Vector tangente a una curva o superficie en un punto dado
En matemáticas , un vector tangente es un vector que es tangente a una curva o superficie en un punto determinado. Los vectores tangentes se describen en la geometría diferencial de curvas en el contexto de curvas en R n . De manera más general, los vectores tangentes son elementos de un espacio tangente de una variedad diferenciable . Los vectores tangentes también pueden describirse en términos de gérmenes . Formalmente, un vector tangente en el punto es una derivación lineal del álgebra definida por el conjunto de gérmenes en .
Motivación
Antes de pasar a una definición general del vector tangente, analizamos su uso en cálculo y sus propiedades tensoriales .
Cálculo
Sea una curva suave paramétrica . El vector tangente viene dado por siempre que exista y siempre , donde hemos utilizado un número primo en lugar del habitual punto para indicar la diferenciación con respecto al parámetro t . [1] El vector unitario tangente viene dado por
Ejemplo
Dada la curva
en , el vector unitario tangente en está dado por
Contravarianza
Si se da paramétricamente en el sistema de coordenadas n -dimensional x i (aquí hemos utilizado superíndices como índice en lugar del subíndice habitual) por o
entonces el campo vectorial tangente viene dado por
Bajo un cambio de coordenadas,
el vector tangente en u i -El sistema de coordenadas viene dado por
donde hemos utilizado la convención de suma de Einstein . Por lo tanto, un vector tangente de una curva suave se transformará en un tensor contravariante de orden uno ante un cambio de coordenadas. [2]
Definición
Sea una función diferenciable y sea un vector en . Definimos la derivada direccional en la dirección en un punto por
El vector tangente en el punto puede entonces definirse [3] como
Propiedades
Sean funciones diferenciables, sean vectores tangentes en y sean . Entonces
Vector tangente en variedades
Sea una variedad diferenciable y sea el álgebra de funciones diferenciables de valor real en . Entonces el vector tangente a en un punto de la variedad viene dado por la derivación que será lineal, es decir, para cualquiera y tenemos
Tenga en cuenta que la derivación tendrá, por definición, la propiedad de Leibniz.
Ver también
Referencias
- ^ J. Stewart (2001)
- ^ D. Kay (1988)
- ^ A. Gris (1993)
Bibliografía
- Gray, Alfred (1993), Geometría diferencial moderna de curvas y superficies , Boca Ratón: CRC Press.
- Stewart, James (2001), Cálculo: conceptos y contextos , Australia: Thomson/Brooks/Cole.
- Kay, David (1988), Esquema de teoría y problemas del cálculo tensorial de Schaums , Nueva York: McGraw-Hill.