Igualdad (matemáticas)

Relación que afirma que dos cantidades son iguales

Signo de igual

En matemáticas , la igualdad es una relación entre dos cantidades o, más generalmente, dos expresiones matemáticas , afirmando que las cantidades tienen el mismo valor, o que las expresiones representan el mismo objeto matemático . La igualdad entre A y B se escribe A  =  B , y se pronuncia " A es igual a B ". En esta igualdad, A y B son los miembros de la igualdad y se distinguen llamándolos miembro izquierdo o miembro izquierdo , y miembro derecho o miembro derecho . Dos objetos que no son iguales se dicen distintos .

Una fórmula como donde xey son expresiones cualesquiera significa que xey denotan o representan el mismo objeto . ^[1] Por ejemplo, ${\displaystyle x=y,}$

${\displaystyle 1.5=3/2,}$

son dos notaciones para el mismo número. De manera similar, usando la notación del constructor de conjuntos ,

${\displaystyle \{x\mid x\in \mathbb {Z} {\text{ and }}0<x\leq 3\}=\{1,2,3\},}$

ya que los dos conjuntos tienen los mismos elementos. (Esta igualdad resulta del axioma de extensionalidad que a menudo se expresa como "dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales". ^[2] )

La verdad de una igualdad depende de una interpretación de sus miembros. En los ejemplos anteriores, las igualdades son verdaderas si los miembros se interpretan como números o conjuntos, pero son falsas si los miembros se interpretan como expresiones o secuencias de símbolos.

Una identidad como significa que si x se reemplaza con cualquier número, entonces las dos expresiones toman el mismo valor. Esto también puede interpretarse como que los dos lados del signo igual representan la misma función (igualdad de funciones), o que las dos expresiones denotan el mismo polinomio (igualdad de polinomios). ^{[3] [4]} ${\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,}$

Etimología

La palabra se deriva del latín aequālis ("igual", "como", "comparable", "similar"), que a su vez proviene de aequus ("igual", "nivel", "justo", "justo"). ^[5]

Propiedades básicas

• Reflexividad : por cada a , se tiene a = a .
• Simetría : para cada a y b , si a = b , entonces b = a .
• Transitividad : para cada a , b y c , si a = b y b = c , entonces a = c . ^[6]
• Sustitución : Informalmente, esto simplemente significa que si a = b , entonces a puede reemplazar a b en cualquier expresión o fórmula matemática .
• Aplicación de la operación : para cada a y b , con alguna operación , si a = b , entonces. Por ejemplo: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$
  • Dados los números reales a y b , si a = b , entonces . (Aquí, ) ${\displaystyle 2a-5=2b-5}$ ${\displaystyle f(x)=2x-5}$
  • Dados los números reales a y b , si , entonces . (Aquí, ) ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}/b^{2}=2}$ ${\displaystyle f(x)=x/b^{2}}$

Si se restringen a los elementos de un conjunto dado , esas tres primeras propiedades hacen de la igualdad una relación de equivalencia . De hecho, la igualdad es la única relación de equivalencia en cuyas clases de equivalencia son todas singletons . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

La igualdad como predicado

Cuando A y B no están completamente especificados o dependen de algunas variables , la igualdad es una proposición , que puede ser verdadera para algunos valores y falsa para otros valores. La igualdad es una relación binaria (es decir, un predicado de dos argumentos ) que puede producir un valor de verdad ( falso o verdadero ) a partir de sus argumentos. En programación informática , su cálculo a partir de las dos expresiones se conoce como comparación .

Identidades

Cuando A y B pueden verse como funciones de algunas variables, entonces A  =  B significa que A y B definen la misma función. Esta igualdad de funciones a veces se denomina identidad . Un ejemplo es A veces, pero no siempre, una identidad se escribe con una barra triple : ^[7] ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.}$ ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$

Ecuaciones

Una ecuación es el problema de encontrar valores de alguna variable, llamada desconocida , para la cual la igualdad especificada es verdadera. Cada valor de la incógnita para el cual se cumple la ecuación se llama solución de la ecuación dada; también se indica que satisface la ecuación. Por ejemplo, la ecuación tiene los valores y como únicas soluciones. La terminología se utiliza de manera similar para ecuaciones con varias incógnitas. ^[8] ${\displaystyle x^{2}-6x+5}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle x=5}$

Se puede utilizar una ecuación para definir un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de todos los pares de soluciones de la ecuación forma el círculo unitario en geometría analítica ; por lo tanto, esta ecuación se llama ecuación del círculo unitario . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Una identidad es una igualdad que es verdadera para todos los valores de sus variables en un dominio determinado. ^[9] Una "ecuación" a veces puede significar una identidad, pero la mayoría de las veces, especifica un subconjunto del espacio variable como el subconjunto donde la ecuación es verdadera. No existe una notación estándar que distinga una ecuación de una identidad u otro uso de la relación de igualdad: hay que adivinar una interpretación apropiada a partir de la semántica de las expresiones y el contexto. ^[10]

en lógica

En lógica matemática y filosofía matemática , la igualdad a menudo se describe a través de las siguientes propiedades: ^{[11] [12] [13]}

