La desigualdad de Harnack

En matemáticas, la desigualdad de Harnack es una desigualdad que relaciona los valores de una función armónica positiva en dos puntos, introducida por A. Harnack  (1887). La desigualdad de Harnack se utiliza para demostrar el teorema de Harnack sobre la convergencia de secuencias de funciones armónicas. J. Serrin  (1955) y J. Moser  (1961, 1964) generalizaron la desigualdad de Harnack a soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas o parabólicas . Estos resultados pueden utilizarse para mostrar la regularidad interior de soluciones débiles .

La solución de Perelman a la conjetura de Poincaré utiliza una versión de la desigualdad de Harnack, encontrada por R. Hamilton  (1993), para el flujo de Ricci .

La declaración

Una función armónica (verde) sobre un disco (azul) está limitada desde arriba por una función (roja) que coincide con la función armónica en el centro del disco y se acerca al infinito hacia el límite del disco.

La desigualdad de Harnack se aplica a una función no negativa f definida sobre una bola cerrada en R ⁿ con radio R y centro x ₀ . Afirma que, si f es continua en la bola cerrada y armónica en su interior, entonces para cada punto x con | x  −  x ₀ | =  r  <  R ,

${\displaystyle {\frac {1-(r/R)}{[1+(r/R)]^{n-1}}}f(x_{0})\leq f(x)\leq {1+(r/R) \over [1-(r/R)]^{n-1}}f(x_{0}).}$

En el plano R ² ( n = 2) la desigualdad se puede escribir:

${\displaystyle {R-r \over R+r}f(x_{0})\leq f(x)\leq {R+r \over R-r}f(x_{0}).}$

Para los dominios generales de la desigualdad se puede enunciar de la siguiente manera: Si es un dominio acotado con , entonces existe una constante tal que ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\bar {\omega }}\subset \Omega }$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \sup _{x\in \omega }u(x)\leq C\inf _{x\in \omega }u(x)}$

para cada función dos veces diferenciable, armónica y no negativa . La constante es independiente de ; Depende sólo de los dominios y . ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Prueba de la desigualdad de Harnack en una pelota.

Por la fórmula de Poisson

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}{\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\cdot f(y)\,dy,}$

donde ω _{n − 1} es el área de la esfera unitaria en R ⁿ y r = | x − x ₀ |.

Desde

${\displaystyle R-r\leq |x-y|\leq R+r,}$

el núcleo en el integrando satisface

${\displaystyle {\frac {R-r}{R(R+r)^{n-1}}}\leq {\frac {R^{2}-r^{2}}{R|x-y|^{n}}}\leq {\frac {R+r}{R(R-r)^{n-1}}}.}$

La desigualdad de Harnack se obtiene sustituyendo esta desigualdad en la integral anterior y utilizando el hecho de que el promedio de una función armónica sobre una esfera es igual a su valor en el centro de la esfera:

${\displaystyle f(x_{0})={\frac {1}{R^{n-1}\omega _{n-1}}}\int _{|y-x_{0}|=R}f(y)\,dy.}$

Ecuaciones diferenciales parciales elípticas

Para ecuaciones diferenciales parciales elípticas , la desigualdad de Harnack establece que el supremo de una solución positiva en alguna región abierta conectada está acotado por algunas constantes multiplicadas por el mínimo, posiblemente con un término agregado que contiene una norma funcional de los datos:

${\displaystyle \sup u\leq C(\inf u+\|f\|)}$

La constante depende de la elipticidad de la ecuación y de la región abierta conectada.

Ecuaciones diferenciales parciales parabólicas

Existe una versión de la desigualdad de Harnack para PDE parabólicas lineales, como la ecuación del calor .

Sea un dominio suave (acotado) y considere el operador elíptico lineal ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}u=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(t,x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(t,x){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+c(t,x)u}$

con coeficientes suaves y acotados y una matriz definida positiva . Supongamos que es una solución de ${\displaystyle (a_{ij})}$ ${\displaystyle u(t,x)\in C^{2}((0,T)\times {\mathcal {M}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\mathcal {L}}u=0}$en ${\displaystyle (0,T)\times {\mathcal {M}}}$

tal que

${\displaystyle \quad u(t,x)\geq 0{\text{ in }}(0,T)\times {\mathcal {M}}.}$

Dejemos estar contenidos de forma compacta y elijamos . Entonces existe una constante C  > 0 (dependiendo sólo de K , , , y los coeficientes de ) tal que, para cada , ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \tau \in (0,T)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t-\tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle t\in (\tau ,T)}$

${\displaystyle \sup _{K}u(t-\tau ,\cdot )\leq C\inf _{K}u(t,\cdot ).}$

Ver también

• teorema de harnack
• función armónica

Referencias

• Caffarelli, Luis A.; Cabré, Xavier (1995), Ecuaciones elípticas totalmente no lineales , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, págs. 31–41, ISBN 0-8218-0437-5
• Folland, Gerald B. (1995), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (2ª ed.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (1988), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Springer, ISBN 3-540-41160-7
• Hamilton, Richard S. (1993), "La estimación de Harnack para el flujo de Ricci", Journal of Differential Geometry , 37 (1): 225–243, doi : 10.4310/jdg/1214453430 , ISSN  0022-040X, MR  1198607
• Harnack, A. (1887), Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene, Leipzig: VG Teubner
• John, Fritz (1982), Ecuaciones diferenciales parciales , Ciencias Matemáticas Aplicadas, vol. 1 (4ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6
• Kamynin, LI (2001) [1994], "Teorema de Harnack", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kassmann, Moritz (2007), "Desigualdades de Harnack: una introducción" Problemas de valores en la frontera 2007 :081415, doi : 10.1155/2007/81415, MR 2291922
• Moser, Jürgen (1961), "Sobre el teorema de Harnack para ecuaciones diferenciales elípticas", Communications on Pure and Applied Mathematics , 14 (3): 577–591, doi :10.1002/cpa.3160140329, MR  0159138
• Moser, Jürgen (1964), "Una desigualdad de Harnack para ecuaciones diferenciales parabólicas", Communications on Pure and Applied Mathematics , 17 (1): 101–134, doi :10.1002/cpa.3160170106, MR  0159139
• Serrin, James (1955), "Sobre la desigualdad de Harnack para ecuaciones elípticas lineales", Journal d'Analyse Mathématique , 4 (1): 292–308, doi :10.1007/BF02787725, MR  0081415
• LC Evans (1998), Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Estadounidense de Matemáticas, Estados Unidos. Para PDE elípticas, consulte el Teorema 5, p. 334 y para PDE parabólicas ver Teorema 10, p. 370.