (2016), "Regularidad óptima para el problema de Signorini y su límite libre", Inventiones Mathematicae , 1 (1): 1–82, arXiv : 1310.2511 , Bibcode :2016InMat.204....1A, doi :10.1007 /s00222-015-0608-6, SEÑOR  3480553, S2CID  118934322, Zbl  1339.35345.
• Fichera, Gaetano (1963), "Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno" [Sobre el problema elastostático de Signorini con condiciones de contorno ambiguas], Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 ( en italiano), 34 (2): 138–142, MR  0176661, Zbl  0128.18305. Una breve nota de investigación que anuncia y describe (sin pruebas) la solución del problema de Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964a), "Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno" [Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas], Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (en italiano), 7 (2): 91–140, Zbl  0146.21204. El primer artículo donde se demuestra un teorema de existencia y unicidad para el problema de Signorini.
• Fichera, Gaetano (1964b), "Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas", Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Roma : Edizioni Cremonese, págs.. Una traducción al inglés del artículo anterior.
• Petrosyan, Arshak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Regularidad de límites libres en problemas de tipo obstáculo , Estudios de Posgrado en Matemáticas, vol. 136, Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense , págs. x+221, ISBN 978-0-8218-8794-3, SEÑOR  2962060, Zbl  1254.35001.
• Signorini, Antonio (1959), "Questioni di elasticità non linearizzata e semilinearizzata" [Temas sobre elasticidad no lineal y semilineal], Rediconti di Matematica e delle sue Applicazioni , 5 (en italiano), 18 : 95–139, Zbl  0091.38006.

enlaces externos

• Barbu, V. (2001) [1994], "Problema de Signorini", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Alessio Figalli, Sobre soluciones globales homogéneas al problema de Signorini,