${\displaystyle \forall a(a=a)}$

• Ley de identidad : Que establece que cada cosa es idéntica a sí misma, sin restricción. Es decir, para cada ,. Es la primera de las tres leyes históricas del pensamiento . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=a}$

${\displaystyle (a=b)\implies {\bigl [}\phi (a)\Rightarrow \phi (b){\bigr ]}}$

• Propiedad de sustitución : a veces denominada ley de Leibniz , generalmente establece que si dos cosas son iguales, entonces cualquier propiedad de una debe ser propiedad de la otra. Se puede expresar formalmente como: para cada a y b , y cualquier fórmula (con una variable libre x ), si, entonces implica . ${\displaystyle \phi (x),}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \phi (a)}$ ${\displaystyle \phi (b)}$

Por ejemplo: para todos los números reales a y b , si a = b , entonces a ≥ 0 implica b ≥ 0 (aquí, es x ≥ 0 ) ${\displaystyle \phi (x)}$

Estas propiedades ofrecen una reinterpretación formal de la igualdad a partir de cómo se define en la teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel (ZFC). En ZFC, la igualdad sólo significa que dos conjuntos tienen los mismos elementos. Sin embargo, los matemáticos no tienden a considerar sus objetos de interés como conjuntos. Por ejemplo, muchos matemáticos dirían que la expresión " " es un abuso de notación o no tiene sentido. Este es un marco más abstracto que se basa en ZFC (es decir, ambos axiomas pueden demostrarse dentro de ZFC), pero se acerca más a cómo la mayoría de los matemáticos usan la igualdad. ${\displaystyle 1\cup 2}$

Tenga en cuenta que esto dice "La igualdad implica estas dos propiedades", no que "Estas propiedades definen la igualdad"; esto es intencional. Esto la convierte en una axiomatización incompleta de la igualdad. Es decir, no dice qué es la igualdad , sólo qué debe satisfacer la "igualdad". Sin embargo, los dos axiomas tal como se exponen siguen siendo generalmente útiles, incluso como una axiomatización incompleta de la igualdad, ya que suelen ser suficientes para deducir la mayoría de las propiedades de la igualdad que interesan a los matemáticos. ^[14] (Ver la siguiente subsección)

Si estas propiedades definieran una axiomatización completa de la igualdad, es decir, si definieran la igualdad, entonces lo contrario de estas afirmaciones debe ser cierto. Lo contrario de la propiedad de sustitución es la identidad de indiscernibles , que establece que dos cosas distintas no pueden tener todas sus propiedades en común. En matemáticas, la identidad de los indiscernibles suele rechazarse, ya que los indiscernibles en lógica matemática no están necesariamente prohibidos. La igualdad de conjuntos en ZFC es capaz de declarar estos indiscernibles como no iguales, pero una igualdad definida por estas propiedades no lo es. Por lo tanto, estas propiedades forman una noción de igualdad estrictamente más débil que la igualdad establecida en ZFC. Fuera de las matemáticas puras, la identidad de los indiscernibles ha atraído mucha controversia y crítica, especialmente por parte de la filosofía corpuscular y la mecánica cuántica. ^[15] Por eso se dice que las propiedades no forman una axiomatización completa.

Sin embargo, aparte de los casos que tratan de indiscernibles, estas propiedades tomadas como axiomas de igualdad son equivalentes a la igualdad tal como se define en ZFC.

A veces se toman como la definición de igualdad, como en algunas áreas de la lógica de primer orden . ^[dieciséis]

Derivaciones de propiedades básicas.

• Reflexividad de la igualdad : Dado un conjunto S con una relación R inducida por la igualdad (), supongamos. Luegopor la Ley de identidad, así. ${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$ ${\displaystyle a\in S}$ ${\displaystyle a=a}$ ${\displaystyle aRa}$

La Ley de identidad se distingue de la reflexividad en dos aspectos principales: en primer lugar, la Ley de identidad se aplica sólo a casos de igualdad y, en segundo lugar, no se limita a elementos de un conjunto. Sin embargo, muchos matemáticos se refieren a ambos como "reflexividad", que generalmente es inofensiva. ^[17]

• Simetría de Igualdad : Dado un conjunto S con una relación R inducida por igualdad (), supongamos que hay elementostales que. Luego, toma la fórmula. Entonces tenemos. Ya quepor suposición ypor Reflexividad tenemos que. ${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$ ${\displaystyle a,b\in S}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle \phi (x):xRa}$ ${\displaystyle (a=b)\implies (aRa\Rightarrow bRa)}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle bRa}$
• Transitividad de la igualdad : Dado un conjunto S con una relación R inducida por la igualdad (), supongamos que hay elementostales quey. Luego toma la fórmula. Entonces tenemos. Ya quepor simetría ypor suposición tenemos que. ${\displaystyle xRy\Leftrightarrow x=y}$ ${\displaystyle a,b,c\in S}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRc}$ ${\displaystyle \phi (x):xRc}$ ${\displaystyle (b=a)\implies (bRc\Rightarrow aRc)}$ ${\displaystyle b=a}$ ${\displaystyle bRc}$ ${\displaystyle aRc}$
• Aplicación de la función : Dada alguna función , suponga que hay elementos a y b de su dominio tales que a = b , luego tome la fórmula. Entonces tenemosDado quepor suposición ypor reflexividad tenemos eso. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \phi (x):f(a)=f(x)}$
  ${\displaystyle (a=b)\implies [(f(a)=f(a))\Rightarrow (f(a)=f(b))]}$
  ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(a)}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$

A veces esto también se incluye en los axiomas de igualdad, pero no es necesario ya que se puede deducir de los otros dos axiomas como se muestra arriba.

Igualdad aproximada

Hay algunos sistemas lógicos que no tienen ninguna noción de igualdad. Esto refleja la indecidibilidad de la igualdad de dos números reales , definida por fórmulas que involucran los números enteros , las operaciones aritméticas básicas , el logaritmo y la función exponencial . En otras palabras, no puede existir ningún algoritmo para decidir tal igualdad (ver el teorema de Richardson ).

La relación binaria " es aproximadamente igual " (indicada por el símbolo ) entre números reales u otras cosas, incluso si se define con mayor precisión, no es transitiva (ya que muchas diferencias pequeñas pueden sumar algo grande). Sin embargo, la igualdad en casi todas partes es transitiva. ${\displaystyle \approx }$

Una igualdad cuestionable bajo prueba puede denotarse usando el símbolo . ^[18] ${\displaystyle {\stackrel {?}{=}}}$

Relación con equivalencia, congruencia e isomorfismo

Vista como una relación , la igualdad es el arquetipo del concepto más general de relación de equivalencia en un conjunto: aquellas relaciones binarias que son reflexivas , simétricas y transitivas . La relación de identidad es una relación de equivalencia. Por el contrario, sea R una relación de equivalencia y denotemos por x ^R la clase de equivalencia de x , que consta de todos los elementos z tales que x R z . Entonces la relación x R y es equivalente a la igualdad x ^R  =  y ^R . De ello se deduce que la igualdad es la relación de equivalencia más fina en cualquier conjunto S en el sentido de que es la relación que tiene las clases de equivalencia más pequeñas (cada clase se reduce a un solo elemento).

En algunos contextos, la igualdad se distingue claramente de la equivalencia o el isomorfismo . ^[19] Por ejemplo, se pueden distinguir fracciones de números racionales , siendo estos últimos clases de equivalencia de fracciones: las fracciones y son distintas como fracciones (como diferentes cadenas de símbolos) pero "representan" el mismo número racional (el mismo punto en una recta numérica). Esta distinción da lugar a la noción de conjunto cociente . ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 2/4}$

De manera similar, los conjuntos

${\displaystyle \{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}}$y ${\displaystyle \{1,2,3\}}$

no son conjuntos iguales (el primero está formado por letras, mientras que el segundo está formado por números), pero ambos son conjuntos de tres elementos y, por tanto, isomórficos, lo que significa que hay una biyección entre ellos. Por ejemplo

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.}$

Sin embargo, existen otras opciones de isomorfismo, como

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,}$

y esos conjuntos no pueden identificarse sin hacer esa elección: cualquier declaración que los identifique "depende de la elección de la identificación". Esta distinción, entre igualdad e isomorfismo , es de fundamental importancia en la teoría de categorías y es una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías.

En algunos casos, se pueden considerar iguales dos objetos matemáticos que sólo son equivalentes en las propiedades y estructura consideradas. La palabra congruencia (y el símbolo asociado ) se usa frecuentemente para este tipo de igualdad y se define como el conjunto cociente de clases de isomorfismo entre los objetos. En geometría , por ejemplo, se dice que dos formas geométricas son iguales o congruentes cuando una puede moverse para que coincida con la otra, y la relación de igualdad/congruencia son las clases de isomorfismo de isometrías entre formas. De manera similar a los isomorfismos de conjuntos, la diferencia entre isomorfismos e igualdad/congruencia entre tales objetos matemáticos con propiedades y estructura fue una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías , así como para la teoría de tipos de homotopía y los fundamentos univalentes . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \cong }$

Igualdad en la teoría de conjuntos

La igualdad de conjuntos se axioma en la teoría de conjuntos de dos maneras diferentes, dependiendo de si los axiomas se basan en un lenguaje de primer orden con o sin igualdad.

Establecer igualdad basada en lógica de primer orden con igualdad

En lógica de primer orden con igualdad, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos que contienen los mismos elementos son el mismo conjunto. ^[20]

• Axioma lógico: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Axioma lógico: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$
• Axioma de la teoría de conjuntos: ${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

Incorporar la mitad del trabajo a la lógica de primer orden puede considerarse una mera cuestión de conveniencia, como señala Lévy.

"La razón por la que adoptamos el cálculo de predicados de primer orden con igualdad es una cuestión de conveniencia; con esto nos ahorramos el trabajo de definir la igualdad y demostrar todas sus propiedades; esta carga ahora la asume la lógica". ^[21]

Establecer igualdad basada en lógica de primer orden sin igualdad

En lógica de primer orden sin igualdad, se define que dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. Entonces, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos iguales están contenidos en los mismos conjuntos. ^[22]

• Definición de teoría de conjuntos: ${\displaystyle (x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Axioma de la teoría de conjuntos: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$

Ver también

• Extensionalidad
• Teoría del tipo de homotopía
• Desigualdad
• Lista de símbolos matemáticos
• Igualdad lógica
• Proporcionalidad (matemáticas)
• Identidad de indiscernibles

Notas

1. Rosser 2008, pag. 163.
2. Lévy 2002, págs. 13, 358. Mac Lane y Birkhoff 1999, pág. 2. Mendelson 1964, pág. 5.
3. Ecuación. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613
4. Pratt, Vaughan, "Álgebra", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2022), Edward N. Zalta y Uri Nodelman (eds.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
5. "Definición de IGUAL". Merriam Webster . Archivado desde el original el 15 de septiembre de 2020 . Consultado el 9 de agosto de 2020 .
6. Lilly Görke (1974). Mengen – Relationen – Funktionen (4ª ed.). Zúrich: Harri Deutsch. ISBN 3-87144-118-X.Aquí: apartado 3.5, p.103.
7. "Identidad - definición de palabras matemáticas - Referencia abierta de matemáticas". www.mathopenref.com . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
8. Ecuación. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613
9. Ecuación. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613
10. Marco, Salomón ; Watt, Stephen M. "¿Qué es una ecuación?" . Consultado el 27 de febrero de 2019 .
11. Axiomas de igualdad. Enciclopedia Springer de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837
12. Deutsch, Harry y Pawel Garbacz, "Relative Identity", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de otoño de 2024), Edward N. Zalta y Uri Nodelman (eds.), próxima URL: https://plato.stanford.edu/entries /identidad-relativa/#StanAccoIden
13. Forrest, Peter, "La identidad de los indiscernibles", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2020), Edward N. Zalta (ed.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/identity-indiscernible/ #Forma
14. Axiomas de igualdad. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837
15. Francés, Steven (2019). "Identidad e individualidad en la teoría cuántica". Enciclopedia de Filosofía de Stanford . ISSN  1095-5054.
16. Ajuste, M. , Lógica de primer orden y demostración automatizada de teoremas (Berlín/Heidelberg: Springer, 1990), págs.
17. Axiomas de igualdad. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837
18. "Encuentre todos los caracteres Unicode, desde jeroglíficos hasta Dingbats: comparación Unicode".
19. (Mazur 2007)
20. Kleene 2002, pag. 189. Levy 2002, pág. 13. Shoenfield 2001, pág. 239.
21. Levy 2002, pag. 4.
22. Mendelson 1964, págs. 159-161. Rosser 2008, págs. 211-213

Referencias

• Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Lógica Matemática . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-42533-7.
• Levy, Azriel (2002) [1979]. Teoría básica de conjuntos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-42079-0.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Álgebra (Tercera ed.). Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense.
• Mazur, Barry (12 de junio de 2007), ¿Cuándo una cosa es igual a otra? (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 24 de octubre de 2019 , recuperado 13 de diciembre 2009
• Mendelson, Elliott (1964). Introducción a la Lógica Matemática . Nueva York: Van Nostrand Reinhold.
• Rosser, John Barkley (2008) [1953]. Lógica para matemáticos . Mineola, Nueva York: Publicación de Dover. ISBN 978-0-486-46898-3.
• Shoenfield, Joseph Robert (2001) [1967]. Lógica Matemática (2ª ed.). AK Peters . ISBN 978-1-56881-135-2.

enlaces externos

• "Axiomas de igualdad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]